Tønde sæt

I funktionel analyse og i felter tæt på matematik er et tønsæt eller en tønde i et topologisk vektorrum et sæt, der er konveks , absorberende , lukket og afbalanceret (mnemonic, det er en tønde kaffe).

Definition

Et sæt E af et K- topologisk vektorrum X (hvor K er et ikke-diskret værdiansat felt, der er en -algebra) er tønder, hvis det er: $\ mathbb {R}$

konveks : ${\ displaystyle \ forall t \ i [0,1], tE + (1-t) E \ subset E}$
afbalanceret : ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ i K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E \ subset E}$
absorberende : ${\ displaystyle \ forall x \ i X, \ eksisterer \ alpha \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ i K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ i E}$
lukket

Bemærkninger .

Kun den sidste ejendom (lukket) er topologisk.
For at en konveks E skal være afbalanceret (vi siger også "cirklet"), er det tilstrækkeligt ${\ displaystyle \ forall \ lambda \ in K, | \ lambda | = 1 \ Rightarrow \ lambda E \ subset E.}$
En del E er en afbalanceret konveks, hvis og kun hvis den er absolut konveks (in) : ${\ displaystyle \ forall \ lambda, \ mu \ in K, | \ lambda | + | \ mu | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda E + \ mu E \ subset E.}$
For at en afbalanceret del E skal være absorberende, er det tilstrækkeligt, at en hvilken som helst vektor af X er homotetisk for en vektor af E : ${\ displaystyle KE = X.}$

Ejendomme

Tønderne har interessante egenskaber hovedsageligt i det lokalt konvekse tilfælde. Faktisk lad E et lokalt konveks rum (inden for fast eller kompleks), dens dobbelte og T en del af E . Følgende betingelser er ækvivalente: ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) T er en tønde;(b) T er polar for et konveks, afbalanceret og stærkt afgrænset sæt M i ;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

x \ i E

{\ displaystyle p (x) \ leq 1}

Disse ækvivalenser er en konsekvens af det bipolære sætning (deraf af Hahn-Banach-sætningen ).

Eksempler

I en semi-normeret vektorrum , den enhed bolden er tøndeformede.
Ethvert lokalt konvekst rum indrømmer et grundlag for kvarterer på 0 tønder.

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Barreled set " ( se listen over forfattere ) .
(da) " Barrel " , på PlanetMath

Se også

Spærret rum, et separat topologisk vektorrum, hvor ethvert spærret sæt er et kvarter på 0.