Kostformel

I matematik er Vietes formel det uendelige produkt efter indlejrede radikaler, der repræsenterer tallet $π$ :

{\ displaystyle {\ frac {2} {\ pi}} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \; {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}} { 2}} \; {\ frac {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2}}}}} {2}} \ cdots}

Det er opkaldt efter François Viète , der offentliggjorde det i 1593 i sin Variorum de rebus mathemataticis responsorum, liber VIII .

Betyder

På det tidspunkt, hvor Viète offentliggjorde sin formel, havde metoder til tilnærmelse af $π$ været kendt i lang tid. Viète's metode kan fortolkes som en variation af en Archimedes- idé om at tilnærme omkredsen af en cirkel med den for en polygon, der bruges af Archimedes til at finde tilnærmelsen

{\ displaystyle {\ frac {223} {71}} <\ pi <{\ frac {22} {7}}}

Ved offentliggørelsen af sin metode som en matematisk formel formulerede Viète imidlertid den første kendte forekomst af et uendeligt produkt i matematik og det første eksempel på en eksplicit formel for den nøjagtige værdi af $π$ . Som den første formel, der repræsenterer et tal, der stammer fra en uendelig proces snarere end en endelig beregning, blev Vietes formel betragtet som begyndelsen på matematisk analyse og mere bredt som "begyndelsen af moderne matematik" .

Ved hjælp af sin formel beregnede Viète $π$ med en nøjagtighed på ni decimaler. Dette var imidlertid ikke den mest præcise tilnærmelse af $π, der var$ kendt på det tidspunkt. Faktisk havde den persiske matematiker Al-Kashi beregnet $π$ til en præcision på ni kønssimale cifre eller 16 decimalcifre i 1424. Kort efter offentliggørelsen af formlen af Viète brugte Ludolph van Ceulen en lignende metode til at beregne 35 decimaler af $π$ , som først blev offentliggjort efter van Ceulens død i 1610.

Fortolkning og konvergens

Viètes formel kan omskrives og forstås som udtryk for en grænse

{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} \ prod _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {a_ {i}} {2}} = {\ frac {2} {\ pi}} }

hvor , med . Begrebet grænse og de strenge bevis for konvergens blev udviklet i matematik længe efter Viètes arbejde; det første bevis for, at denne grænse eksisterer, blev givet i 1891 af Ferdinand Rudio (i) . ${\ displaystyle a_ {n + 1} = {\ sqrt {2 + a_ {n}}}}$ ${\ displaystyle a_ {1} = {\ sqrt {2}}}$

Den hastighed konvergensen af en sekvens regulerer antallet af hensyn til udtrykket er nødvendigt for at nå et givet antal decimaler. I tilfældet med Viètes formel er der en lineær sammenhæng mellem antallet af udtryk og antallet af decimaler: produktet af de første $n$ faktorer giver et udtryk for $π$ præcist til cirka $0,6 n$ decimaler. Denne graf sammenligner konvergenshastighederne for flere metoder og viser overlegenheden af Wallis- produktet, et senere uendeligt produkt til beregning af $π$ . Selvom Viète kun brugte sin formel til at beregne 9 decimaler af $π$ , blev en ændret version af hans formel brugt til at beregne hundreder af tusinder af decimaler af $π$ .

Lignende formler

Viètes formel kan opnås som et specielt tilfælde af en formel, der er givet mere end et århundrede senere af Leonhard Euler . Euler opdagede det

{\ displaystyle {\ frac {\ sin x} {x}} = \ cos {\ frac {x} {2}} \ cdot \ cos {\ frac {x} {4}} \ cdot \ cos {\ frac { x} {8}} \ cdots}

Ved at indstille $x = π / 2$ derefter ved at beregne hver faktor af produktet får vi Viètes formel.

Vi kan også udlede Viètes formel fra følgende formel for $π$ , som altid involverer indlejrede kvadratrødder på 2, men bruger kun en multiplikation:

{\ displaystyle \ pi = \ lim _ {k \ to \ infty} 2 ^ {k} \ underbrace {\ sqrt {2 - {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2 + {\ sqrt {2+ \ cdots + {\ sqrt {2}}}}}}}}}} _ {k \ \ mathrm {symboler} \ \ mathrm {root}}}

I dag er mange Viète-lignende formler, der involverer indlejrede radikaler eller uendelige produkter med trigonometriske funktioner, kendt for $π$ såvel som for andre konstanter såsom det gyldne forhold .

Demonstration

Viète opnåede sin formel ved at sammenligne områderne med regelmæssige polygoner med $2 n$ og $2 n + 1$ sider indskrevet i en cirkel. Produktets første betegnelse er forholdet mellem arealerne på en firkant og en ottekant , det andet udtryk er forholdet mellem arealerne på en ottekant og en hexadecagon osv. Produktteleskoperne giver således forholdet mellem arealerne på en firkant og en cirkel. Produktfaktorerne kan også fortolkes som forholdet mellem omkredsen af den samme serie polygoner, startende med forholdet mellem omkredsen af en digon (cirkelens diameter tælles to gange) og en firkant, forholdet mellem omkredsen af en firkant og en ottekant osv. ${\ displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$

Et andet bevis er muligt ved hjælp af, som forklaret ovenfor, Eulers formel.

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra Wikipedia-artiklen på engelsk med titlen " Viètes formel " ( se listen over forfattere ) .

Anden halvdel af s. 30 : forhåndsvisning på Google Bøger .
(in) Petr Beckmann (in) , A History of Pi (in) , Boulder, CO, The Golem Press,1971, 2 nd ed. , 200 s. ( ISBN 978-0-88029-418-8 , Matematiske anmeldelser 0449960 , læs online ) , s. 94-95.
(i) Michael J. De Smith , Matematik for Mystified: en udforskning af matematikkens historie og dens forhold til Modern-dagen for Videnskab og Computing , Troubador Publishing2006, 203 s. ( ISBN 978-1-905237-81-4 , læs online ) , s. 165.
(en) Samuel G. Moreno og Esther M. García-Caballero, " Om Vi'ete-lignende formler " , J. Ca. Theory (in) , vol. 174,2013, s. 90-112 ( DOI 10.1016 / j.jat.2013.06.006 ).
(i) Kent E. Morrison, " Cosine-produkter, Fourier-transformationer og tilfældige summer " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 102, nr . 8,1995, s. 716-724 ( DOI 10.2307 / 2974641 ).
(i) Keith B. Oldham, Jan Myland C. og Jerome Spanier et atlas af funktioner: med ækvator, de atlas funktion lommeregner , New York, NY, Springer ,2010( ISBN 978-0-387-48807-3 , læs online ) , s. 15.
(i) Eli Maor , Trigonometriske Delights , Princeton University Press ,2011, 256 s. ( ISBN 978-1-4008-4282-7 , læs online ) , s. 50, 140.
(i) Jonathan M. Borwein , "The Life of Pi Fra Archimedes til ENIAC og Beyond" i Nathan Sidoli og Glen Van Brummelen , Fra Alexandria, Gennem Bagdad: Undersøgelser og Studier i oldgræsk og middelalder islamiske Matematiske Fag Ære for JL Berggren , Springer,2013( ISBN 9783642367359 , DOI 10.1007 / 978-3-642-36736-6_24 , læs online ) , s. 531-561.
(i) Pierre Eymard og Jean-Pierre Lafon, The Number $\ pi$ , AMS ,2004, 322 s. ( ISBN 978-0-8218-3246-2 , læs online ) , kap. 2.1 (“Viètes uendelige produkt”) , s. 44-46.
(de) F. Rudio, “ Über die Konvergenz einer von Vieta herrührenden eigentümlichen Produktentwicklung ” , Z. Math. Phys. , Vol. 36, Historisch-literarische Abtheilung,1891, s. 139-140 ( læs online ).
(in) Rick Kreminski, " $π$ til tusinder af cifre fra Vietas formel " , Mathematics Magazine , bind. 81, nr . 3,2008, s. 201-207 ( JSTOR 27643107 ).
(in) TJ Osler, " single En geometrisk metode til estimering af fejlen ved anvendelse af Vietas produkt til $π$ " , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , bind. 38, nr . 1,2007, s. 136-142 ( DOI 10.1080 / 00207390601002799 ).
Se f.eks. Denne korrigerede øvelse på Wikiversity for en demonstration .
(in) LD Serveret, " Indlejrede kvadratrødder på 2 " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 110, nr . 4,2003, s. 326-330 ( DOI 10.2307 / 3647881 ).
(in) MA Nyblom, " Nogle lukkede vurderinger af uendelige produkter, der involverer indlejrede radikaler " , Rocky Mt. J. Math. , Vol. 42, nr . 22012, s. 751-758 ( DOI 10.1216 / RMJ-2012-42-2-751 ).
(en) Samuel G. Moreno og Esther M. García-Caballero, " Om Vi'ete-lignende formler " , J. Ca. Theory , vol. 174,2013, s. 90-112 ( DOI 10.1016 / j.jat.2013.06.006 ).
(i) Aaron Levin, " En geometrisk fortolkning af et uendeligt produkt til det konstante lemniskat " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 113, nr . 6,2006, s. 510-520 ( DOI 10.2307 / 27641976 ).
(i) Aaron Levin, " En ny klasse af uendelige produkter generalisere Beliggenhed produkt formel for $π$ " , Ramanujan Journal , vol. 10, n o 3,2005, s. 305-324 ( DOI 10.1007 / s11139-005-4852-z ).
(i) Thomas J. Osler, " Vieta-lignende produkter af indlejrede radikaler med Fibonacci- og Lucas-tal " , Fibonacci Q , bind. 45, nr . 3,2007, s. 202-204.
(in) Kenneth B. Stolarsky, " Kortlægningsegenskaber, vækst og unikhed af Vieta (uendelig cosinus) produkter " , Pac. J. Math. , Vol. 89, nr . 1,1980, s. 209-227 ( DOI 10.2140 / pjm.1980.89.209 , læs online ).
(i) Edward J. Allen, " Fortsat Radical " , Matematisk Gazette , Vol. 69, n o 450,1985, s. 261-263 ( JSTOR 3617569 ).
(i) Hansklaus Rummler, " Kvadrering af cirklen med huller " , Amer. Matematik. Måned. , Vol. 100, n o 9,1993, s. 858-860 ( DOI 10.2307 / 2324662 ).