Perfekt nummer

I aritmetik er et perfekt tal et naturligt tal svarende til halvdelen af ​​summen af ​​dens skillevægge eller summen af ​​dets strenge skillevægge . Mere formelt er et perfekt tal n et helt tal, således at σ ( n ) = 2 n hvor σ ( n ) er summen af ​​de positive delere af n . Så 6 er et perfekt tal, fordi dets heltaldelere er 1, 2, 3 og 6, og det verificerer 2 × 6 = 12 = 1 + 2 + 3 + 6 eller endda 6 = 1 + 2 + 3.

Se fortsættelse A000396 af OEIS .

Selv perfekte tal

Første opdagelser

I bog IX af sin Elements , Euclid , den III th  århundrede  f.Kr.. BC demonstrerede, at hvis M = 2 p - 1 er primær , er M ( M + 1) / 2 = 2 p –1 (2 p - 1) perfekt.

Desuden Leonhard Euler i XVIII th  århundrede , viste, at al fuldkommen lige antal er af den foreslåede form af Euklid. Søgningen efter lige perfekte tal er derfor knyttet til det primære Mersenne- tal (primtal fra formen M p = 2 p  - 1, hvor heltal p derefter nødvendigvis er prim). Den "perfektion" af et sådant nummer er skrevet:

2s-1(2s-1)=2s-1Ms=1+2+4+⋯+2s-1+Ms+2Ms+4Ms+⋯+2s-2Ms.{\ displaystyle 2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1) = 2 ^ {p-1} M_ {p} = 1 + 2 + 4 + \ cdots + 2 ^ {p-1} + M_ {p} + 2M_ {p} + 4M_ {p} + \ cdots + 2 ^ {p-2} M_ {p}.} Bevis for Euclid-Euler-sætningen

Vi vil vise ækvivalensen:

A = 2 p -1 (2 p - 1) (med 2 p - 1 prime) ⇔ A er et lige perfekt tal

Direkte betydning:

Lad A = 2 p -1 (2 p - 1) , hvor 2 p - 1 er prime.

σ(PÅ)=σ(2s-1(2s-1))=σ(2s-1)σ(2s-1).{\ displaystyle \ sigma (A) = \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} - 1).}

Delerne på 2 p −1 er 1, 2, 4, 8, ..., 2 p -1 . Deres sum er den af ​​udtrykkene for en geometrisk sekvens . Det er værd at 2 p - 1 .

2 p - 1 er prime. Dens eneste skillevægge er 1 og sig selv. Deres sum er 2 % værd .

Ved at kombinere disse resultater:

σ(2s-1(2s-1))=σ(2s-1)σ(2s-1)=(2s-1)(2s)=2(2s-1)(2s-1)=2PÅ.{\ displaystyle {\ begin {align} \ sigma (2 ^ {p-1} (2 ^ {p} -1)) & = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (2 ^ {p} -1) \\ & = (2 ^ {p} -1) (2 ^ {p}) \\ & = 2 (2 ^ {p-1}) (2 ^ {p} -1) \\ & = 2A. \ Afslut {justeret}}}

Derfor er A = 2 p −1 (2 p - 1) perfekt.

Gensidig betydning

Antag at A er et lige perfekt tal. A = 2 p-1 x , hvor x er et ulige heltal.

Da A er perfekt, er summen af ​​dens skilleværdier dobbelt så værd:

σ(PÅ)=2PÅ=2sx=σ(2s-1x)=σ(2s-1)σ(x)=(2s-1)σ(x){\ displaystyle \ sigma (A) = 2A = 2 ^ {p} x = \ sigma (2 ^ {p-1} x) = \ sigma (2 ^ {p-1}) \ sigma (x) = (2 ^ {p} -1) \ sigma (x)}

Så 2sx=(2s-1)σ(x){\ displaystyle 2 ^ {p} x = (2 ^ {p} -1) \ sigma (x)}

Fra denne ligestilling skal den ulige faktor 2 p - 1 på højre side dele x , den eneste ulige faktor på venstre side ( Gaussisk lemma ). Så der er et heltal y < x , således at x = y (2 p - 1) . Lad os dele de to sider af ligestillingen med den fælles (ikke-nul) faktor 2 p - 1  :

2sy=σ(x){\ displaystyle 2 ^ {p} y = \ sigma (x)}

Nu (vi kender mindst to forskellige skillevægge af x  : x og y . Der kan være andre. Derfor ) 2sy=σ(x)≥x+y =2sy.{\ displaystyle 2 ^ {p} y = \ sigma (x) \ geq x + y \ = 2 ^ {p} y.}σ(x)≥x+y {\ displaystyle \ sigma (x) \ geq x + y \}

Som et slips . σ(x)=x+y{\ displaystyle \ sigma (x) = x + y}

Men x indrømmer mindst 1 og sig selv som delere. skal være mindst x + 1 . der er derfor 1 . x indrømmer kun 1 og sig selv som delere. Det er nødvendigvis først. x = 1 (2 p - 1) = 2 p - 1σ(x){\ displaystyle \ sigma (x)}

Således er A = 2 p -1 (2 p - 1) med 2 p - 1 prime. Hvad der var ønsket.

Eksempler

De første fire perfekte tal har været kendt siden oldtiden  :

• 6 = 2 1 (2 2 - 1) = (1 + 2) + 3;
• 28 = 2 2 (2 3 - 1) = (1 + 2 + 4) + (7 + 14);
• 496 = 2 4 (2 5 - 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16) + (31 + 62 + 124 + 248);
• 8 128 = 2 6 (2 7 - 1) = (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64) + (127 + 254 + 508 + 1.016 + 2.032 + 4.064).

Siden da er den samlede steg til 51 fuldkomne tal (da vi ved, at 51 numre af Mersenne-primtal , det sidste opdaget i december 2018) uden at vi ved, fra 47 th , hvis der ikke har nogen "huller" (mellemliggende fuldkomne tal ikke endnu opdaget).

De første syv lige perfekte tal er angivet i følgende tabel:

s	Antal Mersenne prime M p	Perfekt nummer 2 p –1 M p
2	3	6
3	7	28
5	31	496
7	127	8 128
13	8.191	33 550 336
17	131.071	8 589 869 056
19	524,287	137 438 691 328

Ejendomme

Ethvert lige perfekt tal slutter med en 6 eller en 8, men ikke nødvendigvis skiftevis.

I 2000 demonstrerede Douglas Iannucci, at alle perfekte lige tal er base to Kaprekar-numre .

Da lige perfekte tal har formen 2 n -1 (2 n  - 1), er de trekantede (og endda sekskantede ) tal og som sådan summen af ​​naturlige heltal op til en bestemt (ulige) rang, i dette tilfælde 2 n  - 1. Desuden er alle lige perfekte tal undtagen det første summen af ​​de første 2 ( n -1) / 2 ulige terninger. For eksempel :

28 = 1 3 + 3 3  ; 496 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3  ; 8128 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 9 3 + 11 3 + 13 3 + 15 3 .

Mærkeligt perfekt nummer

Matematikere i dag ved ikke, om der findes ulige perfekte tal. Forskellige værker er blevet foretaget, men ingen tillader at bekræfte eller benægte deres eksistens. I 1496 hævdede Jacques Lefèvre , at ethvert perfekt nummer er af den form, der er beskrevet af Euclid, hvilket naturligvis antyder, at der ikke findes noget ulige perfekt tal. I 2003 præsenterede Carl Pomerance en heuristisk metode, der antyder, at der ikke findes noget ulige perfekt tal.

Et ulige perfekt tal N skal opfylde følgende betingelser:

• N er større end 101500 .
• N er af formenIKKE=qas12e1...sk2ek{\ displaystyle N = q ^ {\ alpha} p_ {1} ^ {2e_ {1}} \ ldots p_ {k} ^ {2e_ {k}}} eller:
  • q , p 1 ,…, p k er forskellige primtal (Euler);
  • q ≡ α ≡ 1 (modulo 4) (Euler);
  • den mindste primfaktor for N er mindre end (2 k + 8) / 3;
  • forholdet e 1 ≡ e 2 ≡… ≡ e k ≡ 1 (modulo 3) er ikke opfyldt;
  • q α > 10 62 eller p j 2 e j > 10 62 i mindst en j  ;
  • N er mindre end 2 4 k .
• Hvis e i ≤ 2 for alle i  :
  • den mindste hoveddeler af N er mindst 739;
  • α ≡ 1 (modulo 12) eller α ≡ 9 (modulo 12).
• N har formen 12 m + 1 eller 324 m + 81 eller 468 m + 117.
• Den største hoveddeler af N er større end 108 .
• Den næststørste hoveddeler af N er større end 104 og den tredje større end 100.
• N opdeles i mindst 101 primfaktorer inklusive mindst 10 forskellige primfaktorer. Hvis 3 ikke er en divisor af N , har N mindst 12 forskellige primære divisorer.

Mindre egenskaber

Som vi tidligere har set, har de lige perfekte tal en meget præcis form, og de ulige perfekte tal er sjældne, hvis de overhovedet findes. Der er et antal enkle egenskaber, der kan bevises på perfekte tal:

• Et perfekt tal kan ikke deles med 105.
• Det eneste lige perfekte tal i formen x 3 + 1 er 28.
• Et Fermat-nummer kan ikke være perfekt.
• Summen af inverserne af delerne af et perfekt tal er lig med 2:
  • for 6, 1/6 + 1/3 + 1/2 + 1/1 = 2  ;
  • til 28, 1/28 + 1/14 + 1/7 + 1/4 + 1/2 + 1/1 = 2 .
• Antallet af delere med et perfekt tal N (lige eller ulige) er lige, da N ikke kan være et perfekt kvadrat.
  • Fra disse to resultater udleder vi, at ethvert perfekt tal er et heltal harmonisk gennemsnitstal .
• I base 10 slutter alle lige perfekte tal med 6 eller 28; i base 9 , med den eneste undtagelse af 6, ender de alle på 1.
• Det eneste perfekte tal uden en kvadratfaktor er 6.

Relaterede begreber

Hvis summen af ​​delerne er mindre end antallet, siges dette tal at være mangelfuld . I det tilfælde, hvor summen er større, siges antallet at være rigeligt . Disse udtryk er taget fra græsk numerologi . Et par tal, som hver er summen af ​​skillelinjerne for den anden, siges at være venlige , større cyklusser siges at være omgængelige . Et positivt heltal, således at hvert lavere heltal er summen af ​​forskellige divisorer af det første tal, siges at være praktisk .

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen "  Perfect number  " ( se listen over forfattere ) .

Bemærkninger

1. I det følgende angives antallet af primfaktorer, der adskiller sig fra N minus en (lad q og p 1 til p k ).k{\ displaystyle k}
2. Dette gamle resultat er meget mindre præcist end de i øjeblikket kendte ( se ovenfor ).

Referencer

1. (da) Mersennes primtal og perfekte numre på Prime Pages- siden .
2. (i) GIMPS Milepæle på hjemmesiden Great Internet Mersenne Prime Search .
3. Linjen p = 11 mangler, fordi M 11 ikke er primær. Se “ Mersennes primtal  ” for alle de kendte lister  .
4. (i) Douglas E. Iannucci, "  The Kaprekar Numbers  ," Journal of Integer Sequences , Vol. 3, 2000, afsnit 00.1.2.
5. (i) Leonard Eugene Dickson , historie Theory of Numbers  (en) [ detail udgaver ], flyvning. Jeg, s.  6 .
6. (en) Oddperfect.org .
7. (da) Pascal Ochem og Michaël Rao, "  Ulige perfekte tal er større end 10 1500  " , Matematik. Komp. , Vol.  81, nr .  279,2012, s.  1869-1877 ( DOI  10.1090 / S0025-5718-2012-02563-4 , læs online ).
8. (De) Otto Grün , “  Über ungerade vollkommene Zahlen  ” , Mathematische Zeitschrift , bind.  55, n o  3,1952, s.  353-354 ( DOI  10.1007 / BF01181133 ).
9. (i) Wayne L. McDaniel, "  Ikke-eksistensen af ​​ulige perfekte tal i en bestemt form  " , Archiv der Mathematik (Basel) , bind.  21,1970, s.  52-53 ( DOI  10.1007 / BF01220877 ).
10. (in) Pace P. Nielsen, "  En øvre grænse for ulige perfekte tal  " , Heltal , bind.  3,2003, A14 ( læs online ).
11. (i) Graeme L. Cohen, "  On the Largest component of a odd perfect number  " , J. Australian Mathematical Society , bind.  42, nr .  21987, s.  280-286 ( læs online ).
12. (i) Tim S. Roberts, "  On form af en Odd Perfect Number  " , australske Matematisk Gazette , bd.  35, nr .  4,2008, s.  244 ( læs online ).
13. (in) Takeshi Goto og Yasuo Ohno, "  Ulige perfekte tal - har en primærfaktorledning 108  " , Matematik. Komp. ,2008( læs online ).
14. (in) OF Iannucci , "  Den næststørste hoveddeler med et ulige perfekt tal overstiger ti tusind  " , Matematik. Komp. , Vol.  68, nr .  2281999, s.  1749-1760 ( læs online )
15. (in) OF Iannucci , "  Den tredje største hoveddeler med et ulige perfekt tal overstiger hundrede  " , Matematik. Komp. , Vol.  69, nr .  2302000, s.  867-879 ( læs online ).
16. (in) Pace P. Nielsen, "  Ulige perfekte tal, diofantiske ligninger og øvre grænser  " , Matematik. Komp. , Vol.  84,2015, s.  2549-2567 ( DOI  10.1090 / S0025-5718-2015-02941-X , læs online ).
17. (i) Pace P. Nielsen, "  Ulige perfekte tal - har mindst ni forskellige primfaktorer  " , Matematik. Komp. , Vol.  76, nr .  260,2007, s.  2109-2126 ( DOI  10.1090 / S0025-5718-07-01990-4 , læs online ), arXiv : matematik.NT / 0602485 .
18. (De) Ullrich Kühnel, "  Verschärfung der notwendigen Bedingungen für die Existenz von ungeraden vollkommenen Zahlen  " , Mathematische Zeitschrift , vol.  52,1949, s.  201-211 ( læs online ).
19. (in) A. Makowski "  Bemærkning er perfekte tal  " , Elemente der Mathematik , bind.  17, nr .  109,1962.
20. (i) Florian Luca, "  Det antisociale Fermat-nummer  " , Amer. Matematik. Månedligt , vol.  107,2000, s.  171-173.
21. H. Novarese. Note on Perfect Numbers , Texeira J. VIII (1886), 11-16.
22. (i) Leonard Eugene Dickson , historie Theory of Numbers  (en) [ detail udgaver ], flyvning. Jeg, s.  25 .

eksterne links

• (es) Sobre el patrón de los números primos
• (da) Kendte perfekte tal