Tegnfunktion
Det skilt funktion , eller signum i latin , ofte repræsenteret som sgn i udtryk , er en matematisk funktion , som trækker det tegn på et reelt tal , der er, at billedet af et antal af denne ansøgning er en hvis tallet er strengt positiv , 0 hvis tallet er nul , og -1 hvis tallet er strengt negativt :
∀x∈R,sgn(x)={-1hvis x<00hvis x=01hvis x>0{\ displaystyle \ forall x \ i \ mathbb {R}, \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 & {\ text {si}} x <0 \\ 0 & {\ text { si}} x = 0 \\ 1 & {\ text {si}} x> 0 \ end {cases}}}Alternativ notation
Tegnfunktionen kan også skrives:
∀x∈R,sgn(x)={0hvis x=0x|x| eller |x|xhvis x≠0{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R}, \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} 0 & {\ text {si}} x = 0 \\ {\ frac {x} { | x |}} {\ text {eller}} {\ frac {| x |} {x}} og {\ text {si}} x \ neq 0 \ end {cases}}}Vi kan også konstruere det som et resultat af en grænse, især ved at lege med egenskaberne ved visse hyperbolske funktioner .
Ved at tage (symmetrisk på y-aksen) som en substitutionsfunktion for , annullere dens egenskab af eksponentiel vækst ved at multiplicere dens inverse med og trække fra resultatet, får vi en funktion svarende til tegnfunktionen, forbi (figur til højre).
koselig(x){\ displaystyle \ cosh (x)}|x|{\ displaystyle | x |}ex{\ displaystyle e ^ {x}}1{\ displaystyle 1}0{\ displaystyle 0}
exkoselig(x)-1=e2x-1e2x+1=tanh(x){\ displaystyle {\ frac {e ^ {x}} {\ cosh (x)}} - 1 = {\ frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}} = \ tanh ( x)}
Ved at analysere grænserne for denne funktion i , og henholdsvis , og vi udlede følgende forhold:
+∞{\ displaystyle + \ infty}-∞{\ displaystyle - \ infty}0{\ displaystyle 0}+1{\ displaystyle +1}-1{\ displaystyle -1}0{\ displaystyle 0}
sgn(x)=limυ→+∞tanh(υx)=limυ→+∞eυx-1eυx+1{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = \ lim _ {\ upsilon \ rightarrow + \ infty} \ tanh (\ upsilon x) = \ lim _ {\ upsilon \ rightarrow + \ infty} {\ frac {e ^ {\ upsilon x} -1} {e ^ {\ upsilon x} +1}}}
På samme måde kan vi udlede lignende forhold til . Disse definitioner af tegnfunktionen er interessante, fordi de ikke pålægger en betingelse for værdien af .
2πtpåikke-1x{\ textstyle {\ frac {2} {\ pi}} tan ^ {- 1} x}x{\ displaystyle x}
Ejendomme
Ethvert reelt tal kan udtrykkes som produktet af dets absolutte værdi og dets tegn:
∀x∈R,x=sgn(x)|x|.{\ displaystyle \ forall x \ i \ mathbb {R}, \, x = \ operatorname {sgn} (x) | x |.}Tegnfunktionen kan også linkes til Heaviside-funktionen :
∀x∈R,sgn(x)=2H(x)-1.{\ displaystyle \ forall x \ i \ mathbb {R}, \, \ operatorname {sgn} (x) = 2H (x) -1.}Kontinuitet
Det præsenterer en diskontinuitet ved 0, både til venstre (siden ) og til højre (siden ).
limx→0x<0sgn(x)=-1≠sgn(0){\ displaystyle \ textstyle \ lim _ {x \ til 0 \ oven på x <0} \ operatornavn {sgn} (x) = - 1 \ neq \ operatorname {sgn} (0)}limx→0x>0sgn(x)=1≠sgn(0){\ displaystyle \ lim _ {x \ til 0 \ oven på x> 0} \ operatorname {sgn} (x) = 1 \ neq \ operatorname {sgn} (0)}
Primitiv
Tegnfunktionen kan ses som afledt i enhver anden reel end 0 af den absolutte værdifunktion:
∀x∈R∗,d|x|dx=sgn(x).{\ displaystyle \ forall x \ in \ mathbb {R} ^ {*}, \, {\ frac {\ mathrm {d} | x |} {\ mathrm {d} x}} = \ operatorname {sgn} (x ).}Se også
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">