Switch (gruppeteori)

I gruppeteori (matematik) er kommutatoren for et par ( x , y ) elementer af en gruppe G i de fleste forfattere defineret af

Nogle forfattere tager definitionen

Uanset hvilken definition der vedtages, er det klart, at x og y pendler, hvis og kun hvis [ x , y ] = 1.

Hvis A og B er to undergrupper af G, betegner vi ved [A, B] undergruppen af ​​G genereret af omskifterne [a, b], en gennemkørsel A og b gennemkørsel B. Da omvendt af elementerne i A er nøjagtigt elementerne i A og at inverserne af elementerne i B er nøjagtigt elementerne i B, [A, B] afhænger ikke af den valgte definition for kommutatorerne.

Uanset hvilken definition der vælges til switches, er [b, a] den omvendte af [a, b], så hvis A og B er to undergrupper af G, [A, B] = [B, A].

Undergruppen [G, G] af G , med andre ord undergruppen af ​​G genereret af omskifterne af elementerne i G, er gruppen afledt af G.

Nogle fakta

I det følgende vil vi vedtage definitionen

og for alle elementer x , y i en gruppe G betegner vi

Så er et konjugat af x, og det har vi altid gjort

og nej hvor vi sætter:Analoge udtryk for de to andre faktorer af Hall-Witt-identiteten opnås fra den ved en cirkulær permutation af variablerne, og når vi ganger de tre resultater med medlem, ødelægges hver faktor T () af faktoren T () -1 som følger.

Vi udleder denne generelle form fra den bestemte form ved at videregive (i hypoteserne om den nuværende generelle form) til billederne ved den kanoniske homomorfisme af G på G / N og huske, at som nævnt ovenfor f ([A, B]) = [f (A), f (B)] for alle undergrupper A, B for G og for enhver homomorfisme f startende fra G.

Eksempel

I gruppen af Rubiks terning udveksler en switch f.eks. To terninger. Hvis vi nu vil udveksle to terninger et andet sted, tager vi konjugatet af en sådan omskifter. For eksempel cubers bekendt med algoritmen FRUR'U'F '= [R, U] F .

Bibliografi

Noter og referencer

  1. For eksempel Kurzweil og Stellmacher , s.  24. Samme ting i Bourbaki 1970 § 6, nr. 2, s. I.65 med fed parentes i stedet for firkantede parenteser.
  2. For eksempel Rotman , s.  33.
  3. Denne sætning og dens bevis skyldes Walther von Dyck ( (de) W. Dyck , "  Gruppentheoretische Studien II.  " , Math. Ann. ,1883, s.  97, tilgængelig på universitetet i Göttingen . Reference givet af (en) W. Burnside , Theory of Groups of Finite Order , Dover, 1911 ( repr.  2004), s.  44).
  4. Se for eksempel Bourbaki 1970 , § 6, nr. 2, proposition 5, (i), s. I.66; Kurzweil og Stellmacher , s.  26; Isaacs 2008 , s.  114.
  5. John S. Rose, A Course on Group Theory , 1978, repr. Dover, 1994, øvelse. 169, s. 61.
  6. Demonstreret under dette navn i Isaacs 2008 , s.  125, hvor det er nødvendigt at rette en trykfejl i formlen. IM Isaacs bemærker ligheden med Jacobis identitet. Rotman , s.  118 kalder "Jacobi identitet", hvad IM Isaacs kalder "Hall-Witt identitet". Publikationerne fra Witt og Hall, hvorfra denne identitet hedder, er P. Hall, "Et bidrag til teorien om grupper af primær magtorden", i Proc. London matematik. Soc. (2) bind. 36, 1934, s. 29-95 og E. Witt, "  Treue Darstellung Liescher Ringe  ", i J. Reine Angew. Matematik. , flyvning. 177 (1938), s. 152-160. (Henvisninger givet af Kurzweil og Stellmacher , s.  26, n. 18.)
  7. N. Bourbaki, Algebra I, kapitel 1 til 3 , Paris, 1970, s. I.66 demonstrerer på denne måde en identitet svarende til Hall-Witt-identiteten.
  8. Det er i denne form, at Hall-Witt's identitet gives i N. Bourbaki, Algebra I, kapitel 1 til 3 , Paris, 1970, s. I.66.
  9. Se et eksempel i Isaacs 2008 , s.  122-123.
  10. Se for eksempel Isaacs 2008 , s.  126.
  11. Opdaget af LA Kaluznin, “Über gewisse Beziehungen zwischen einer Gruppe und ihren Automorphismen”, i Bericht über die Mathematiker-Tagung i Berlin, januar 1953 , Berlin, s. 164-172. (Reference givet af JC Lennox og DJS Robinson, Theory of Infinite Soluble Groups , Oxford University Press, 2004, genoptryk 2010, s. 5 og 308.)
  12. Se Bourbaki 1970 § 6, nr. 2, proposition 5, (iii), s. I.66.

Se også

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">