Konvergens af tilfældige variabler
I sandsynlighedsteori er der forskellige forestillinger om konvergens af tilfældige variabler . Konvergens (i en af de sanser, der er beskrevet nedenfor) af sekvenser af tilfældige variabler er et vigtigt begreb sandsynlighedsteori, der især anvendes i statistik og i studiet af stokastiske processer . For eksempel konvergerer gennemsnittet af n uafhængige og identisk fordelte tilfældige variabler næsten sikkert til den fælles forventning om disse tilfældige variabler (hvis den findes). Dette resultat er kendt som den stærke lov for store antal .
I denne artikel antager vi, at ( X n ) er en sekvens af reelle tilfældige variabler , at X er en reel tilfældig variabel, og at alle disse variabler er defineret på det samme sandsynlighedsrum .
(Ω,F,P){\ displaystyle (\ Omega, {\ mathcal {F}}, \ mathbb {P})}
Konvergens i loven
Lad F 1 , F 2 , ... det resultat af distribution
er forbundet med stokastiske variable X 1 , X 2 , ... , og F fordelingsfunktionen for den reelle stokastiske variabel X . Med andre ord, F n er defineret ved F n ( x ) = P ( X n ≤ x ) , og F af F ( x ) = P ( X ≤ x ) .
Sekvensen X n konvergerer til X i lov eller i distribution , hvis
limikke→∞Fikke(på)=F(på),{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} F_ {n} (a) = F (a),}for al reel
a hvor
F er
kontinuerlig .
Da F ( a ) = P ( X ≤ a ) betyder det, at sandsynligheden for, at X hører til et bestemt interval, er meget tæt på sandsynligheden for, at X n er i dette interval for n tilstrækkelig stor. Konvergens i loven bemærkes ofte
xikke→Lx{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X}
eller
xikke→dx{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {d}} X}
Konvergens i loven er den svageste form i den forstand, at det generelt ikke indebærer de andre former for konvergens, der er defineret nedenfor, mens disse andre former for konvergens indebærer konvergens i loven. Det er denne type konvergens, der bruges i Central Limit Theorem .
Tilsvarende konvergerer sekvensen ( X n ) i lov til X, hvis og kun hvis for en kontinuerlig afgrænset funktion
limikke→∞E[f(xikke)]=E[f(x)].{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {E} [f (X_ {n})] = \ mathbb {E} [f (X)].}
Teorem kontinuitet Levy - Lad φ n ( t ) den karakteristiske funktion af X n og φ ( t ) den for X . Så
{∀t∈R:φikke(t)→φ(t)}⇔{xikke→Lx}{\ displaystyle \ left \ {\ forall t \ in \ mathbb {R}: \ varphi _ {n} (t) \ to \ varphi (t) \ right \} \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ left \ {X_ { n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X \ right \}}.
Med andre ord, ( X n ) konvergerer i distribution til X hvis og kun hvis den karakteristiske funktion af den reelle stokastiske variabel X n konvergerer blot til den karakteristiske funktion af den reelle stokastiske variabel X .
Eksempel: central grænsesætning:
Gennemsnittet af en række centrerede og integrerbare kvadratiske tilfældige variabler, uafhængige og af samme lov, når de er renormaliseret af √ n konvergerer i lov mod normal lov
ikkex¯ikke→LIKKE(0,σ2).{\ displaystyle {\ sqrt {n}} {\ bar {X}} _ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0, \ sigma ^ {2}). }
Eksempel: konvergens af studerendes lov:
De Student fordeling parameter k konvergerer, når k tendens til + ∞ , til Gauss lov :
t(k)→LIKKE(0,1).{\ displaystyle \ mathrm {t} (k) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} {\ mathcal {N}} (0,1).}I dette tilfælde kan vi også bruge Scheffés lemma , som er et konvergenskriterium for en sekvens af tilfældige tæthedsvariabler mod en tilfældig variabel for densitet .
Eksempel: degenereret lov:
Sekvensen konvergerer i lov mod en tilfældig variabel X 0 kaldet degenereret, som tager en enkelt værdi (0) med sandsynlighed 1 (vi taler undertiden om Dirac-masse i 0, bemærket ée 0 ):
IKKE(0,1ikke){\ displaystyle {\ mathcal {N}} \ left (0, {\ frac {1} {n}} \ right)}
P(x0≤x)=δ0(]-∞,x])={0 hvis x<0,1 hvis x≥0.{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {0} \ leq x) = \ delta _ {0} \ left (] - \ infty, x] \ right) = {\ begin {cases} 0 & {\ text { si}} x <0, \\ 1 & {\ text {si}} x \ geq 0. \ end {cases}}}
Konvergens i sandsynlighed
Definition -
Lad ( X n ) n være en række reelle tilfældige variabler defineret på det samme sandsynlighedsrum . Vi siger, at X n sandsynligvis konvergerer til X hvis
(Ω,PÅ,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, \ mathbb {P} \ right)}
∀ε>0,limikke→∞P(|xikke-x|≥ε)=0.{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ mathbb {P} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) = 0.}
Vi bemærker nogle gange
xikke→sx{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X}
eller
xikke→Px{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {P}}} X}
Lemma -
Hvis vi har følgende konvergenser henholdsvis i ( E , d ) og iR{\ displaystyle \ mathbb {R}}
xikke→(d)xogd(xikke,Yikke)→(d)0{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow [{}] {(d)}} X \ qquad {\ text {et}} \ qquad d (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{} ] {(d)}} 0}
det har vi også
(xikke,Yikke)→(d)(x,x){\ displaystyle (X_ {n}, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} (X, X)}
i rummet E × E forsynet med den uendelige afstand.
Demonstration
Lad F en lukket E × E . For alle ε > 0 betegner vi
Fε: ={(x,y)∈E×E:d∞((x,y),F)≤ε}{\ displaystyle F _ {\ varepsilon}: = \ {(x, y) \ i E \ gange E: d _ {\ infty} ((x, y), F) \ leq \ varepsilon \}}
Så
P((xikke,Yikke)∈F)≤P((xikke,xikke)∈Fϵ)+P(d(xikke,Yikke)≥ϵ){\ displaystyle \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ i F) \ leq \ mathbb {P} ((X_ {n}, X_ {n}) \ i F _ {\ epsilon }) + \ mathbb {P} (d (X_ {n}, Y_ {n}) \ geq \ epsilon)}
Passing limsup opnås ved hjælp af de to antagelser og 3 e- punkts sætningens kappestativ
lim supikkeP((xikke,Yikke)∈F)≤P((x,x)∈Fϵ){\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ in F) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ in F _ {\ epsilon })}
derefter ved at gøre ε tendens mod 0, da F er lukket
lim supikkeP((xikke,Yikke)∈F)≤P((x,x)∈F{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ mathbb {P} ((X_ {n}, Y_ {n}) \ in F) \ leq \ mathbb {P} ((X, X) \ in F}
Vi konkluderer ved at bruge igen 3 rd punkt af knagerække teorem.
Ejendom -
Hvis X n sandsynligvis konvergerer til X , så konvergerer X n til X i loven .
Demonstration
Det er en konsekvens af det forrige lemma ved at tage X n = X og ved at bemærke, at konvergensen i loven
d(x,Yikke)→(d)0{\ displaystyle d (X, Y_ {n}) {\ xrightarrow [{}] {(d)}} 0}
i er konvergensen i sandsynligheden
R{\ displaystyle \ mathbb {R}}
Yikke→Px{\ displaystyle Y_ {n} {\ xrightarrow [{}] {\ mathbb {P}}} X}
i ( E , d ) .
Ellers kan du fortsætte som følger. Lad os starte med at angive et lemma.
Lemma -
Lad X , Y være reelle tilfældige variabler, c a reelle og ε > 0 . Så
P(Y≤vs.)≤P(x≤vs.+ε)+P(x-Y>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (Y \ leq c) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq c + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (XY> \ varepsilon)}
Faktisk er det tilstrækkeligt at bemærke, at:
{Y≤vs.}⊂{x≤vs.+ε}∪{x>vs.+ε,Y≤vs.}{\ displaystyle \ {Y \ leq c \} \ undersæt \ {X \ leq c + \ varepsilon \} \ cup \ {X> c + \ varepsilon, Y \ leq c \}}
Ulighed følger naturligt.
For alle ε > 0 har vi på grund af dette lemma:
P(xikke≤på)≤P(x≤på+ε)+P(|xikke-x|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ højre |> \ varepsilon)}
P(x≤på-ε)≤P(xikke≤på)+P(|xikke-x|>ε){\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ {n} \ leq a) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ højre |> \ varepsilon)}
Det har vi også
P(x≤på-ε)-P(|xikke-x|>ε)≤P(xikke≤på)≤P(x≤på+ε)+P(|xikke-x|>ε).{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ leq a- \ varepsilon) - \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon) \ leq \ mathbb {P} (X_ { n} \ leq a) \ leq \ mathbb {P} (X \ leq a + \ varepsilon) + \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon).}Enten er et punkt for kontinuitet i F X . Vi fikser en reel ε ' > 0 . Ved kontinuitet af F X ved a eksisterer der en reel ε > 0 sådan
|P(x⩽på+ε)-P(x⩽på)|<ε′et|P(x⩽på-ε)-P(x⩽på)|<ε′{\ displaystyle | \ mathbb {P} (X \ leqslant a + \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '\ mathrm {and} | \ mathbb {P} (X \ leqslant a - \ varepsilon) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <\ varepsilon '}.
Konvergensen af ( X n ) n i sandsynlighed til X , kan det udledes, at der foreligger et heltal N således at: hvis n ≥ N .
P(|xikke-x|>ε)<ε′{\ displaystyle \ mathbb {P} (\ left | X_ {n} -X \ right |> \ varepsilon) <\ varepsilon '}
Hvor: .
∀ikke∈IKKE,ikke⩾IKKE⇒|P(xikke⩽på)-P(x⩽på)|<2ε′{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N}, n \ geqslant N \ Rightarrow | \ mathbb {P} (X_ {n} \ leqslant a) - \ mathbb {P} (X \ leqslant a) | <2 \ varepsilon '}
Slutsky's sætning - Hvis X n konvergerer i lov til X , og hvis Y n sandsynligvis konvergerer til en konstant c , såkonvergererparret ( X n , Y n ) i lov til parret ( X , c ) .
Næsten sikker konvergens
Definition -
Vi siger, at X n næsten sikkert konvergerer til X hvis
P(limikke→∞xikke=x)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} X_ {n} = X \ right) = 1}
eller på en tilsvarende måde, hvis der findes en - ubetydelig delmængde N ⊂ Ω sådan, at
P{\ displaystyle \ mathbb {P}}
∀ω∈Ω∖IKKE,xikke(ω)→ikke→∞x(ω){\ displaystyle \ forall \ omega \ i \ Omega \ setminus N, \ qquad X_ {n} (\ omega) {\ xrightarrow [{n \ to \ infty}] {}} X (\ omega)}
Vi taler også om konvergens næsten overalt eller med sandsynlighed 1 eller høj , og vi skriver
xikke→s.s.x{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X}
eller på engelsk ( næsten sikkert )
xikke→på.s.x{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {as}} X}
Den næsten sikre konvergens omskrives som:
∀ε>0,P(lim infikke{|xikke-x|<ε})=1{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}
eller
∀ε>0,P(lim supikke{|xikke-x|>ε})=0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \} \ right) = 0}
eller
lim infikke{|xikke-x|<ε}: =⋃IKKE∈IKKE⋂ikke≥IKKE{|xikke-x|<ε}={|xikke-x|<ε på gå af en bestemte rang}{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \}: = \ bigcup _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcap _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X | <\ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \ {\ textrm {a}} \ {\ textrm {start}} \ {\ textrm {d ' a}} \ {\ textrm {bestemt}} \ {\ textrm {rang}} \}}
lim supikke{|xikke-x|>ε}: =⋂IKKE∈IKKE⋃ikke≥IKKE{|xikke-x|>ε}={|xikke-x|>ε uendeligt tit.}{\ displaystyle \ limsup _ {n} \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \}: = \ bigcap _ {N \ in \ mathbb {N}} \ bigcup _ {n \ geq N} \ { | X_ {n} -X |> \ varepsilon \} = \ {| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ {\ textrm {uendeligt}} \ {\ textrm {ofte}}. \}}
Sætning - Hvis X n konvergerer til X næsten Sikkert derefter X n konvergerer mod X i sandsynlighed .
Demonstration
Ved Fatous lemma har vi for alle ε > 0 :
lim infikkeP(|xikke-x|<ε)≥P(lim infikke{|xikke-x|<ε})=1{\ displaystyle \ liminf _ {n} \ mathbb {P} (| X_ {n} -X | <\ varepsilon) \ geq \ mathbb {P} \ left (\ liminf _ {n} \ {| X_ {n} -X | <\ varepsilon \} \ right) = 1}
Næsten sikker på, at konvergens bruges i den stærke lov for store antal .
Gennemsnitlig konvergens af ordre r
Definition -
Lad r > 0 og ( X n ) n være en række reelle tilfældige variabler defineret på det samme sandsynlighedsrum . Vi siger, at X n konvergerer til X som et gennemsnit af orden r eller som en norm L r hvis for alle n og hvis
(Ω,PÅ,P){\ displaystyle \ left (\ Omega, {\ mathcal {A}}, P \ right)} E(|xikke|r)<+∞{\ displaystyle E (| X_ {n} | ^ {r}) <+ \ infty}
limikke→∞E(|xikke-x|r)=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} E \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | ^ {r} \ right) = 0}
Vi bemærker nogle gange .
xikke→Lrx{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {r}}} X}
For r = 1 taler vi simpelthen om gennemsnitlig konvergens og for r = 2 for root betyder kvadratkonvergens .
Ejendom -
For r > s ≥ 1 indebærer normkonvergens normkonvergens .
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}Ls{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {s}}
Demonstration
Det er en simpel anvendelse af Jensens ulighed med den konvekse funktionx↦xr/s{\ displaystyle x \ mapsto x ^ {r / s}}
For r = 2 har vi følgende resultat:
Ejendom -
Lad c være en reel konstant. Det har vi så
xikke→L2vs.{\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathbb {L} ^ {2}}} c}
hvis og kun hvis
limikke→∞E[xikke]=vs.oglimikke→∞Var[xikke]=0{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ mathbb {E} [X_ {n}] = c \ qquad {\ text {et}} \ qquad \ lim _ {n \ to \ infty} \ operatorname { Var} [X_ {n}] = 0}
Demonstration
Dette følger følgende identitet:
E[(xikke-vs.)2]=Var(xikke)+(E[xikke]-vs.)2{\ displaystyle \ mathbb {E} \ left [(X_ {n} -c) ^ {2} \ right] = \ operatorname {Var} (X_ {n}) + \ left (\ mathbb {E} [X_ { n}] - c \ right) ^ {2}}
Ejendom -
Hvis X n konvergerer til X i L r- norm , så konvergerer X n til X med sandsynlighed .
Demonstration
Det er en direkte anvendelse af Markov-uligheden for reelle tilfældige variabler, der indrømmer et øjeblik af ordre r :
P(|xikke-x|≥ε)≤E[|xikke-x|r]εr{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ left | X_ {n} -X \ right | \ geq \ varepsilon \ right) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} [\ left | X_ {n} - X \ right | ^ {r}]} {\ varepsilon ^ {r}}}}
Eksempel:
Den svage lov med stort antal er en direkte konsekvens af disse to sidste egenskaber
Konvergens af en funktion af en tilfældig variabel
En meget praktisk sætning, generelt omtalt på engelsk som kortlægningssætningen (en) , siger, at en kontinuerlig funktion g anvendt på en variabel, der konvergerer til X, vil konvergere til g ( X ) for alle konvergenstilstande:
Sætning - ( Mapping-sætning ) Lad være en kontinuerlig funktion på ethvert punkt i et sæt C, således at :
g:Rk→Rm{\ displaystyle g: \ mathbb {R} ^ {k} \ to \ mathbb {R} ^ {m}}P(x∈VS)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (X \ i C) = 1}
- Hvis ;xikke→Lx så g(xikke)→Lg(x){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {\ mathcal {L}}} g (X)}
- Hvis ;xikke→sx så g(xikke)→sg(x){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {p}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {p}} g (X)}
- Ja .xikke→s.sx så g(xikke)→s.s.g(x){\ displaystyle X_ {n} {\ xrightarrow {ps}} X {\ text {then}} g (X_ {n}) {\ xrightarrow {ps}} g (X)}
Eksempel:
I statistikker er en konvergent estimator af variansen σ 2 givet ved:
sikke-12≡1ikke-1∑jeg=1ikke(yjeg-y¯)2{\ displaystyle s_ {n-1} ^ {2} \ equiv {\ frac {1} {n-1}} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ left (y_ {i} - {\ overline {y}} \ højre) ^ {2}}.
Vi ved derefter fra den kontinuerlige kortlægningssætning , at estimatoren for standardafvigelsen σ = √ σ 2 er konvergent, fordi rodfunktionen er en kontinuerlig funktion.sikke-12{\ displaystyle {\ sqrt {s_ {n-1} ^ {2}}}}
Gensidige konsekvenser
For at opsummere har vi implicationskæden mellem de forskellige forestillinger om konvergens af tilfældige variabler:
→Ls⇒s>r≥1→Lr⇓→s.s.⇒→ s ⇒→ d {\ displaystyle {\ begin {matrix} {\ xrightarrow {L ^ {s}}} & {\ underset {s> r \ geq 1} {\ Rightarrow}} & {\ xrightarrow {L ^ {r}}} && \\ && \ Downarrow && \\ {\ xrightarrow {ps}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ p \}} & \ Rightarrow & {\ xrightarrow {\ d \}} \ end {matrix}}}
Konvergens i sandsynlighed indebærer ikke konvergens i eller næsten sikker konvergens, som følgende eksempel viser:
Lr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}
Eksempel:
Lad r > 0 . Vi betragter ( X n ) n ≥ 1 som en sekvens af uafhængige tilfældige variabler, således at
P(xikke=ikke1/r)=1ikkeogP(xikke=0)=1-1ikke{\ displaystyle \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ qquad {\ text {and}} \ qquad \ mathbb {P} ( X_ {n} = 0) = 1 - {\ frac {1} {n}}}
Sekvensen ( X n ) n konvergerer sandsynligvis til 0 fordi
∀ε>0,∀ikke≥ε,P(|xikke|≥ε)=P(xikke=ikke1/r)=1ikke→0{\ displaystyle \ forall \ varepsilon> 0, \ qquad \ forall n \ geq \ varepsilon, \ qquad \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ geq \ varepsilon) = \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = {\ frac {1} {n}} \ til 0}
På den anden side konvergerer det ikke, fordiLr{\ displaystyle \ mathbb {L} ^ {r}}E[xikker]=1↛0{\ displaystyle \ mathbb {E} [X_ {n} ^ {r}] = 1 \ nrightarrow 0}
Lad os vise, at det heller ikke næsten konvergerer. Hvis dette var tilfældet dens næsten sikker grænse ville nødvendigvis være sin grænse i sandsynlighed, nemlig 0. Nu, da og da de stokastiske variable X n er uafhængige, vi har af Borel lov af nul-én :
∑ikkeP(xikke=ikke1/r)=+∞{\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbb {P} (X_ {n} = n ^ {1 / r}) = + \ infty}
P(lim supikke{xikke=ikke1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ right) = 1}
dvs. næsten helt sikkert X n = n 1 / r for en uendelig n . Så næsten sikkert konvergerer A fortiori X n næsten ikke til 0.
lim supikkexikke=+∞.{\ displaystyle \ limsup _ {n} X_ {n} = + \ infty.}
Eksempel:
I det foregående eksempel kan vi for at undgå at ty til Borels nul-en-lov eksplicit definere sekvensen X n som følger. Vi vælger Ω = [0; 1] forsynet med sin Borelian-stamme og Lebesgue-foranstaltningen . Vi udgøre , for derefter
på1: =0{\ displaystyle a_ {1}: = 0}påikke: =12+⋯+1ikke(mod1){\ displaystyle a_ {n}: = {\ frac {1} {2}} + \ cdots + {\ frac {1} {n}} {\ pmod {1}}}ikke≥2{\ displaystyle n \ geq 2}
jegikke: ={[påikke-1,påikke]hvis påikke-1<påikke[0,påikke]∪[påikke-1,1]hvis påikke-1>påikke{\ displaystyle I_ {n}: = \ left \ {{\ begin {matrix} \ left [a_ {n-1}, a_ {n} \ right] & {\ text {si}} a_ {n-1} <a_ {n} \\\ venstre [0, a_ {n} \ højre] \ kop \ venstre [a_ {n-1}, 1 \ højre] & {\ tekst {si}} a_ {n-1}> a_ {n} \ end {matrix}} \ højre.}
Endelig definerer vi
xikke(ω): ={ikke1/rhvis ω∈jegikke0hvis ω∉jegikke{\ displaystyle X_ {n} (\ omega): = \ left \ {{\ begin {matrix} n ^ {1 / r} & {\ text {si}} \ omega \ i I_ {n} \\ 0 & {\ text {si}} \ omega \ notin I_ {n} \ end {matrix}} \ right.}
De således definerede X n er ikke uafhængige, men de verificerer som i det foregående eksempel
P(lim supikke{xikke=ikke1/r})=1{\ displaystyle \ mathbb {P} \ left (\ limsup _ {n} \ {X_ {n} = n ^ {1 / r} \} \ right) = 1}
Med nogle få undtagelser har disse implikationer strengt taget ingen gensidighed. Her er dog nogle nyttige egenskaber, der kan beskrives som "gensidighed":
- Hvis X n konvergerer i lov mod en reel konstant c , så konvergerer X n sandsynligheden mod c .
- Hvis X n konvergerer i sandsynlighed til X , så der findes en delsekvens der konvergerer næsten sikkert til X .xσ(ikke){\ displaystyle X _ {\ sigma (n)}}
- Hvis X n sandsynligvis konvergerer til X , og hvis for alle n og et bestemt b , så konvergerer X n i gennemsnit orden r til X for alle r ≥ 1 . Mere generelt, hvis X n sandsynligvis konvergerer til X , og hvis familien ( XP(|xikke|≤b)=1{\ displaystyle \ mathbb {P} (| X_ {n} | \ leq b) = 1}p
n) Er ensartet integrerbare, så X n konvergerer i middel af orden p til X .
- Hvis for alle ε > 0 ,
∑ikkeP(|xikke-x|>ε)<∞,{\ displaystyle \ sum _ {n} \ mathbb {P} \ left (| X_ {n} -X |> \ varepsilon \ right) <\ infty,}
derefter X n konvergerer næsten sikkert til X . Med andre ord, hvis X n konvergerer i sandsynlighed til X tilstrækkeligt hurtigt ( i . E . Ovenstående serie konvergerer for alle ε > 0 ), så X n konvergerer med stor sikkerhed til som X . Dette skyldes en direkte anvendelse af Borel-Cantelli-sætningen .
- Lad ( X n ) n ≥ 1 være en sekvens af uafhængige reelle tilfældige variabler. For alle n indstiller vi:
Sikke=x1+⋯+xikke{\ displaystyle S_ {n} = X_ {1} + \ cdots + X_ {n}}.
Derefter næsten sikker konvergens af sekvensen ( S n ) n ≥ 1 er ækvivalent med dens konvergens i sandsynlighed; med andre ord, den næsten sikre konvergens af serien med det generelle udtryk X n er ækvivalent med dens konvergens i sandsynlighed.
Noter og referencer
-
For mere om dette eksempel, se Davidson og McKinnon 1993 , kap. 4.
-
Vaart 1998 , s. 7.
Bibliografi
- (en) Russell Davidson og James McKinnon ( oversat fra tysk), Estimation and Inference in Econometrics , New York, Oxford University Press ,1993, 874 s. ( ISBN 978-0-19-506011-9 , LCCN 92012048 ) , s. 874
- (en) GR Grimmett og DR Stirzaker , sandsynligheds- og tilfældige processer , Oxford, Clarendon Press,1992, 2 nd ed. ( ISBN 0-19-853665-8 ) , s. 271-285
- (en) Adrianus Willem van der Vaart ( oversættelse fra tysk), Asymptotic Statistics , Cambridge, Cambridge University Press ,1998, 1 st ed. , 443 s. , indbundet ( ISBN 978-0-521-49603-2 , LCCN 98015176 ) , s. 443
eksterne links
-
[1] : 1. års kursus på den centrale Paris-skole om konvergens af tilfældige variabler