Eulers formel

Den Euler formel er lig matematisk , tilskrevet matematiker Swiss Leonhard Euler . Det er skrevet for ethvert reelt tal $x$ ,

{\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {\ mathrm {i} \, x} = \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}

og generaliserer til $x-$ komplekser .

Her, det nummer $e$ er basis af de naturlige logaritmer , $jeg$ er den imaginære enhed , $synd$ og $cos$ er trigonometriske funktioner .

Beskrivelse

Denne formel kan fortolkes ved at sige, at funktionen $x \mapsto e i x$ , kaldet cis funktion , beskriver den enhed cirkel i komplekse plan som $x$ varierer i sættet af reelle tal.
$x$ repræsenterer målingen (i radianer) af den orienterede vinkel lavet af sluthalvlinien ved oprindelsen og passerer gennem et punkt i enhedscirklen med halvlinjen af positive realer. Formlen er kun gyldig, hvis $synd$ og $cos$ har argumenter udtrykt i radianer snarere end grader.

Beviset er baseret på de heltalserieudvidelser af den eksponentielle funktion $z \mapsto e z$ af den komplekse variabel $z$ og af $sin-$ og $cos-$ funktionerne betragtet med reelle variabler.
Faktisk viser det samme bevis, at Eulers formel stadig er gyldig for alle komplekse tal $x$ .

Formlen etablerer en stærk sammenhæng mellem analyse og trigonometri . Ifølge Richard Feynman er det “en af de mest bemærkelsesværdige formler […] i al matematik. " Det bruges til at repræsentere komplekse tal i trigonometrisk form og tillader definition af logaritmen til komplekse argumenter. Brug af eksponentielets egenskaber

{{\ rm {e}}} ^ {{a + b}} = {{\ rm {e}}} ^ {a} {{\ rm {e}}} ^ {b}

({{\ rm {e}}} ^ {a}) ^ {k} = {{\ rm {e}}} ^ {{ak}}

(som også er gyldige for alle de komplekse tal $a , b$ og for ethvert heltal $k$ ), bliver det let at udlede flere trigonometriske identiteter eller at udlede Moivre-formlen fra dem . Eulers formel tillader en fortolkning af cosinus- og sinusfunktioner som lineære kombinationer af eksponentielle funktioner:

\ cos (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} + {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2}}

\ sin (x) = \ displaystyle {\ frac {{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} - {\ mathrm {e}} ^ {{- {\ mathrm { i}} \, x}}} {2 {\ mathrm {i}} \,}}

Disse formler (også kaldet Eulers formler ) udgør den moderne definition af funktioner og (inklusive når $x$ er en kompleks variabel ) og svarer til Eulers formel (anvendt på $x$ og $-$ $x$ ), som derefter bliver en tautologi . $\ cos$ $\ synd$

I differentialligninger bruges funktionen $x \mapsto e i x$ ofte til at forenkle afledningerne, selvom problemet er at finde de reelle løsninger udtrykt ved hjælp af sinus og cosinus. Den Eulers identitet er en umiddelbar konsekvens af Eulers formel.

I elektroteknik og andre felter er signaler, der varierer periodisk med tiden, ofte beskrevet af lineære kombinationer af sinus- og cosinusfunktioner (se Fourier-analyse ), og sidstnævnte udtrykkes mere bekvemt som reelle dele af eksponentielle funktioner. Med imaginære eksponenter ved hjælp af Eulers formel.

Demonstrationer

Af Taylor-serien

Serieudvidelsen af funktionen $exp$ for den reelle variabel $t$ kan skrives:

{{\ mathrm {e}}} ^ {t} = {\ frac {t ^ {0}} {0 \,!}} + {\ frac {t ^ {1}} {1 \,!}} + {\ frac {t ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {t ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {t ^ {4}} {4 \, !}} + \ cdots = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {t ^ {n}} {n \,!}}

og strækker sig til ethvert komplekst tal $t$ : Taylor-seriens udvidelse forbliver absolut konvergent og definerer den komplekse eksponentielle.

Især for $t = i x$ med ægte $x$ :

{{\ mathrm {e}}} ^ {{{{\ mathrm {i}} \,} x}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{({ {\ mathrm {i}} \,} x)} ^ {n}} {n \,!}} = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{{\ mathrm { i}} \,} ^ {n} x ^ {n}} {n \,!}} \ cdot

Denne serie, opdelt i to, bliver ved at bruge det faktum, at : ${\ mathrm {i}} \, ^ {{2k}} = ({\ mathrm {i}} \, ^ {{2}}) ^ {{k}} = (- 1) ^ {{k}}$

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ mathrm {i}} \, x}} = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i}} \ , ^ {{2k}} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {{\ mathrm {i} } \, ^ {{2k + 1}} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} = \ Sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}} + {\ mathrm {i}} \, \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1}}} {(2k + 1) \,!}} \ cdot

Vi derfor ser Taylorrækken udvidelser af cosinus og sinus funktioner vises:

\ cos (x) = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2 \,!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4 \,!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k}}} {(2k) \,!}}

\ sin (x) = x - {\ frac {x ^ {3}} {3 \,!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5 \,!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 \,!}} + \ Cdots = \ sum _ {{k = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {k} x ^ {{2k + 1} }} {(2k + 1) \,!}}

som ved at erstatte det forrige udtryk for $e i x$ giver:

{\ mathrm {e}} ^ {{{\ \ mathrm {i}} \, x}} = \ cos (x) + {\ mathrm {i}} \, \ sin (x).

Ved differentiel beregning

For ethvert komplekst tal $k$ er det eneste kort $f$ : ℝ → ℂ, der verificerer $f '= kf$ og $f (0) = 1$ kortet $x \mapsto exp ( kx )$ (beviset er identisk med det for ægte $k$ , givet i l detaljeret artikel).

Ansøgningen $f$ defineret af $f (x) = \ cos x + {{\ rm {i}}} \ sin x$ afkrydset $f '= {{\ rm {i}}} f {\ text {and}} f (0) = 1.$

Det falder derfor sammen med kortet $x \mapsto exp (i x )$ .

Historisk

Eulers formel blev først demonstreret af Roger Cotes i 1714 som $ln (cos x + i sin x ) = i x$ (hvor $ln$ betegner den naturlige logaritme , dvs. logaritmen grundlæggende $e$ ). Det var Euler, der offentliggjorde formlen i sin nuværende form i 1748, baserede sit bevis på Moivres formel og brugte ækvivalenter og begrænsede passager. Ingen af de to matematikere gav en geometrisk fortolkning af formlen: fortolkningen af komplekse tal som anbringelser af punkter på et plan blev ikke rigtig nævnt før halvtreds år senere (se Caspar Wessel ).

Ansøgninger

Eulers formel giver os mulighed for at fastslå, at den vigtigste bestemmelse af den komplekse logaritme af sige , for alt . ${\ displaystyle \ cos x + \ mathrm {i} \, \ sin x}$ ${\ displaystyle \ mathrm {i} x}$ ${\ displaystyle x \ in \ left] - \ pi, \ pi \ right [}$
Et eksempel på anvendelse i elektromagnetisme er vekselstrøm : da potentialforskellen i et sådant kredsløb svinger , kan det repræsenteres af et komplekst tal : $V = V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{\ rm {i}}} \ omega t}} = V_ {0} \ venstre (\ cos \ omega t + {{\ rm {i}}} \ sin \ omega t \ right).$ For at opnå en målbar størrelse tager vi den virkelige del:

${\ mathrm {Re}} (V) = {\ mathrm {Re}} \ venstre [V_ {0} {{\ rm {e}}} ^ {{{{rm {i}}} \ omega t} } \ right] = V_ {0} \ cos \ omega t.$

Den linearisering , som er baseret på Eulers formel og binomial sætning , enhver transformeret polynomium i $cos ( x )$ og $sin ( x )$ ved en lineær kombination af forskellige $cos ( nx )$ og $sin ( nx )$ , som herefter foretager beregningen af dets primitive umiddelbart .

Se også

Relaterede artikler

Descartes-Euler sætning
Euler-forhold i trekanten
Eulers metode , tilnærmet beregning af differentialligninger og primitiver
Eulers identitet, den berømte identitet: $e iπ$ + 1 = 0

Referencer

(i) Alan Sultan F. og Alice Artzt, Matematikken at hver sekundære skole matematiklærer behov for at vide , Studier i matematisk tankegang og Læring, Taylor & Francis, 2010, s. 326 .
(in) Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (in) og Matthew Sands (in) , Feynman Lectures on Physics [ udgivelsesoplysninger ], flyvning. 1, s. 22, ifølge (i) " Eulers identitet " på Wikibooks .
Srishti D. Chatterji, Analysekursus , bind. 2: Kompleks analyse , PPUR ,1997( læs online ) , s. 96.
Chatterji 1997 , s. 97.
Ernst Hairer og Gerhard Wanner, analyse gennem historien , Springer,2001, s. 59
Dominique Flament , Historie af komplekse tal: Mellem algebra og geometri , Paris, CNRS Éditions,2003( ISBN 2 271 06128 8 ), s. 80.
(i) John Stillwell , Matematik og dens historie [ detail udgaver ], s. 294.
L. Euler, Introduktion til uendelig lille analyse , artikel 138 .
Flament 2003 , s. 83-84.
Se eksempler på: Elektromagnetisme ( 2 th udgave), IS Grant, WR Phillips, Manchester Fysik Series 2008 ( ISBN 0-471-92712-0 ) .