I matematik er en geode en konveks polyhedron indskrevet i en sfære, hvor den opnår en tilnærmelse. På trods af udseende og med nogle undtagelser er ansigterne ikke strengt identiske, og dets kanter har ikke alle samme længde. Disse faste stoffer anvendes som modeller til visse arkitektoniske konstruktioner: geodesiske kupler .
De fleste geoder er bygget på følgende princip: vi starter fra en icosahedron .
![]() |
Hver af icosahedronens hjørner er fælles for fem trekantede facetter, der støder op til to og to, og fem kanter (sider af facetterne) starter fra hver af disse hjørner.
Hver facet af icosahedronen er en ligesidet trekant, som vi vil opdele i mindre trekanter, som derefter deformeres (ved radial projektion), der føres på den sfære, der er afgrænset til icosahedronen. Her er tre eksempler på geoder, der hver svarer til en anden underinddeling:
![]() |
![]() |
![]() |
I det første eksempel delte vi kanterne af icosahedronens flader i to segmenter. I det andet blev kanterne delt i tre. Endelig, i det sidste, blev de opdelt i ti segmenter. Det er også på denne sidste model, at Géode fra Byen for videnskab og industri i La Villette er bygget.
For at finde placeringen af hjørnerne i den indledende icosahedron skal du bare finde de steder, hvor 5 små trekanter (i stedet for 6) deler det samme toppunkt.
Det er også muligt at designe bikagegeoder ved at tage den dobbelte polyhedron af geoderne opnået ved triangulering.
![]() |
I figuren ovenfor (som er den forstørrede figur af den dobbelte polyhedron i geoden fra det sidste foregående eksempel baseret på en underinddeling i 10 segmenter), ser sfæren ud til at være brolagt med sekskanter . Men en omhyggelig observation afslører, at blandt disse sekskanter faktisk er skjulte tolv pentagoner svarende til hjørnerne i den oprindelige icosahedron. Det er faktisk umuligt at dække en kugle ved kun at bruge sekskanter, som det fremgår af Eulers forhold mellem antallet af flader, kanter og hjørner, uanset hvad det er.
På figuren er tre af disse 12 femkanter tydeligt synlige, en fjerde, ikke særlig synlig, er placeret nær kanten af figuren i retning "klokken elleve" (hvilket vil markere et urs lille hånd), til sidst en femte gemmer sig på kanten af ansigtet ved "halv fire".
Geodesiske kupler er strukturer baseret på delingen af ansigterne på en regelmæssig polyhedron, hvis ansigter består af ligesidede trekanter.
Der er kun 3 typer af regelmæssige polyedre med sådanne ligesidede ansigter: den almindelige tetraeder ( N = 3), den regelmæssige oktaeder ( N = 4) og den almindelige icosahedron ( N = 5), og betegnelsen N anvendt her repræsenterer antallet af ansigter (og også antallet af kanter), der deler det samme toppunkt.
Opdelingen af ansigterne er defineret af to heltalsparametre a og b , positive eller nul.
Den første parameter a skal være strengt positiv.
Den anden parameter b kan være nul, men må ikke være større end a .
Når værdierne for N, derefter for a og b er valgt , er konstruktionen af den tilsvarende kuppel, som vi derefter vil bemærke "Géode Mab" (notation, hvor M skal erstattes af III, IV eller V, afhængigt af værdi i figurerne Romerne af tallet N ), finder sted i 6 trin, som vi vil forklare detaljeret ved at favorisere sagen N = 5 (hvilket svarer til det store flertal af geoder) og ved at illustrere den i de følgende 3 tilfælde: derefter og endelig
Bemærk: figurerne ovenfor svarer til følgende geoder ved hjælp af notationen forklaret ovenfor:
Konstruktion af en regelmæssig polyhedron ( R ) svarende til værdien af N .
Trin nr. 2Kanterne opnået i det foregående trin danner sfæriske trekanter, som er den radiale fremspringning af de små ligesidede trekanter, der skyldes opdeling af ansigterne på den oprindelige polyhedron ( R ).
Vi skal selvfølgelig slette plottet for den normale geode, når vi er færdige med at plotte kanterne på den dobbelte geode.
Hvis vi som udgangspolyeder ( R ) vælger en almindelig oktaeder (svarende til N til værdien 4).
den ovenfor eksponerede konstruktion fører til trin 6 til følgende resultater:
Hvis vi endelig som udgangspolyeder ( R ) vælger en regelmæssig tetraeder (svarende til N til værdien 3).
den samme konstruktion fører til trin 6 til følgende resultater:
Når parameteren b er nul eller lig med parameteren a , har geoden (normal eller dobbelt) alle symmetriegenskaberne for dens generatorpolyhedron; for eksempel for icosahedronen: 15 symmetriplan (passerer gennem to modsatte kanter), 10 rotationer i rækkefølge 3 (rotation på 120 ° omkring en akse, der passerer gennem midten af en af de 20 flader) og 6 5. ordens rotationer (72 ° rotation omkring en akse, der passerer gennem to modstående hjørner)
På den anden side, når parametrene a og b er forskellige og begge positive, mister geoden sine symmetriplaner, og der er derfor to former for geoder af typen Nab, som er enantiomorfe (dvs. symmetriske på hinanden i et spejl, uden at være overlejret); for at være overbevist om dette er det tilstrækkeligt at bytte bogstaverne A og B i forklaringerne ovenfor i trin nr. 2 og 3 og nøje undersøge de tilsvarende tal (i tilfældet V-5-3) eller nedenstående figur:
Hvis vi vælger og , er den opnåede normale V-1-0-geode identisk med startgeneratorpolyhedronet (R) . Hvad angår den dobbelte V-1-0 geode, er det den almindelige dobbelte polyhedron af den samme polyhedron ; det er derfor, afhængigt af værdien af N , en regelmæssig dodecahedron (si ), en terning (si ) eller en regelmæssig tetraeder (si ).
Den mængde, som vi er enige om at kalde en geodes " tæthed ", er interessant, fordi den svarer til forholdet mellem arealet af flerhedens trekantede flader (R) og arealet af de små trekanter opnået i divisionen af ansigterne. Det griber især ind i den form, der giver, som en funktion af N , a og b , antallet af ansigter F, af kanterne A og hjørnerne S af normale og dobbelte geodesiske kupler.
Kanterne på en normal geodesisk kuppel (G) danner en Delaunay-triangulering af alle dens hjørner; derudover udgør den dobbelte geodesiske kuppel af den samme kuppel (G) en skillevæg af kuglen (S), men den svarer ikke strengt til Voronoi-diagrammet for kuppelens hjørner (G), især for værdier med lav densitet .
Det er ikke matematisk ulogisk at være interesseret i endnu en anden type geodesiske kupler, dem som man kunne få fra en opdeling (partition) af ansigterne på en anden regelmæssig polyhedron, terningen; denne opdeling ville bestå i at skære hver af de seks firkantede ansigter på terningen i mini-firkanter. For at opbygge sådanne " firkantede " kupler , ville det være tilstrækkeligt i trin 2 beskrevet ovenfor at opdele en af de to diagonaler BD af et ansigt ABCD (kvadrat) af terningen i segmenter af samme længde og derefter forbinde toppunktet C ved peg og til sidst at tegne alle segmenterne parallelt med og passere gennem punkterne i diagonalen uden at overskride grænserne for den firkantede flade ABCD, derefter gå til trin 3 for at lave en lignende konstruktion med den diagonale AC og toppunktet B og til sidst at reproducere det således opnåede gitter på hver af de 5 andre terninger på kuben. For disse kupler ville " densiteten ", forholdet mellem overfladen af terningens overflader og arealet af de små firkanter opnået i opdelingen af ansigterne, være gyldig .
Bemærk : følgende formular inkluderer ikke det specifikke tilfælde af " firkantede " geoder
For at beregne tallene F, A og S, der repræsenterer antallet af ansigter, kanter og hjørner af en geodesisk kuppel med parametrene N , a og b , er det nødvendigt at starte med at beregne tallene f og D ( som henholdsvis repræsenterer antallet af ansigter af generatorens regelmæssige polyhedron ( R ) og " densiteten " af delingen af overfladerne af denne polyhedron ) ved hjælp af følgende to foreløbige formler:
ogVi kan derefter beregne:
og
og
Flere detaljer:
En dobbelt V-1-1 geode har nøjagtig strukturen af fodboldkugler , der er i brug i officielle konkurrencer: på disse bolde er de 12 pentagoner farvet sorte, mens de 20 sekskanter er farvet hvide.
Golf kugler er udhulet af små celler, antallet, formen og positionen af hvilken kan forbedre ydelsen af spillerne; Blandt professionelle golfkugler støder man ofte på kugler, hvor arrangementet af cirkulære celler gengiver ansigterne (sekskanter og femkanter) af en dobbelt V-6-0 geode.
Visse bemærkelsesværdige organiske forbindelser såsom C60, hvis struktur er tæt på V-1-1-geoderne, er blevet navngivet fullerener som hyldest til RB Fuller; de kaldes også undertiden "fodboldspillere".
Størstedelen af vira er "icosahedral vira" (på engelsk " icosahedral vira ") eller mere nøjagtigt "icosahedral nucleocapsid vira": deres særegenhed skyldes deres struktur, som meget tæt på den for en geodesisk kuppel, normal eller dobbelt ( uden dog den radiale fremspring på kuglen (S) ) giver dem stor stabilitet. De svarer altid til N = 5 og oftest til lave værdier på a og b .
Blandt disse mange vira kan vi nævne hepatitis A , B , C og E , den af polio , den for AIDS ( HIV-1 ), den for gul feber , den for kopper , den for mund- og klovesyge , den sædvanlige virus bronchiolitis ( RSV ), den af almindelig vorter og plantar ( Papillomavirus HPV-3 og HPV-1 ), den af røde hunde eller den af " forkølelse "; lad os også nævne gruppen med 8 såkaldte herpesviridae- vira, som alle har V-5-0-struktur, og som kan fremkalde forskellige menneskelige sygdomme: skoldkopper , helvedesild , infektiøs mononukleose , forkølelsessår , neonatal herpes og kønssygdomme såsom simple kønsherpes og ' herpes cytomegalovirus .
Nogle af disse vira er " snoede " og svarer derfor til Fullers klasse III: for eksempel Polyomavirus og Papillomavirus, som er af V-2-1-typen. Vi kender endda en virus af typen V-10-7 (den, der angriber algen Phaeocystis pouchetii ).