Distributivitet

I matematik , mere præcist i aritmetiske og generel algebra , den distributivitet af en operation i forhold til en anden er en generalisering af den elementære ejendom: " produktet af en sum er lig med summen af produkterne ".

F.eks. Fordeles faktor 2 i udtrykket $2 \times (5 + 3) = (2 \times 5) + (2 \times 3)$ til hvert af de to udtryk i summen 5 + 3. Ligestillingen bekræftes derefter: til venstre $2 \times 8 = 16$ , til højre $10 + 6 = 16$ .

Denne egenskab gælder for alle tripletter $( x , y , z )$ af heltal , af heltal til tal rationelle til reelle tal eller komplekse tal :

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

Vi taler derefter om multiplikationens fordelingsevne med hensyn til tilføjelsen .

I almindelighed algebra , er distributivitet generaliseres til andre end addition og multiplikation operationer. En intern sammensætningslov distribut er distribuerende i forhold til en anden intern lov ∗ i et sæt E, hvis vi for en hvilken som helst triplet $( x , y , z )$ af elementerne i E har følgende egenskaber:

x \circ ( y * z ) = ( x \circ y ) * ( x \circ z )

( venstre fordeling )

( x * y ) \circ z = ( x \circ z ) * ( y \circ z )

( højre fordeling )

Distributivitet i aritmetik

I aritmetik er de to operationer, der overvejes, når vi taler om distribution, addition og multiplikation. Multiplikation er distribuerende med hensyn til tilføjelse:

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

men tilføjelsen er ikke distribuerende med hensyn til multiplikationen: undtagen specielle tilfælde (som $x = 0$ ), generelt

x + ( y \times z ) \neq ( x + y ) \times ( x + z )

Distributivitet i elementær beregning

Hvis faktorerne for et produkt er summer, kan man udføre produkterne term for periode og derefter udføre summen. Denne egenskab bruges ofte inden for mental aritmetik eller datalogi til at beregne et produkt af heltal effektivt .

Eksempel 1 235 × 99 = 235 × (100 - 1) = 23.500 - 235 = 23.265

Ligeledes multipliceres med de ensartede tal 9, 99, 999 osv. koger ned til en subtraktion ved hjælp af den distribuerende ejendom.

Eksempel 2 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200.000 + 36.000 + 800 + 25.000 + 4.500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271.136 På den anden side, eksempel 3

Det er forbudt at tage gennemsnittet af gennemsnit direkte; for at opnå det skal vi dele summen af nominerne med summen af nævneren.

Højre og venstre distribution

For heltal er heltalene , de rationelle tal , det reelle tal eller det komplekse tal , additions- og multiplikationsoperationer kommutative . Vi siger derefter, at multiplikationen er distribuerende med hensyn til tilføjelsen uden at specificere "til venstre " eller "til højre" , fordi fordelingsevnen til venstre indebærer distributionen til højre (og omvendt) på grund af kommutativiteten af produktet.

Bevis

x \times ( y + z ) = ( x \times y ) + ( x \times z )

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( x \times y ) + ( x \times z )

(ved kommutativitet af multiplikationen i venstre side)

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( y x x ) + ( x \times z )

(ved kommutativitet af multiplikation i 1 st summen af højre element)

\Leftrightarrow ( y + z ) \times x = ( y x x ) + ( z \times x )

(ved kommutivitet af multiplikationen i 2 nd summen af højre side)

På den anden side $( x + y ) / z = x / z + y / z$ men $z / ( x + y ) \neq z / x + z / y$ og divisionen siges kun at være distribuerende til højre med med hensyn til tilføjelsen.

Gauss heltal

Blandt komplekse tal er et interessant tilfælde det Gaussiske heltal , der er skrevet i formen $z = n + m i$ med n og m heltal. Vi bruger fordelingen af kompleks multiplikation til f.eks. At vise (1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i, det vil sige at 1 + i er en kvadratrod af 2i. Mere generelt viser vi, at produktet af to Gauss-heltal er et Gauss-heltal.

Distributivitet i generel algebra

Generelt algebra studerer vi algebraiske strukturer , det vil sige sæt forsynet med love om sammensætning med visse egenskaber. I denne sammenhæng generaliserer distributionen til tilfælde, hvor:

de to love om intern sammensætning er ikke nødvendigvis addition og multiplikation;
mindst en operation er ikke kommutativ;
den første operation er en lov om intern sammensætning og den anden operation er en lov om ekstern sammensætning . (Denne sag passer ikke strengt taget ind i den ramme, der er etableret i præamblen, hvor de tre elementer x, y, z formodes at tilhøre det samme sæt. Her er det ikke tilfældet, og i en af fordelingen til højre og at til venstre svarer de to * til forskellige love: se afsnittet "vektorrum" nedenfor.)

Ringe og kommutative felter

Distributionen af den anden lov om intern sammensætning på den første lov om intern sammensætning er en grundlæggende egenskab ved ringe (og derfor af kroppe ): i en ring A forsynet med to interne love bemærket + og × skal × loven være distribuerende ( højre og venstre) med hensyn til +.

Ringe ℤ / nℤ

De kvotientringe af ℤ arver tilsætningen og en mangedobling af de relative tal, og disse inducerede love kontrollere distributivitet af multiplikation med hensyn til tilføjelsen.

Kvarternioner

Distribution af multiplikation over division forbliver gyldig for Hamilton- kvaternioner , selvom kvaternionsmultiplikation ikke er kommutativ .

Bemærkelsesværdige identiteter i ikke-kommutative ringe

Nogle bemærkelsesværdige identiteter, der involverer distribution, for eksempel $( a + b ) 2 = a 2 + 2 ab + b 2$ og generaliseringer, bruger også kommutativitet og er derfor ikke gyldige for ikke-kommutative ringe såsom ringe til matricer eller de ikke-kommutative ringe af polynomer . Naturligvis forbliver enhver ejendom, der hidrører fra distribution, og som ikke kræver kommutativitet, gyldig i ikke-kommutative ringe. (I det pågældende eksempel har vi $( a + b ) 2 = a 2 + ab + ba + b 2$ hvis $ab \neq ba$ ; men vi har altid siden alle $x$ pendler med 1 i en hvilken som helst enhedsring.) ${\ displaystyle (1 + x) ^ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n} C_ {n} ^ {k} \, x ^ {k}}$

Vektorrum

I definitionen af et vektorrum er den eksterne multiplikation med skalarer distribuerende med hensyn til tilføjelsen af vektorerne. Her har vi at gøre med en ekstern og ikke en intern lov om sammensætning, men den fordelende egenskab forbliver gyldig (både den til venstre og den til højre, som ((λ + μ) • x = λ • x + μ • x) indebærer to forskellige additionslove: på den ene side skalarer, på den anden side vektorer). Det er derfor en mere generel forestilling om distribution, som ikke er et specielt tilfælde af det, der er defineret i indledningen til denne artikel, hvor alle elementerne hører til det samme sæt.

Sæt med dele af et sæt

Vær den mængden af delmængder af et sæt E . Vi leverer to love med intern sammensætning: unionen ⋃ og krydset ⋂. I dette tilfælde er de to love med intern sammensætning distribuerende i forhold til hinanden. Med andre ord for enhver triplet ( A , B , C ) af elementer af : ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$ ${\ mathcal {P}} (E)$

A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C )

A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C )

Distributiviteten bekræftes også, hvis vi betragter den symmetriske forskel $A Δ B : = ( A ⋃ B ) \ ( A ⋂ B ) i$ stedet for unionen. I modsætning til genforening giver denne operation den abeliske gruppestruktur , og med krydset den boolske ringstruktur til . ${\ mathcal {P}} (E)$

Trellis

Et gitter er et delvist ordnet sæt E , hvor hvert par { x , y } har en øvre grænse x ⋁ y og en nedre grænse x ⋀ y . Vi siger, at E er et distribuerende gitter, hvis de to love med intern sammensætning er distribuerende i forhold til hinanden. I dette tilfælde har vi for enhver triplet ( x , y , z ) af elementerne i E:

x ⋁ ( y ⋀ z ) = ( x ⋁ y ) ⋀ ( x ⋁ z )

x ⋀ ( y ⋁ z ) = ( x ⋀ y ) ⋁ ( x ⋀ z )

Relaterede artikler

Associativitet
François-Joseph Servois (den første til at bruge adjektivet "distributiv" i matematik)

Bemærkninger

Anvendelsen af distributivitet til udtryk som et produkt kaldes udvikling . Den omvendte anvendelse af ejendommen på et beløb kaldes faktorisering eller fælles factoring.
Lang 1976, s. 40
Queysanne 1964, s. 116 .
Queysanne 1964, s. 122 .

Referencer

Serge Lang , algebraiske strukturer , InterEditions,1976.

Michel Queysanne , Algebra: 1 st Scientific cyklus - beredskab skoler , Armand Colin, coll. "U",1964.