Regelmæssig plads

I matematik er et almindeligt rum et topologisk rum, der opfylder følgende to separationsbetingelser :

• T 2  : rummet er adskilt  ;
• T 3  : Vi kan adskille et punkt x og et lukket, der ikke indeholder x, med to usammenhængende åbninger .

Ejendom T 3

Lad E være et topologisk rum (ikke nødvendigvis adskilt). Følgende forslag er ækvivalente:

• E er T 3  ;
• man kan adskille et punkt x og et lukket, der ikke indeholder x, ved to åbninger med uensartede adhæsioner ;
• hvert punkt x indrømmer et grundlag for lukkede kvarterer (med andre ord: hvert åbent indeholdende x indeholder et lukket kvarter på x );
• alt lukket er krydset mellem dets lukkede kvarterer .

Den grove topologi (på ethvert sæt) er T 3 .

Ejendommen T 3 er (som T 2 ) bevaret af underrum og af produkter .

Helt almindeligt rum

Et topologisk rum siges at være helt regelmæssigt, hvis det kan standardiseres og adskilles. Ethvert helt regelmæssigt rum er regelmæssigt, fordi et mellemrum X er ensartet, hvis og kun hvis der for et punkt x af X og ethvert lukket F af X, der ikke indeholder x , findes en kontinuerlig funktion af X i segmentet [0, 1] lig 0 i x og én på F .

For eksempel er enhver separat topologisk gruppe helt regelmæssig. De normale rum og lokalt kompakte rum er helt regelmæssige.

Noter og referencer

1. N. Bourbaki , generel topologi, kapitel 1 til 4 , Berlin, Springer ,2007( 1 st  ed. 1971), 376  s. ( ISBN  978-3-540-33936-6 , læs online ) , s.  I.56.
2. Eller bare T 0 og T 3 , da T 0 ∧T 3 ⇒ T 2 .
3. (in) "  Et topologisk rum er regelmæssigt, hvis og kun hvis et lukket sæt Z er skæringspunktet mellem lukkede ict-kvarterer?  » , Om matematik.stackexchange .
4. N. Bourbaki , generel topologi, kapitel 5 til 10 , Berlin, Heidelberg, Springer,2007( 1 st  ed. 1974), 336  s. ( ISBN  978-3-540-34486-5 , læs online ) , s.  IX.8.

Relateret artikel

• Semi-regelmæssigt rum  (i)