Kompleks logaritme

I matematik er den komplekse logaritme en funktion, der generaliserer den naturlige logaritmefunktion (defineret på ] 0, + ∞ [ ) til domænet ℂ * af ikke-nul komplekse tal .

Flere definitioner er mulige. Ingen tillader på samme tid at bevare univocity , kontinuiteten og de algebraiske egenskaber ved logaritmefunktionen.

Historie af komplekse logaritmer

Spørgsmålet om, hvorvidt det er muligt at udvide naturlige logaritme (dvs. at sætte den på et større sæt, ] 0, + ∞ [ ) opstod i anden halvdel af XVII th  århundrede med den serielle udvikling af funktioner. Overgangen fra til var sket på en naturlig måde (se Kompleks eksponentiel ), og det ville have været tænkeligt, at en lignende passage blev foretaget for den naturlige logaritme. Men der er ingen entydig kontinuerlig funktion på ℂ *, der har alle de algebraiske egenskaber ved logaritmefunktioner og falder sammen med den reelle naturlige logaritmefunktion på ] 0, + ∞ [ .

Eksistensen af ​​flere mulige værdier for ln (–1) gav for eksempel anledning til lidenskabelig brevveksling mellem Leibniz og Bernoulli . Sløret løftes af Euler .

Vi kan dog definere logaritmen for et negativt tal som følger: for strengt positiv reel med henvisning til det faktum, at og ved overførsel af ejendom  :; men den således definerede funktion har ikke alle de algebraiske egenskaber ved den reelle naturlige logaritmefunktion. Faktisk, for eksempel, som Bernoulli ville have ønsket , at medføre:

.

Men på den anden side :

,

Dette ville kræve eksistensen af ​​mindst to forskellige værdier, der hver er acceptable, såsom en logaritme på 1: 0 og 2iπ .

Punkt-til-punkt-definition af komplekse logaritmer

Vi kan definere på det sæt af komplekser , den komplekse eksponentialfunktion  :

.

Vi beviser (se den detaljerede artikel) det . Derfor er den eksponentielle funktion overvejende fra ℂ til ℂ *, og .

Vi definerer derefter en kompleks logaritme α af et komplekst tal Α som en løsning af ligningen  :

.

Således indrømmer ethvert kompleks, der ikke er nul, mindst en logaritme, og to logaritmer af det samme antal adskiller sig med 2i k π for et bestemt relativ heltal k .

Er den komplekse logaritme en funktion?

Kan vi definere en “logaritme” -funktion , som har gode regelmæssighedsegenskaber (ideelt set holomorf )? Det er klart, at der skal foretages et vilkårligt valg: for eksempel, hvis vi forsøger at definere en logaritme i nærheden af ​​1, er der på forhånd ingen grund til at favorisere en logaritme på 1 snarere end en anden.

Det første krav Er kontinuitet: vi vil tale om kontinuerlig bestemmelse af logaritmen. Følgende to resultater opnås ved hjælp af den topologiske forestilling om tilslutning  :

Enhedssætning  -  På enhver tilsluttet åben , hvis der er en kontinuerlig bestemmelse af logaritmen, er den unik for en additivkonstant nær formen 2i k π , hvor k er et relativt heltal.

Ikke-eksistens sætning  -  På et tilsluttet åbent sæt, der indeholder en kurve for indeks 1 omkring oprindelsen (f.eks. En cirkel centreret ved oprindelsen), er der ingen kontinuerlig bestemmelse af logaritmen.

Denne anden vigtige sætning viser en hindring for eksistensen af ​​en kompleks logaritme defineret på alle ℂ *.

Når vi følger (en tilgang, der fremkalder den analytiske udvidelse ) en hypotetisk kontinuerlig bestemmelse af logaritmen langs en snørebånd omkring oprindelsen i direkte forstand , og vi vender tilbage til udgangspunktet, har vi tilføjet 2iπ til den oprindelige værdi af logaritmen. For eksempel overveje en åben som indeholder enhedscirklen , og vælg 0 som logaritmen af 1. punkter i enhedscirklen tæt på 1 skrives e i t med ægte t tæt på 0. Kontinuiteten af logaritmen fører til indstillede log (e i t ) = i t for disse punkter. Ved at gentage denne proces langs cirklen finder vi efter en fuldstændig drejning en ny værdi for logaritmen på 1, nemlig 2iπ . Dette fænomen kaldes monodromi .

Hovedbestemmelse af logaritmen og funktioner afledt af logaritmen

Funktioner afledt af logaritmen

En logaritmefunktion er valgt, flere andre funktioner kan defineres kompleks variabel: funktionen argument , og strømfunktionerne .

Faktisk skal en argumentfunktion have reelle værdier og kontrollere ligningen:

.

Det kommer så naturligt, at der gives en logaritmefunktion , man kan sætte:

.

Ifølge denne ligning er argumentet faktisk den imaginære del af logaritmen. Umuligheden af ​​at definere en kontinuerlig argumentfunktion over alle ℂ er en hindring af samme art som logaritmens monodromi.

Dataene for en bestemmelse af logaritmen giver et kanonisk valg af effektfunktioner: bestemmer en “  z power  ” -funktion.

Hovedbestemmelse

Vi kommer nu til eksplicit at definere en logaritme. Den første måde at overvinde denne forhindring på, som er monodromien, er at være tilfreds med at definere en logaritme på det komplekse plan, der er frataget en halvlinie, der stammer fra oprindelsen, dette gøres for eksempel ved hjælp af formlen følgende integral:

hvor .

Vi opnår således den vigtigste bestemmelse af logaritmen, defineret på sættet af komplekser frataget sættet af negative eller nul reelle. Ifølge ovenstående sætning er det den unikke kontinuerlige bestemmelse af logaritmen, der er defineret på dette sæt, og som forsvinder ved 1.

En bestemmelse om et domæne  (in) (det vil sige på en tilsluttet åben ), der strengt taget er inkluderet i det foregående domæne, kan også opnås gennem hele serier  :

.

Hele denne serie er resultatet af term-til-term integration, derfor er dens konvergensradius 1. Desuden viser en sammenfatning af dele, at den konvergerer, når | z | = 1, med den bemærkelsesværdige undtagelse af z = −1: findes ikke.

Forbindelsen mellem logaritme og argument, det klassiske udtryk for hovedargumentet med hensyn til reelle dele og imaginære dele, og det ovenfor nævnte unikke resultat fører til identitet:

.

Således defineret er L en holomorf funktion på ℂ \ ℝ - og den falder sammen ] 0, + ∞ [ med den naturlige logaritmefunktion.

Man skal være forsigtig, for nogle kendte egenskaber ved den virkelige logaritme er ikke længere sande for den komplekse logaritme. For eksempel er L ( e z ) ikke altid lig med z , og L ( zw ) er ikke altid lig med L ( z ) + L ( w ).

Repræsentation af hovedgrenen

Definition fra differentialligninger

Medmindre andet er angivet, er i denne del alle de differentielle ligninger, der betragtes, lineære .

Det er velkendt, at den virkelige logaritme er en antiderivativ for den inverse funktion  : det er en løsning af differentialligningen:

Faktisk kan vi definere en kompleks logaritme som en holomorf løsning af denne ligning . Det er let at se, at denne definition svarer til den, der involverer den eksponentielle funktion. Vi forbinder således spørgsmålet om den komplekse logaritme til den mere generelle af holomorfe differentialligninger .

Det er i denne sammenhæng, at spørgsmålet om monodromi naturligt opstår . Tilfældet med magtfunktioner kommer også inden for denne ramme af funktioner defineret som løsninger på differentialligninger: for en funktion kan defineres som løsning af differentialligningen:

Tag eksemplet med kvadratroden ( α = 1 ⁄ 2 ). Der er det samme problem med ikke-entydighed som for logaritmen: hvert ikke-nul tal har to komplekse kvadratrødder, modsat hinanden. Især kan man passere fra den ene til den anden takket være multiplikationsfunktionen med –1. Et kanonisk valg var muligt for kvadratroden af ​​positive realer: valget af den positive kvadratrod. Dette er ikke længere muligt for komplekser. Den monodromy fænomen er ikke helt den samme som for logaritmen når vi gør en tur rundt oprindelsen: denne gang, det beløber sig til multiplicere kvadratroden oprindelig valgte med -1. Det skal bemærkes, at monodromien i en vis forstand er enklere for kvadratroden: efter en anden drejning vender vi tilbage til startværdien, hvilket aldrig vil ske for logaritmen.

På et mere videnskabeligt sprog: oprindelsen er et entydigt punkt for vores to differentialligninger, og med et ental af en differentialligning er monodromigruppen associeret som følger: den grundlæggende gruppe i rummet ℂ frataget point singularerne af den betragtede ligning (i vores eksempler er dette rum ℂ *, og den grundlæggende gruppe er π 1 (ℂ *) ≃ ℤ) virker på rumene i lokale løsninger i ligningen ved analytisk forlængelse langs sløjferne . Billedet af den således opnåede repræsentation er pr. Definition ligningens monodromygruppe: det er derfor en kvotientgruppe i den fundamentale gruppe. I vores eksempler finder vi, at monodromygruppen er isomorf til ℤ for logaritmen, til ℤ / 2ℤ for kvadratroden.

I tilfælde af en ligning med flere singulariteter er den således definerede monodromygruppe den globale monodromygruppe. Vi kan også definere en lokal monodromygruppe forbundet med hver singularitet. Den globale monodromygruppe vil være et kvotient af det gratis produkt fra de lokale monodromigrupper.

Riemann overflader

I stedet for at være tilfreds med logaritmens hovedbestemmelse, foretrækker vi et andet synspunkt, lettere generaliseret: vi konstruerer et geometrisk rum, der projicerer ind i det komplekse plan , hvor logaritmen er veldefineret , og således at to punkter i denne rum, hvis logaritmer adskiller sig fra 2i k π , for et bestemt heltal k , projiceres på det samme punkt i det komplekse plan. Vi genkender her definitionen af ​​en tildækning af ℂ *: det er faktisk dens universelle dækning . Vi opnår således en Riemann-overflade .

For kvadratrodfunktionen kan man være tilfreds med belægning med en overflade, der er tættere på det indledende komplekse stumpe plan closer * (tættere med hensyn til klassificering af belægninger): Funktionens værdi bestemmes af produktet tæt ved - 1 kan vi være tilfredse med en belægning med to lag (mod uendelig for logaritmen).

På mere videnskabeligt sprog og mere generelt kan vi se disse Riemann-overflader som følger: vi betragter den universelle dækning af rummet ℂ frataget singulariteterne for den betragtede ligning. Den Galois gruppe af denne afdækning er den grundlæggende gruppe af den betragtede rum. For at opnå den tilknyttede Riemann-overflade er det nødvendigt at overveje Galois-undercovering, hvoraf Galois- gruppen er monodromigruppen i den betragtede ligning. Denne operation udføres ved Galois-korrespondance om belægninger. Det er naturligt i den forstand, at det svarer til at gøre monodromien, som var en hindring for unikhed, triviel - og på den billigste måde med hensyn til belægning.

Noter og referencer

  1. (in) Deepak Bal, Leibniz, Bernoulli og logaritmerne med negative tal
  2. L. Euler, "  Om kontroversen mellem fru. Leibniz og Bernoulli om logaritmerne til negative og imaginære tal  ”, Mémoires de l ' Académie des sciences de Berlin , bind.  5,1751, s.  139-179 ( læs online ), E168  (in) .
  3. Se for eksempel denne korrigerede øvelse på Wikiversity .

Relaterede artikler