Grundlaget for matematik

De grundlaget for matematik er principperne i matematikkens filosofi , som denne videnskab er baseret .

Synspunkter om arten af ​​matematik

Logik

Den logicism er især blevet anbefalet af Gottlob Frege og Bertrand Russell . Ren matematik har to karakteristika: dens diskurs generalitet - hensynet til eksisterende oplysninger er udelukket - og fradragsberettigelsen af matematisk diskurs - de slutninger, der strukturerer matematisk diskurs, er formelle implikationer (de bekræfter ikke selve forslagene, men behovet for deres forbindelse). Da den matematiske diskurs kun hævder en formel sandhed, er det muligt at reducere matematik til logik, idet de logiske love er "sandhedens" love. For eksempel består den logiske definition af antal langt fra at blive reduceret til den konkrete funktion af tælleobjekter i henvisningen til den numeriske ligestilling af to klasser (to klasser har det samme antal, hvis det er muligt at etablere et forhold mellem deres elementer bijective ). Logik stødte ikke desto mindre på reelle vanskeligheder i sine tidlige dage, for så vidt som det engagerer sig ontologisk i forhold til klasser. Klasseteori havde ført til logiske paradokser, som nu var løst, men som havde afsløret behovet for afklaring af aksiomerne.

Formalisme

Den formalisme er støttet af David Hilbert  : matematik præsenteres som en ren konstruktion af sindet. Matematikernes opgave er at udlede sætninger fra aksiomer, som hverken er sande eller falske. Gyldighed hviler kun på udsagnens struktur og ikke på arten af ​​det, de taler om. Sandheden i matematik er reduceret til deres interne sammenhæng, det ikke er i modstrid med propositioner. Debatten om denne formalistiske opfattelse blev genoplivet af Gödel's ufuldstændighedssætning, der hævder, at ethvert sammenhængende og rekursivt formelt system indeholdende aritmetik har et forslag, der hverken kan påvises eller tilbagevises; desuden er dette udsagn dog "sandt" i den intuitive betydning af udtrykket: det formaliserer faktisk påstanden, ifølge hvilken teorien er sammenhængende, som man antog fra starten.

Intuitionisme

Den intuitionism forsvarede paradigmatisk ved Brouwer  : matematik har en intuitiv basis, det vil sige, at alle matematiske objekter er konstruktioner af det menneskelige sind. Ifølge den intuitionistiske opfattelse kan et reelt tal repræsenteres som en uendelig række decimaler under forudsætning af at have en algoritme, der kan beregne hver af disse decimaler. Denne holdning har vigtige konsekvenser, især med hensyn til logik. I intuitionistisk logik kan vi ikke fjerne den dobbelte negation (hvorimod dette er muligt i klassisk logik ): "nej nej p  " kan ikke reduceres til "  p  "; ellers kunne vi demonstrere eksistensen af ​​objekter uden at bygge dem. Det følger heraf, at "ikke p eller p  " ikke er en sætning. Brouwer opfattede intuitionismen som en filosofisk holdning til matematik og bød med skepsis sin formalisering velkommen senere af Arend Heyting .

Grundlaget for geometri

Arbejdet med Hilbert er meget repræsentativ for krisen af fundamenter , der fandt sted i matematik under XIX th og tidlig XX th  århundrede .

Som andre logikere og matematikere i sin tid indså Hilbert, at den euklidiske geometri var ufuldstændig, ikke i den forstand, at parallelle aksiom ikke er fradragsberettiget, men fordi alle landmålere fra euklid tjener i deres beviser som aksiomer, der aldrig var blevet gjort eksplicit . Efter Paschs arbejde gav Hilbert en næsten komplet formulering af euklidisk geometri i sin bog The Foundations of Geometry , for hvilken der ikke var nogen geometrisk aksiom tilbage i skyggen.

Dette fundamentprogram til geometri blev imidlertid ikke afsluttet af to grunde. På den ene side blev de accepterede ræsonnementsregler stadig efterladt i skyggen. På den anden side, en af de aksiomer geometri, på kontinuitet af plads, der er forbundet fortolkningsproblemer i forbindelse med de af definitionen af de reelle tal og mængdelære af Cantor .

Grundlaget for analyse og sætteori

Den analyse , som også kan kaldes infinitesimalregningen , eller differentiale og integralregning, er nu baseret på definitionen af det sæt af reelle tal . Siden opdagelserne af Newton og Leibniz havde det været nødvendigt at forlade rammerne for Elements of Euclid .

Matematikerne fra XIX E  århundrede, især Cauchy og Weierstrass , til selve analysen, gav Dedekind og Cantor en præcis formulering af principper, der gør det muligt at begrunde med nøjagtighed og præcision på de reelle tal . Disse defineres af Dedekind som par af sæt rationelle tal , nedskæringerne af Dedekind . Peano gav aksiomer og formelle metoder til at udvikle aritmetik på en logisk streng måde, og dette er nok til at finde teorien om rationelle tal.

Cantors sætteori, som ikke rigtig var formaliseret, syntes imidlertid den ideelle ramme, paradisisk ifølge Hilberts udtryk, til at finde analysen og mere generelt matematikken. Frege på sin side havde givet nøjagtige og eksplicitte formelle regler for en logisk teori, der skulle gøre det muligt at grundlægge matematik. Vi kunne håbe på en solid base.

Men denne base var hurtig til at vise sine svagheder. Opdagelsen af Burali-Forti paradokset (sæt af alle ordinals er ordnet, denne gode orden er bedre end alle ordinals, derfor til sin egen ordinal), så Russell paradoks , lignende i princippet, men klart enklere ( sæt sæt, der ikke hører til sig selv, er et sæt, det kan hverken tilhøre sig selv eller ikke høre til sig selv), viser inkonsekvensen af ​​disse to teorier. ( Russell gav oprindeligt sit paradoks for Freges teori ).

Løsninger til at undgå disse paradokser blev hurtigt fundet. Den første, initieret af Russell, og udviklet i Principia Mathematica , stratificerer predikater takket være forestillingen om type  : vi kan ikke længere skrive, at et sæt ikke tilhører sig selv. Den anden, initieret af Zermelo , begrænser definitionen af ​​sæt ved forståelse , det vil sige ved en egenskab af dets elementer: egenskaben ved ikke at høre til sig selv definerer ikke længere et sæt.

Men kunne vi sikre os, at vi ikke kunne få nye paradokser i disse teorier?

Hilberts program

For at reagere på krisen i grundlaget for matematik havde David Hilbert designet et program, som han etablerede begyndelsen i 1900 i indledningen til sin berømte liste over problemer , det andet problem var netop det med konsistensen af ​​aritmetik. Han udviklede dette program med sine samarbejdspartnere, herunder Paul Bernays og Wilhelm Ackermann , hovedsageligt i 1920'erne. Ideen er omtrent den følgende.

Så længe vi manipulerer det endelige, er matematik sikker. Elementær aritmetik (i en forstand, der skal afklares) er sikker. For at retfærdiggøre brugen af ​​abstrakte eller ideelle objekter, især uendelige objekter, er det tilstrækkeligt at vise, at den teori, der anvender dem, er sammenhængende, men selvfølgelig skal denne sammenhæng i sig selv demonstreres med endelige midler. Vi kan derefter bekræfte eksistensen af ​​disse objekter. Dette er den formalistiske holdning (ikke at forveksle med finitisme, der mener, at kun direkte finitære konstruktioner har en betydning).

Det system, hvor vi kunne formalisere endelig matematik, er ikke klart. På det tidspunkt ser det ud til, at Hilbert, uden at have eksplicit formaliseret det, tænkte på et system, der var svagere end Peanos aritmetik, den primitive rekursive aritmetik: alle definitionerne af primitive rekursive funktioner findes på sproget, gentagelsen er begrænset til formler uden kvantifikatorer (sig ligestillinger for enkelhedens skyld), så meget øjeblikkelig. Faktisk betyder det ikke noget: Gödel's anden ufuldstændighedssætning viser, at vi ikke engang i den pågældende aritmetiske teori kan bevise sin egen konsistens, og derfor bestemt ikke den af ​​stærkere teorier, der ville danne grundlaget for matematik.

Hilberts program er derfor ikke gennemførligt, i det mindste ikke uden en drastisk revision. Logikere som Gentzen og Gödel selv har tænkt på at genoprette dette program ved at udvide begrebet finitive metoder, som dog ikke en gang for alle kan defineres ved en teori, igen på grund af den anden ufuldstændighedssætning . Gentzen gav således i 1936 et bevis for sammenhæng i Peanos aritmetik i et nødvendigvis stærkere system, hvor man begrundede ved induktion i en velbegrundet rækkefølge (tælles men større end rækkefølgen af ​​heltal), men hvor induktion dog er begrænset til formler uden kvantifikatorer, derfor mere "øjeblikkelige". Hvis den matematiske interesse for de metoder, Gentzen implementerer, er uden tvivl, er fortolkningen af ​​hans konsistensbeviser, som ”absolutte” bevis (de er naturligvis utvivlsomt bevis for relativ konsistens), meget diskuteret.

Faktum er, at Hilberts program trods dets fiasko spillede en afgørende rolle i udviklingen af moderne matematisk logik .

Den formelle metode

Vi bør ikke forveksle formalisme og formel metode . Den formelle metode er afgørende for forståelsen af ​​nutidig matematik .

At definere en formel teori er :

At definere en teori på en formel måde er afgørende for at give dens egenskaber : konsistens eller inkonsekvens, fuldstændighed eller ufuldstændighed osv. Så længe vi ikke har formaliseret en teori, ved vi ikke nøjagtigt, om en formel hører til teorien eller ej .

Reglerne for fradrag for traditionel logik er nu fuldt kendte og formaliserede inden for matematisk logik . Al matematisk viden kan bevises med disse regler og passende valgte aksiomer .

Det er sandsynligvis i denne kategori, at vi Skal klassificere matematikken baglæns til Harvey Friedman .

Sæt teorier

Nuværende matematik er baseret på forestillingen om helheden . Faktisk kan næsten ethvert matematisk objekt defineres som et sæt. F.eks. Kan tallet 23 defineres som et bestemt sæt.
Ligeledes kan konstrueres fra sæt som følger:

(se om dette emne artiklen om konstruktion af naturlige tal ).

Med sådanne definitioner eller andre lignende dem kan al matematisk viden bevises inden for en sætteori. Deres aksiomer kan betragtes som hovedgrundlaget for matematik (med reglerne for fradrag for beregning af første ordens prædikater ).

Flere aksiomsystemer er blevet foreslået:

Blandt matematikere er nogle tilfredse med ZF-aksiomerne og afviser valgaksiomet (C), fordi de anser nogle af dets implikationer for at være kontraintuitive. Nogle matematikere afviser endda ZF og den klassiske logik, som er dens basis, fordi de mener, at alt skal konstrueres eksplicit ; det er grunden til, at de kaldes konstruktivister eller intuitionister .

Andre formalismer

Bibliografi

Referencer

  1. Vernant, Denis, 1948- , Den matematiske filosofi Bertrand Russell , Paris, Vrin,1993, 512  s. ( ISBN  2-7116-1141-8 og 9782711611416 , OCLC  413557229 , læs online )
  2. Vi antager for eksempel, at der ikke findes et reelt tal, der tilfredsstiller en bestemt egenskab, vi udleder en modsigelse fra den, og vi konkluderer med reduktion til det absurde, at en sådan reel skal eksistere; et bevis på denne formular giver ingen indikation af, hvordan vi kan beregne en sådan reel. For en intuitionist har vi netop demonstreret, at eksistensen af ​​en sådan reel ikke er modstridende, men vi har ikke demonstreret selve eksistensen.
  3. Largeault, Jean. , Intuition and intuitionism , Paris, J. Vrin,1993, 240  s. ( ISBN  2-7116-1155-8 og 9782711611553 , OCLC  29897047 , læs online )
  4. (i) Giaquinto, M. (Marcus) , Søgen efter vished: en filosofisk hensyn til grundlaget for matematik , Oxford, Clarendon Press,2002, 304  s. ( ISBN  0-19-875244-X , 9780198752448 og 9781280914287 , OCLC  48053880 , læs online )
  5. (i) James Ladyman, Stuart Presnell, "  Does homotopi Type Teori providea Foundation for matematik?  " [PDF] ,2018

Se også

Relaterede artikler

Eksternt link

Konference om grundlaget for matematik af Jean-Yves Girard ,17. juni 2002, Universitet for al viden .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">