I matematik , det sæt af dele af et sæt , også kaldet en indstillede effekt , henviser til sættet af delmængder af dette sæt.
Lad være et sæt. Sættet med dele af er sættet, generelt betegnet , hvis elementer er delmængderne af :
.Det er også nogle gange bemærket , eller (gotisk), eller ( P de Weierstrass ).
I Zermelo's sæt af teorier postuleres eksistensen for ethvert sæt af et sådant sæt af aksiomet for sæt af dele , og dets entydighed skyldes aksiomet for ekstensionalitet .
er aldrig tom, fordi sættet er tomt og altid er dele af : , .
Hvis to sæt E og F er ækvipotente derefter og er også.
Endelig kardinalitetLad være et sæt med n elementer. Derefter er sæt af dele af E endeligt og har 2 n elementer.
Bevis ved induktionEjendommen er sand ved rang 0, fordi det tomme sæt faktisk kun har en undersæt: sig selv. Vi antager den sande ejendom på rang n . Lad E være et sæt med n + 1 elementer; den er derfor ikke tom; enten har et medlem E . Delsættene i E er opdelt i to klasser: det for de undergrupper, som en tilhører, og det for de undergrupper, som a ikke hører til. Anden klasse har 2 n elementer ved induktionshypotese; den første også, da den er i forbindelse med den anden, ved operationen, der består i at fjerne en . Sættet med dele af E har derfor 2 n + 2 n = 2 n +1 elementer.
Demonstration via n tuplerne af bitsUden tab af generalitet kan sættet E med n elementer antages at være lig med {1,…, n }. En kanonisk sammenhæng ( se nedenfor ) viser derefter, at kardinaliteten er lig med sæt af n - tupler , det vil sige (jf. " Arrangement med gentagelse ") ved 2 n .
Bevis ved hjælp af binomialformlenDer er dele af E indeholdende k elementer ( k mellem 0 og n ) således ifølge det binomiale sætning: .
Uendelig kardinalitetFor hvert naturlige tal n har vi n <2 n . Dette resultat generaliserer til uendelig kardinalitet . Den Cantors teorem hedder, at alle delmængder af et sæt E (færdig eller ej) er strengt større end kardinaliteten E : Der er en indsprøjtning af et sæt i alle dets dele (for eksempel som knytter singleton til som den tilhører på et element ), men ingen sammenhæng .
Ethvert sæt, der kan forbindes med ℕ, sættet med naturlige tal , siges at kunne tælles . Cantors sætning viser især, at P (ℕ) ikke kan tælles, hvilket kan fortolkes ved at sige, at vi ikke udtømmende kan "nummerere" undergrupperne af ℕ. Det vil sige, at så snart vi har en sekvens af undergrupper af ℕ indekseret af heltalene, finder vi nødvendigvis en delmængde af ℕ, som ikke vises i denne sekvens.
Hvad kan være kardinaliteten i et sæt dele af ℕ, det vil sige en delmængde af P (ℕ)? Georg Cantor mente, at det kun kunne være endeligt, tælles eller P (ℕ). Det er kontinuumhypotesen, som hverken kan påvises eller tilbagevises i ZFC-sætteori .
Sættet af dele af sættet E , der er forsynet med operationerne af union , skæringspunkt og komplementering , danner et typisk eksempel på boolsk algebra . Vi kan især vise, at enhver begrænset boolsk algebra er isomorf til den boolske algebra af sættet af dele af et endeligt sæt. Dette gælder ikke for uendelige boolske algebraer , men enhver uendelig boolsk algebra er en subalgebra af en boolsk algebra af sæt af dele af et sæt.
Som for enhver boolsk algebra kan vi definere en ringstruktur ved at indføre en operation defineret fra unionen og krydset: den symmetriske forskel . Sættet med dele af sæt E forsynet med den symmetriske forskel er en abelsk gruppe . Det neutrale element er det tomme sæt . Hver delmængde er sin modsatte. Det samme sæt er en kommutativ semigruppe, når den forsynes med skæringsoperationen. Vi kan derfor vise (ved hjælp af fordelingslovene ), at sættet af dele af et sæt, udstyret med den symmetriske forskel og skæringspunktet, er en kommutativ ring, hvor hvert element er ubesværet ( x 2 = x , her er produktet det kryds), det vil sige en boolsk ring (omvendt til enhver boolsk ring, vi kan knytte en boolsk algebra).
Overvej et sæt med tre elementer. Undergrupperne af er:
Sættet af dele af er derfor:
.Vi kontrollerer i forbifarten, at vi har det .
I mængdelære, X Y betyder sæt applikationer Y i X . Da 2 kan defineres som sættet {0, 1} i konstruktionen af von Neumanns naturlige heltal , kan 2 E betegne sæt af funktioner fra E i {0, 1}.
Der er en kanonisk sammenhæng mellem 2 E og . Det kan derfor ske, at vi identificerer 2 E og .
(da) Eric W. Weisstein , " Power Set " , på MathWorld
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">