Liouville-funktion
Den Liouville funktion , bemærkede λ og opkaldt til ære for den franske matematiker Joseph Liouville , er en vigtig aritmetisk funktion af talteori , defineret ved:
∀ikke∈IKKE∗,λ(ikke)=(-1)Ω(ikke),{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N} ^ {*}, \ quad \ lambda (n) = (- 1) ^ {\ Omega (n)},}
hvor Ω ( n ) er antallet af primfaktorer, der tælles med mangfoldigheden af heltalet n > 0.
hvis ikke=∏jeg=1msjegγjeg, så Ω(ikke)=∑jeg=1mγjeg.{\ displaystyle {\ text {si}} n = \ prod _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} ^ {\ gamma _ {i}}, {\ text {derefter}} \ Omega (n) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} \ gamma _ {i}.}
for eksempel: 12 = 2² × 3 og Ω (12) = 3).
Ejendomme
- Funktionen λ er fuldstændig multiplikativ, fordi funktionen Ω er fuldstændig additiv . Derfor er λ (1) = 1.
- Det opfylder følgende identitet, hvor ✻ betegner Dirichlet foldning , 1 den konstant funktion 1 og χ C den indikatorfunktion af sættet C af perfekte kvadrater :λ∗1=χVS,ou eikkevs.ore :∑d|ikkeλ(d)={1hvis ikke er en perfekt firkant,0hvis ikke.{\ displaystyle \ lambda * {\ mathbf {1}} = \ chi _ {C}, \ quad {\ rm {eller ~ igen ~:}} \ quad \ sum _ {d | n} \ lambda (d) = {\ begin {cases} 1 og {\ text {si}} n {\ text {er en perfekt firkant,}} \\ 0 & {\ text {ellers.}} \ end {cases}}}
Faktisk er disse to funktioner n er multiplikative og klart falder sammen på beføjelser af primtal .
- Liouville-funktionen er den inverse , for ✻, af den absolutte værdi af Möbius-funktionen μ.
Denne egenskab trækkes fra den forrige ved at bemærke, at χ C ✻ | μ | = 1 .
- Den Dirichlet serie af λ er relateret til riemanns zetafunktion ved formlen:
∑ikke=1∞λ(ikke)ikkes=ζ(2s)ζ(s).{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s )}}.}
∑ikke=1∞λ(ikke)qikke1-qikke=∑ikke=1∞qikke2=12(ϑ3(q)-1){\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n) q ^ {n}} {1-q ^ {n}}} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} q ^ {n ^ {2}} = {\ frac {1} {2}} \ left (\ vartheta _ {3} (q) -1 \ right)}
hvor er en Jacobi theta- funktion.
ϑ3(q){\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}![{\ displaystyle \ vartheta _ {3} (q)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11a05fdd61c471ba55dc6c057a611ccef77fbdfe)
Formodninger
Pólya formodning
Vi bemærker . Pólya havde formodet i 1919, at der blev afvist i 1958 af Colin Brian Haselgrove . Minoru Tanaka fandt i 1980 den mindste modeksempel n : L (906 150 257) = 1. Vi har endda L ( n ) > 0,061867 √ n for en uendelig heltal n . Det vides ikke, om antallet af tegnændringer af L er endeligt, og med god grund: Riemann-hypotesen og enkelheden af alle nuller i Riemann-zeta-funktionen ville resultere.
L(ikke)=∑k=1ikkeλ(k){\ displaystyle L (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ lambda (k)}
∀ikke>1,L(ikke)⩽0{\ displaystyle \ forall n> 1, \; L (n) \ leqslant 0}
En anden formodning (undertiden forkert tilskrevet Pál Turán ): hvis vi definerer , så det ud til at være sandsynligt, at M ( n ) ≥ 0 for n tilstrækkelig stor, hvilket også blev afvist i 1958 af Haselgrove. Denne egenskab, hvis den havde været sand, ville have resulteret i sandheden af Riemann-hypotesen, som Pál Turán havde vist.
M(ikke)=∑k=1ikkeλ(k)k{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}![{\ displaystyle M (n) = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {\ lambda (k)} {k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf64a534df61aceda5c2a53986303242d459d8c3)
Chowla-formodning
En formodning Sarvadaman Chowla siger, at for heltal ikke-negative tal har alle forskellige og ikke-negative heltal med for vi:
k{\ displaystyle k}
bjeg{\ displaystyle b_ {i}}
k{\ displaystyle k}
påjeg{\ displaystyle a_ {i}}
påjegbj-påjbjeg≠0{\ displaystyle a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i} \ not = 0}
1≤jeg<j≤k{\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}![{\ displaystyle 1 \ leq i <j \ leq k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac845570b060e53af400e8ee2ade6c7dd844546)
∑1≤ikke≤xλ(på1ikke+b1)⋅⋅⋅λ(påkikke+bk)=o(x){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = o (x)}![{\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq n \ leq x} \ lambda (a_ {1} n + b_ {1}) \ cdot \ cdot \ cdot \ lambda (a_ {k} n + b_ {k}) = o (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a3b69e08d40d073ed7cd2e3362c518bdd0e26d)
når ,
x→∞{\ displaystyle x \ til \ infty}![{\ displaystyle x \ til \ infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eda2caf97ec29f30d5f0c0cd7135393361efc020)
hvor betegner Landau-symbolet .
o{\ displaystyle o}![o](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c1031f61947aa3d1cf3a70ec3e4904df2c3675d)
Formodningen er sand, for da den svarer til sætningen med primtal ; det er åbent for .
k=1{\ displaystyle k = 1}
k≥2{\ displaystyle k \ geq 2}![{\ displaystyle k \ geq 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c797a67c0a51167d373c013a9a020f4568a11754)
I 2015 gjorde Kaisa Matomäki , Maksym Radziwill og Terence Tao nogle fremskridt, når det kommer til en gennemsnitlig version af gætteriet. I 2016 demonstrerede Terence Tao en logaritmisk version af formodningerne i sagen . En lignende formodning formuleres på samme måde ved at erstatte Liouville-funktionen med Möbius-funktionen.
k=2{\ displaystyle k = 2}![k = 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bd301789e1f25a3da4be297ff637754ebee5f5d)
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Liouville-funktion " ( se listen over forfattere ) .
-
Suite A008836 fra OEIS .
-
(da) Eric W. Weisstein , " Pólya Conjecture ", på MathWorld .
-
(en) CB Haselgrove , " A disproof of a conjectures of Pólya " , Mathematika , bind. 5,1958, s. 141-145 ( DOI 10.1112 / S0025579300001480 ).
-
(da) Peter Borwein , Ron Ferguson og Michael J. Mossinghoff , “ Sign Changes in Sums of the Liouville Function ” , Math. Komp. , Vol. 77, nr . 263,2008, s. 1681-1694 ( læs online ).
-
K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao : En gennemsnitlig form af Chowla's formodninger, Algebra & talteori, bind 9, 2015, side 2167-2196, arXiv
-
T. Tao: De logaritmisk gennemsnitlige Chowla og Elliott formodninger for to-punkts korrelationer, Forum of Mathematics, Pi (2016), Vol. 4, 36 sider doi: 10.1017 / fmp.2016.6.