Opdelerfunktion

I matematik er funktionen "summen af delernes kræfter ", undertiden forkortet som en divisorfunktion , betegnet , er den multiplikative funktion, som til ethvert heltal $n$ $> 0$ associerer summen af kræfterne -ths af de positive delere af $n$ , hvor er et hvilket som helst komplekst tal : $\ sigma _ {a}$ $på$ $på$

{\ displaystyle \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {d | n} d ^ {a}.}

Ejendomme

Funktionen er multiplikativ , det vil sige, at for alle heltal m og n indbyrdes primiske , . Faktisk er kollisionsproduktet af to multiplikative funktioner : power- th- funktionen og den konstante funktion 1. $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n)}$ $\ sigma _ {a}$ $på$
Hvis $p$ er et primtal, er $σ a ( p k )$ en delvis sum af geometriske serier : ${\ displaystyle \ forall k \ in \ mathbb {N}, \ quad \ sigma _ {a} (p ^ {k}) = 1 + p ^ {a} + p ^ {2a} + \ ldots + p ^ { ka} = {\ begin {cases} {\ frac {p ^ {(k + 1) a} -1} {p ^ {a} -1}} & {\ text {si}} p ^ {a} \ neq 1, \\ k + 1 & {\ text {si}} p ^ {a} = 1. \ end {cases}}}$ (Betingelsen $p a = 1$ svarer til $en \in i (2π / log p ) ℤ$ , hvilket er sandt for alle $p,$ hvis $a$ er nul og højst en, hvis ikke .) Især er den ikke fuldstændig multiplikativ . $\ sigma _ {a}$
Brugen af de to foregående egenskaber gør det muligt at bestemme $σ a ( n )$ ved at kende nedbrydningen i primfaktorer på $n$ : ${\ displaystyle {\ rm {si}} \ quad n = \ prod _ {i = 1} ^ {r} p_ {i} ^ {k_ {i}} \ quad {\ rm {then}} \ quad \ sigma _ {a} (n) = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {ja}.}$
Den anden af de samme to egenskaber gør det muligt at beregne $σ a$ ( p k ) ved Chebyshev-polynomierne : lad $U k være$ Chebyshev-polynomet af den anden slags grad $k$ , og $X k$ dens renormalisering defineret af $X k ( T ) = U k ( T / 2)$ . Så: ${\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {a} (p ^ {k})} {p ^ {ak / 2}}} = X_ {k} \ venstre ({\ frac {\ sigma _ {a} ( p)} {p ^ {a / 2}}} til højre).}$

Demonstration

Betegn med $q = p a / 2$ . Det er et spørgsmål om at bevise det

${\ displaystyle 1 + q ^ {2} + q ^ {4} + ... + q ^ {2k} = q ^ {k} X_ {k} (q + q ^ {- 1})}$

eller mere generelt, at vi har ligestillingen mellem polynomer:

${\ displaystyle 1 + T ^ {2} + T ^ {4} + ... + T ^ {2k} = T ^ {k} X_ {k} (T + T ^ {- 1}).}$ Det er tilstrækkeligt for at kontrollere det på et uendeligt antal værdier . Nu for enhver reel $θ$ ikke multipel af $π$ , ved at indstille $t = e i θ$ , har vi

${\ displaystyle X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = X_ {k} (2 \ cos \ theta) = U_ {k} (\ cos \ theta) = {\ frac {\ sin ((k +1) \ theta)} {\ sin \ theta}} = {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}}}$

derfor

${\ displaystyle t ^ {k} X_ {k} (t + t ^ {- 1}) = {\ frac {t ^ {k + 1}} {t}} {\ frac {t ^ {k + 1} -t ^ {- (k + 1)}} {tt ^ {- 1}}} = {\ frac {t ^ {2 (k + 1)} - 1} {t ^ {2} -1}} = 1 + t ^ {2} + t ^ {4} + ... + t ^ {2k},}$

som afsluttes.

Ved multiplikativitet udleder vi fra det foregående punkt: ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (m) \ sigma _ {a} (n) = \ sum _ {d \ mid (m, n)} d ^ {a} \ sigma _ {a} \ left ({ \ frac {mn} {d ^ {2}}} til højre$ (hvor $( m , n )$ betegner gcd for $m$ og $n$ ) derefter ved Möbius inversion : ${\ displaystyle \ sigma _ {a} (mn) = \ sum _ {d \ mid (m, n)} \ mu (d) d ^ {a} \ sigma _ {a} \ left ({\ frac {m } {d}} \ højre) \ sigma _ {a} \ venstre ({\ frac {n} {d}} \ højre)}$ .
Den Dirichlet serien er forbundet med er udtrykt ved brug af Riemann funktionen $ζ$ : $\ sigma _ {a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s}}} = \ zeta (s) \ zeta (sa)}$ og vi har forholdet: ${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s}}} = {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab)}}.}$

Tilfælde hvor a er et naturligt tal

Antal divisorer fungerer

Funktionen ( "antal divisorer" ), også bemærket $d$ , kaldes også tau-funktion (fra tysk Teiler : divisor) og bemærkes $τ$ . Det tæller antallet af positive delere af $n$ : $\ sigma _ {0}$

{\ displaystyle d (n) = \ tau (n) = \ sum _ {d | n} 1 = \ operatorname {Card} \ {1 \ leqslant d \ leqslant n: d | n \} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} (k_ {i} +1).}

Resultatet er angivet som følgende A000005 fra OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {0} (n))}$

Summen af divisorer fungerer

Den sigma-funktionen er undertiden betegnet $σ$ . Vi har $\ sigma _ {1}$

{\ displaystyle \ sigma (n) = \ sum _ {d | n} d = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ sum _ {j = 0} ^ {k_ {i}} p_ {i} ^ {j} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} {\ frac {p_ {i} ^ {k_ {i} +1} -1} {p_ {i} -1}}.}

For eksempel, hvis $n = pq$ for to forskellige primtal $p$ og $q$ , så

${\ displaystyle \ sigma (n) = (p + 1) (q + 1) = n + 1 + (p + q) {\ text {and}} \ varphi (n) = (p-1) (q- 1) = n + 1- (p + q)}$ hvor φ er Euler-indikatoren .

Summen af de strenge delere af $n$ er ${\ displaystyle s (n) = \ sum _ {d | n, d \ neq n} d = \ sigma (n) -n.}$ Heltallet $n$ siges at være perfekt, hvis $s ( n ) = n$ , mangelfuld, hvis $s ( n ) < n$ og rigeligt, hvis $s ( n )> n$ .

Resultatet er angivet som følgende A000203 fra OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {1} (n))}$

Andre værdier for $en$

Resultatet er angivet som følgende A001157 fra OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {2} (n))}$

Resultatet er angivet som følgende A001158 fra OEIS . ${\ displaystyle (\ sigma _ {3} (n))}$

Noter og referencer

Emmanuel Royer. Et "afrikansk" kursus om modulformularer .
" d (n) (også kaldet Udløbet tau (n) guld sigma_0 (n)), antallet af delere af n " , efter A000005 i OEIS .
GH Hardy og EM Wright , introduktion til talteori ; William John Ellison og Michel Mendès France , The Prime Numbers ,1975[ udgave af udgaven ].
Edmund Landau Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Teubner, Berlin 1909.
Gérald Tenenbaum , Introduktion til analytisk og sandsynlig talteori , Belin.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

J. Liouville , " Generalisering af en formel, der vedrører summen af magtdelere af et tal ", J. Math. Ren appl. , 2 nd serier, vol. 3,1858, s. 63-68 ( læs online )

Eksternt link

(da) Eric W. Weisstein , " Divisor Function " , på MathWorld