Parseval lighed

Den lighed Parseval undertiden kaldes Parsevals sætning eller forhold Parseval er en grundlæggende formel for teorien om Fourierrækker . Vi skylder den franske matematiker Marc-Antoine Parseval des Chênes ( 1755 - 1836 ).

Det kaldes også Rayleigh Identity fra navnet på fysikeren John William Strutt Rayleigh , 1904 Nobelprisen i fysik .

Denne formel kan fortolkes som en generalisering af Pythagoras sætning til serier i Hilbert-rum .

I mange fysiske anvendelser (f.eks. Elektrisk strøm) kan denne formel fortolkes som følger: den samlede energi opnås ved at tilføje bidrag fra de forskellige harmoniske .

Den samlede energi i et signal afhænger ikke af den valgte repræsentation: frekvens eller tid.

E = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | x (t) | ^ 2 ~ \ mathrm dt = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} | X (f) | ^ 2 ~ \ mathrm df.

Bessel ulighed

Følgende sætning er demonstreret i den detaljerede artikel.

Lad være en ortonormal familie af et prehilbertiansk rum . ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$

For enhver vektor hævder Bessels ulighed summen af følgende familie og den øvre grænse: ${\ displaystyle x \ i H}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i \ i I} \ left | \ langle e_ {i} | x \ rangle \ right | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2}}$ ,hvilket betyder, at sættet af udtryk, der ikke er nul, højst kan tælles og udgør en absolut konvergerende række , hvor summen øges med . ${\ displaystyle \ | x \ | ^ {2}}$
Hvis og kun hvis det er vedhæftningen af det vektorrum, der genereres af familien , så er den øvre grænse en lighed, kaldet "Parseval lighed". Familien er således et Hilbert-grundlag for hvis og kun hvis lighed gælder for enhver vektor . $x$ ${\ displaystyle \ left (e_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$ $H$ ${\ displaystyle x \ i H}$

Formel til Fourier-serien

Lad være en funktion T -periodisk og kvadratisk integrerbar over en periode (den er således især gyldig for T -periodisk og kontinuerlig af stykker ). Vi definerer dens Fourier-koefficienter : $f$ $f$

{\ displaystyle c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ operatorname {e} ^ {- \ mathrm {i} n {\ frac {2 \ pi} {T}} t} ~ \ mathrm {d} t}

Parsevals lighed bekræfter konvergensen af følgende serier og angiver identiteten:

{\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} | c_ {n} | ^ {2} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} | f (t) | ^ {2} ~ \ mathrm {d} t = \ | f \ | ^ {2}}

Hvis funktionen har reelle værdier, kan følgende konventioner vedtages: $f$

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t = c_ {0}}$ ;
${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ cos {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ ;
${\ displaystyle b_ {n} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) \ sin {\ frac {2 \ pi nt} {T }} ~ \ mathrm {d} t}$ .

Parsevals lighed bliver:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ højre)}

Advarsel : nogle forfattere foretrækker en konvention, hvor udtrykket for $et 0$ også er i 2 / T :

{\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {2} {T}} \ int _ {- T / 2} ^ {T / 2} f (t) ~ \ mathrm {d} t}

Parsevals formel bliver derefter:

{\ displaystyle \ | f \ | ^ {2} = {\ frac {1} {4}} a_ {0} ^ {2} + {\ frac {1} {2}} \ sum _ {n = 1} ^ {+ \ infty} \ left (a_ {n} ^ {2} + b_ {n} ^ {2} \ right)}

Ansøgninger

Disse resultater gælder især for et prehilbertiansk rum med begrænset dimension , for eksempel i harmonisk analyse af en endelig abelsk gruppe .
Hvis to integrerbare firkantfunktioner f og g har det samme frekvensspektrum (samme Fourier-koefficienter), så er Fourier-koefficienterne for f - g alle nul (ved linearitet) og ║ f - g ║ 2 = 0. Faktisk er f og g er lige næsten overalt . Hvis f og g desuden er stykkevis kontinuerlige, er f og g ens undtagen på niveauet for diskontinuitetspunkterne for f og g .
Når integralet er lettere at beregne end serien, er Parseval-lighed en måde at beregne et bestemt antal numeriske serier på (man kan også bruge ligestillingen på et punkt mellem funktionen og dens Fourier-serie , givet for eksempel af Dirichlets sætning ) .
Parseval-lighed gør det muligt at opnå Wirtinger-ulighed mellem normerne for en periodisk funktion og dens afledte, så den klassiske isoperimetriske ulighed .

Gensidigt: Riesz-Fischer sætning

Vi betegner med ℓ 2 vektorrummet for sekvenser, således at serien konvergerer. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$ $\ sum _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} \ | c_n \ | ^ 2 \$

Den Riesz-Fischer teoremet gør det muligt at fastslå, at en sådan sekvens er sekvensen af Fourier-koefficienterne for et integrerbart kvadratfunktion, T periodisk. $(c_n) _ {n \ in \ Z}$

Der er således isomorfisme mellem mellemrummene $L 2$ T i de periodiske integrerbare firkantfunktioner og T og ℓ 2 . Parsevals formel viser, at det endda er en isometri .

Noter og referencer

" Kapitel 7: Fourier-transformation " , på ressources.unisciel.fr (adgang til 11. august 2019 )