Spærret plads

I funktionel analyse , og på områder tæt på matematik , barreled rum er topologiske vektorrum hvor enhver spærret sæt - eller tønde - plads er en kvarter af vektoren nul . Hovedårsagen til deres betydning er, at de er nøjagtigt dem, som Banach-Steinhaus-sætningen gælder for.

Historie

Nicolas Bourbaki opfandt udtryk som "tonneau" eller "tonnelé" -rum (fra vinfade) såvel som " bornologiske " rum .

Definitioner

I et topologisk vektorrum $E$ på et ikke- diskret værdiansat felt K, som er en ℝ -algebra (for eksempel på ℝ eller ℂ ), kalder man tønde for enhver konveks , afbalanceret , lukket og absorberende del $T$ :

konveks: ${\ displaystyle \ forall u, v \ in T, \ forall t \ in [0,1], tu + (1-t) v \ in T}$
afbalanceret: ${\ displaystyle \ forall u \ i T, \ forall \ lambda \ i K, | \ lambda | \ leq 1 \ Rightarrow \ lambda u \ in T}$
lukket: for topologien i $E.$
absorberende: ${\ displaystyle \ forall x \ i E, \ eksisterer \ alpha \ i \ mathbb {R} _ {+} ^ {*}, \ forall \ lambda \ i K: | \ lambda | \ leq \ alpha \ Rightarrow \ lambda x \ i T.}$

Rumet $E$ siges at være tøndevalset, hvis en tønde $E$ er et kvarter på $0$ .

Under hensyntagen til egenskaberne for en tønde i et lokalt konveks rum er følgende betingelser ækvivalente for et lokalt konveks tøndeområde E (hvis dobbelt er bemærket ): ${\ displaystyle E ^ {\ prime}}$

(a) E er tøndeformet;(b) enhver svagt afgrænset del af er lige kontinuerlig;

{\ displaystyle E ^ {\ prime}}

(c) enhver semi-norm semi-kontinuerlig nedenfor i E er kontinuerlig(d) for ethvert lokalt konvekst rum F er enhver enkelt afgrænset del ligekontinuerlig.

{\ mathcal L} (E; F)

(Disse ækvivalenser er en konsekvens af det bipolære sætning , derfor af Hahn-Banach-sætningen .)

Eksempler og egenskaber

Et lokalt konvekst rum E er tønde, hvis og kun hvis dets oprindelige topologi falder sammen med den stærke topologi . ${\ displaystyle \ beta (E, E ^ {\ prime})}$
De Fréchet rum og især Banachrum er riflede, men generelt vektor normeret rum er ikke tøndeformede.
De rum Montel er riflede per definition.
de topologiske vektorrum, som er de Baire- rum, er tønde.
En space Mackey (in) separat , fuld er tønde .
Et induktivt grænserum for en familie af tøndeområder er tønde. Derfor er et ultrabornologisk rum udelukket, og især er et bornologisk og semi-komplet rum udelukket (men der er spærrede rum, der ikke er bornologiske).
Et kvotientrum i et spærret rum er tappet (på den anden side er et lukket underrum af et spærret rum ikke nødvendigvis spærret).
En nødvendig og tilstrækkelig betingelse for, at et direkte sumrum af lokalt konvekse rum kan tages, er at hver af dem er. ${\ displaystyle E_ {i}}$ ${\ displaystyle E_ {i}}$
Et produkt af tønderrum er tønder.
Komplementet til et separat rum med en tønde (eller endda infratonned: se nedenfor ) er et spærret rum.
Lad være et åbent sæt af ℝ n eller mere generelt en differentieringsmanifold med endelig dimension parakompakt . Klassisk bemærkede rum (rum med uendeligt differentierbare funktioner i ), dens stærke dobbelt (rum med fordelinger med kompakt understøtning i ), (rum med uendeligt differentierbare funktioner med kompakt understøttelse i : se artiklen Fordeling ) og dets stærke dobbelt (rum med fordelinger i ) er mellemrumsrum (de er endda Montel-rum). Ligeledes er Schwartz-rummet med faldende funktioner på og dets stærke dobbelte, nemlig rummet med tempererede fordelinger på , tønderrum. $\ Omega$ ${\ mathcal {E}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ mathcal {E}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ mathcal {D}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${{\ mathcal {D}}} ^ {{\ prime}} (\ Omega)$ $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} (\ mathbb {R} ^ {n})}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$
Lad være et åbent sæt af ℝ n eller mere generelt en ægte analyse af den endelige dimension parakompakt , og K en kompakt delmængde af . Rummet af frø til analytiske funktioner i et komplekst kvarter af K og dets stærke dobbelte , isomorfe til rummet af hyperfunktioner med støtte inkluderet i K , inklusive tønderrum. $\ Omega$ $\ Omega$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ venstre (K \ højre)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {O}} \ left (K \ right) ^ {\ prime}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} _ {K} \ left (\ Omega \ right)}$

Halvløbet rum, uhænget rum og særpræget rum

Definitioner

Lad E være et topologisk vektorrum. En afbalanceret del A af E siges bornivore hvis det absorberer nogen begrænset delmængde af E .

Et lokalt konveks plads E siges infrabarrelled (undertiden også kaldet kvasi riflede ), hvis nogen af tønde E er bornivore er et kvarter af $0$ i E .

Et lokalt konveks plads E siges at være semi-barrelled hvis følgende betingelse er opfyldt: Lad U være en bornivorous del af E som er skæringspunktet mellem en række konveks, afbalanceret og lukkede kvarterer i $0$ ; derefter U er et kvarter af $0$ i E .

Et lokalt konveks rum E siges at skelnes, hvis dets stærke dobbelt er tønde.

Ejendomme

Alt spærret rum er frit, og alt frit område er spærret. Et bornologisk rum (især et lokalt konveks, metriserbart rum) er infratonnel. Et kvotient af et infratonnelrum i et underrum er infratonnel. Det vises let, at de infratonale rum er Mackey-mellemrum . Dette er generelt ikke tilfældet med rum med halvtønder, der har relativt få egenskaber, når de ikke er mellemrum (DF) .

Et semi-komplet uafhængigt rum er tønder.

Den stærke dobbelte F i et lokalt konveks, målbart rum E er halvfatet (og komplet, det er endda et mellemrum (DF) ) og spærret, hvis E er komplet og refleksiv (i dette tilfælde er F også bornologisk ).

Et semi-refleksivt rum såvel som et lokalt konveks, målbart og kvasi-normerbart rum (især et normaliseret vektorrum ) skelnes mellem (men der er særprægede rum, der ikke er semi-refleksive). Hvis E er målbar, er følgende betingelser ækvivalente: (a) E skelnes mellem, (b) F er ikke knyttet; (c) F er bornologisk; (d) F er tønde; (e) F er ultrabornologisk . Et rum E , den strenge induktive grænse for en række fremtrædende metriserbare rum, er et fremtrædende lokalt konveks rum, og dets stærke dobbelt er bornologisk og tønde. Der er markante Mackey-rum, der ikke er infratonal. Der er Fréchet-rum, der ikke skelnes, derfor er den stærke dualitet af et tønderum ikke nødvendigvis tønder.

Se også

Noter og referencer

Bemærkninger

Bourbaki 1950
Bourbaki 2006 , s. IV.52, øvelse. 1 a); Jarchow 1981 , s. 222.
Bourlès 2013

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Barreled space " ( se listen over forfattere ) .
Nicolas Bourbaki , " På nogle topologiske vektorrum ," Annals of Institut Fourier , , vol. 2,1950, s. 5-16 ( læs online )
N. Bourbaki , topologiske vektorrum: Kapitel 1 til 5 , Springer,2006, 368 s. ( ISBN 3-540-34497-7 )
(en) Henri Bourlès , " On semi-barreled spaces " , arxiv.org , nr . 1304.0360v5,2013( læs online )
Jean Dieudonné og Laurent Schwartz , " Dualiteten i rum (F) og (LF) ", Annales de Institut Fourier , bind. 1,1949, s. 60-101 ( læs online )
(en) Alexandre Grothendieck , “ On spaces (F) and (DF) ” , Summa Brasiliensis Mathematicae , vol. 3, nr . 6,1954, s. 57-123
(en) Hans Jarchow , lokalt konvekse rum , Stuttgart, Teubner,nitten og firs, 548 s. ( ISBN 3-519-02224-9 )
(en) Gottfried Köthe , Topologiske Vector Spaces I , Springer Verlag,1969( læs online )
(en) François Treves , Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels , Dover Publications Inc.,2007, 565 s. ( ISBN 978-0-486-45352-1 og 0-486-45352-9 , læs online )