Baker-Campbell-Hausdorff formel

I matematik er formlen Baker - Campbell (en) - Hausdorff løsningen på ligningen:

{\ displaystyle e ^ {Z} = e ^ {X} e ^ {Y}}

hvor , og er matricer , eller mere generelt medlemmer af en Lie algebra en Lie gruppe . $x$ $Y$ $Z$

Med Lie-parenteser er der skrevet:

{\ displaystyle Z = X + Y + {\ frac {1} {2}} [X, Y] + {\ frac {1} {12}} ([X, [X, Y]] - [Y, [ X, Y]]) + \ ldots}

En relateret formel er Zassenhaus-formlen: ${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} ~ e ^ {Y} ~ e ^ {- {\ frac {1} {2}} [X, Y]} ~ e ^ {{\ frac {1} {6}} (2 [Y, [X, Y]] + [X, [X, Y]])} ~ e ^ {{\ frac {-1} {24}} ([[[X , Y], X], X] +3 [[[X, Y], X], Y] +3 [[[X, Y], Y], Y])} \ cdots}$

Især hvornår og pendler vi har $x$ $Y$ ${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} e ^ {Y}}$

Når og pendling med deres kontakt (dvs. ) resultatet er begrænset til den såkaldte formel af Glauber: . Det er ofte anvendes i kvantefysik med operatører position og bevægelsesmængde , . $x$ $Y$ ${\ displaystyle [X, [X, Y]] = [Y, [X, Y]] = 0}$ ${\ displaystyle e ^ {X + Y} = e ^ {X} ~ e ^ {Y} ~ e ^ {- {\ frac {1} {2}} [X, Y]}}$ $x$ $P$

Se også

Løg algebra
Eksponentiel for en matrix
Ados sætning , som gør det muligt at reducere tilfældet med Lie-algebraer til matrix-sagen.

Noter og referencer

Robin Zhang, “ The Baker-Campbell - Hausdorff formula ” (adgang 27. november 2019 )