Den sexagesimal systemet er et talsystem hjælp af basen 60 .
I modsætning til de fleste andre digitale systemer bruges sexagesimal-systemet ikke inden for datalogi eller ren logik, men er praktisk til måling af vinkler og geografiske koordinater. Standardenheden for sexagesimal er graden (360 grader), derefter minut ( 60 minutter = 1 grad ) og derefter den anden (60 sekunder = 1 minut ). Moderne brug af sexagesimal svarer meget til tidsmåling, hvor der er 24 timer om dagen, 60 minutter på en time og 60 sekunder på et minut. Det moderne tidsmål svarer på en afrundet måde til varigheden af jordens rotation (dage) og dens revolution (år). Tider, der er mindre end et sekund, måles med decimalsystemet .
Sexagesimal notation er også kendt som DMS (Grad-Minute-Second), mens decimalnotation er kendt som DD (decimalgrad).
Basen 60 bruger 60 cifrede symboler, generelt betegnet 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16, ..., 59 som godt et tal kan skrives (1,56,24) og vil bestå af tre cifre: 1, 56 og 24 og ikke 5 .
Det sexagesimal system synes at have været brugt for første gang som Sumererne i III th årtusinde f.Kr.. BC derefter ved II th årtusinde f.Kr.. AD , af babylonierne , der opfandt det mesopotamiske tal , som det fremgår af Plimpton 322- tabletten .
Måling af tid i Kina følger den kinesiske sexagesimale cyklus mellem 1191 og 1154 f.Kr. J.-C ( Shang-dynastiet ).
Den hinduistiske kalender har gjort det samme siden 3102 f.Kr. AD . Det blev også brugt af indianerne, som var i stand til at låne det fra de gamle grækere, og som brugte det efter Alexander tid . I Indien blev positionen for det seksagesimale ciffer omtalt som ouss ; den os af graden var nul, ifølge al-Maridini. I Indien anbefales brug af sexagesimal nul ifølge al-Maridini for ikke at miste cifrene.
Sexagesimal-systemet blev også brugt i arabisk kultur, som lånte det fra indisk kultur omkring al-Maridinis tid.
Det er blevet brugt meget af græske astronomer og geografer, såsom Ptolemæus eller Theon af Alexandria , der efterlader os en metode til at beregne kvadratroden af tal skrevet i sexagesimal-systemet. Efterfølgende blev det også brugt i den arabisk-muslimske verden under Umayyad- dynastiet , især i versionerne af zij af den usbekiske matematiker Al-Khwârizmî , i dag kendt som det "indiske bord", og af europæiske matematikere som Fibonacci .
Ptolemæus eller Theon brugte kun sexagesimal-systemet til delmål for enhed.
Indflydelser fra det sexagesimale system har været i stand til at eksistere i lang tid i hverdagen og det kommercielle liv, især for visse valører som ounce , kvintal , dusin , halvt dusin og tysk Schock.
I dag forbliver dette gamle og accepterede sexagesimale system i vid udstrækning i optælling af minutter og sekunder i kraft af dets forankring på trods af visse forslag til brug af decimalsystemer.
Afhandlingen forud for al-Maridini indeholder ti kapitler, der vedrører følgende emner: addition, subtraktion, sexagesimal multiplikationstabel opkaldt efter årsagen til sexagesimal-forholdet og årsagen til, at den blev udarbejdet, bestemmelse af arten af multiplikationsproduktet, multiplikation af sammensatte mængder, opdelingsarter og resultat af opdeling, rodekstraktion, bevis og interpolation.
Ifølge nogle esoteriske aspekter ville Hoang-ti have opfattet karakterernes sexagesimale cyklus og de tolv musikalske toner.
Nogle mennesker, som vietnameserne , tæller deres falanger med tommelfingeren; tommelfingeren ruller over de tre phalanges af de andre fire fingre eller tolv phalanges.
Hvis vi også bruger fingrene på den anden hånd til holderne, har vi fem holdere, dvs. 5 × 12 = 60 tal . Ifølge beregningshistorikeren Georges Ifrah kan vi antage, at basis 60-tallet kommer derfra.
Hvis vi bruger falangerne på den anden hånd til begrænsningerne, dvs. 12 falanger, har vi 12 × 12 = 144 tal , som gør det muligt at tælle op til 144 + 12 = 156 på hans fingre.
Flere grunde til sexagesimal-systemet er blevet foreslået:
Base 60 har mange flere delere (1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 og 60) end base 10 (1, 2, 5 og 10) og tres er det mindste antal, der kan deles af både 1, 2, 3, 4, 5 og 6. Dette kunne have været en kæmpe fordel, indtil den nuværende divisionsalgoritme var kendt.
Denne nummerering endte med at blive forladt af følgende civilisationer, og i dag forbliver den kun brugt til specifikke anvendelser såsom opdeling af timer og grader i minutter og sekunder. De matematiske egenskaber, hvis de kunne overses og blive mere eller mindre ukendte, forbliver uændrede.
Men med generaliseringen af positional decimaltal har denne funktion mistet meget af sin relevans. F.eks. Udtrykkes tidspunkter i industrien eller servicesektoren undertiden i tiendedele af en time (konsulentvirksomheder) eller i hundrededele af en time (industriel timing). På trods af forsøg på at indføre decimalsystemet fortsætter brugen af timeseksuelle submultipler på grund af deres store antikvitet og deres universalitet. På samme måde er graden af vinkel eller lysbue undertiden opdelt i hundrededele snarere end minutter og sekunder (se konverteringer nedenfor).
Babylonierne brugte tabeller med inverser. For eksempel :
1/2 = 0 + 30/60 1/3 = 0 + 20/60 1/4 = 0 + 15/60 1/5 = 0 + 12/60 1/6 = 0 + 10/60 1/8 = 0 + 7/60 + 30 / 60² 1/9 = 0 + 6/60 + 40 / 60² 1/10 = 0 + 6/60 1/12 = 0 + 5/60 1/15 = 0 + 4/60 1/20 = 0 + 3/60 1/30 = 0 + 2/60 1/40 = 0 + 1/60 + 30 / 60² 1/60 = 0 + 1/60Mere generelt kendte babylonierne ikke decimalet, det var ikke skrevet, det var implicit. Som vi ved, at en 75 centiliter flaske indeholder både tre fjerdedele liter og 75 centiliter, eller at 75% er tre fjerdedele.
En af egenskaberne er, at tallene, der kan skrives som kraften 3, 4 (eller 2) og 5, er inverterbare.
Beregningen af det inverse består i at finde det nummer, hvormed produktet får en effekt på 60 - i vores eksempel 3600 -. For tal, hvis primære faktorer er 2, 3 og 5, er denne inverse korrekte. Det kan beregnes ved at tage i betragtning i det søgte antal (omvendt) de faktorer, der ikke tages med i betragtning, inklusive det oprindelige nummer, velvidende at 3600 = 9 × 25 × 16.
Inversibilitet og faktoriseringNummer | Baglæns | |||||
---|---|---|---|---|---|---|
Faktorer | N (decimal) |
N (sexagesimal) |
Jeg (sexagesimal) |
I (decimal) |
Decimal brøkdel |
Faktorer |
1 | 1 | 1 | 1 00 00 | 3600 | 1.0 | 9 × 25 × 16 |
2 | 2 | 02 | 30 00 | 1800 | 0,5 | 9 × 25 × 8 |
3 | 3 | 03 | 20 00 | 1200 | 0,3333333 ... | 3 × 25 × 16 |
4 | 4 | 04 | 15 00 | 900 | 0,25 | 9 × 25 × 4 |
5 | 5 | 05 | 12 00 | 720 | 0,2 | 9 × 5 × 16 |
2 × 3 | 6 | 06 | 10 00 | 600 | 0,16666666 ... | 3 × 25 × 8 |
8 | 8 | 08 | 07 30 | 450 | 0,125 | 9 × 25 × 2 |
9 | 9 | 09 | 06 40 | 400 | 0.111111 ... | 25 × 16 |
2 × 5 | 10 | 10 | 06 00 | 360 | 0,1 | 9 × 5 × 8 |
4 × 3 | 12 | 11 | 05 00 | 300 | 0,08333333 ... | 3 × 25 × 4 |
5 × 3 | 15 | 15 | 04 00 | 240 | (...) | 3 × 5 × 16 |
16 | 16 | 16 | 03 45 | 225 | 0,0625 | 9 × 25 × 1 |
2 × 9 | 18 | 18 | 03 20 | 200 | (...) | 25 × 8 |
5 × 4 | 20 | 20 | 03 00 | 180 | 0,05 | 9 × 5 × 4 |
3 × 8 | 24 | 24 | 02 30 | 150 | (...) | 3 × 25 × 2 |
25 | 25 | 25 | 02 12 | 132 | 0,04 | 9 × 16 |
5 × 3 × 2 | 30 | 30 | 02 00 | 120 | 0,0333333 ... | 3 × 5 × 8 |
5 × 3 × 4 | 60 | 1 00 | 01 00 | 60 | 0,01666666 ... | 3 × 5 × 4 |
Læsningsnote:
| ||||||
Beregningsnote:
|
Geografiske koordinater er ofte angivet i grader (1/90 af en ret vinkel), minutter af buen (1/60 af en grad) og sekunder af buen (1/60 af et minut af buen), hvilket ikke er irriterende for computere der fungerer i binær. Dataloger finder dog undertiden det sexagesimale system upraktisk at håndtere, og uden at gå så langt som at bruge karakterer (karakteren er 1/100 i en ret vinkel), foretrækker de at konvertere minutter og sekunder til decimalbrøker af en grad ( bruger ofte i dette tilfælde udtrykket "decimalgrader" med risiko for forveksling med karaktererne).
Generel formulering: breddegrad (decimalgrader) = grader + (minutter / 60) + (sekunder / 3600)
Eksempel: Overvej en breddegrad på 45 ° 54 '36 "(45 grader, 54 minutter og 36 sekunder).
Udtrykt i grader og decimalbrøk af en grad, vil breddegraden være: bredde = 45 + (54/60) + (36 / 3600) = 45,91 °
Eksempel: lad en længdegrad på 121,136 °.