Identitet af Binet-Cauchy

I matematik og især i algebra siger Binet-Cauchy 's identitet på grund af Jacques Philippe Marie Binet og Augustin-Louis Cauchy , at:

(∑jeg=1ikkepåjegvs.jeg)(∑j=1ikkebjdj)=(∑jeg=1ikkepåjegdjeg)(∑j=1ikkebjvs.j)+∑1≤jeg<j≤ikke(påjegbj-påjbjeg)(vs.jegdj-vs.jdjeg){\ displaystyle {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} d_ {j} {\ biggr)} = {\ biggl (} \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} {\ biggr)} {\ biggl (} \ sum _ {j = 1} ^ {n} b_ {j} c_ {j} {\ biggr)} + ​​\ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

for ethvert sæt reelle eller komplekse tal (eller mere generelt af elementer i en kommutativ ring ). I det særlige tilfælde hvor a i  =  c i og b j  =  d j , reduceres det til Lagrange-identiteten .

Forhold til ydre algebra

Ved hjælp af det skalære produkt og det eksterne produkt (som identificeres for n = 3 med krydsproduktet ) kan identiteten skrives

(på⋅vs.)(b⋅d)=(på⋅d)(b⋅vs.)+(på∧b)⋅(vs.∧d){\ displaystyle (a \ cdot c) (b \ cdot d) = (a \ cdot d) (b \ cdot c) + (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) \,}

hvor a , b , c og d er vektorer med n koordinater. Vi kan stadig se det som en formel, der giver prikproduktet af to ydre produkter som en funktion af prikprodukter:

(på∧b)⋅(vs.∧d)=(på⋅vs.)(b⋅d)-(på⋅d)(b⋅vs.).{\ displaystyle (a \ wedge b) \ cdot (c \ wedge d) = (a \ cdot c) (b \ cdot d) - (a \ cdot d) (b \ cdot c). \,}

I det særlige tilfælde af lige vektorer ( a = c og b = d ) bliver formlen ( Lagrange identitet )

|på∧b|2=|på|2|b|2-|på⋅b|2{\ displaystyle | a \ wedge b | ^ {2} = | a | ^ {2} | b | ^ {2} - | a \ cdot b | ^ {2}}

Demonstration

Ved at udvikle den sidste periode og tilføje og trække velvalgte supplerende summer opnår vi:

∑1≤jeg<j≤ikke(påjegbj-påjbjeg)(vs.jegdj-vs.jdjeg){\ displaystyle \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} b_ {j} -a_ {j} b_ {i}) (c_ {i} d_ {j} -c_ {j} d_ {i})}

=∑1≤jeg<j≤ikke(påjegvs.jegbjdj+påjvs.jbjegdjeg)+∑jeg=1ikkepåjegvs.jegbjegdjeg-∑1≤jeg<j≤ikke(påjegdjegbjvs.j+påjdjbjegvs.jeg)-∑jeg=1ikkepåjegdjegbjegvs.jeg{\ displaystyle = \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} + a_ {j} c_ {j} b_ {i} d_ { i}) + \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {i} d_ {i} - \ sum _ {1 \ leq i <j \ leq n} (a_ { i} d_ {i} b_ {j} c_ {j} + a_ {j} d_ {j} b_ {i} c_ {i}) - \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {i} c_ {i}}

hvilket gør det muligt at gruppere sammen:

=∑jeg=1ikke∑j=1ikkepåjegvs.jegbjdj-∑jeg=1ikke∑j=1ikkepåjegdjegbjvs.j.{\ displaystyle = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} c_ {i} b_ {j} d_ {j} - \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {i} d_ {i} b_ {j} c_ {j}.}

Idet faktorerne indekseres af i , resulterer identiteten.

Generalisering

En mere generel form, kendt som Binet-Cauchy-formlen , siger, at hvis A er en m × n- matrix og B er en n × m- matrix , har vi

det(PÅB)=∑S⊂{1,...,ikke}|S|=mdet(PÅS)det(BS),{\ displaystyle \ det (AB) = \ sum _ {\ scriptstyle S \ subset \ {1, \ ldots, n \} \ oven \ scriptstyle | S | = m} \ det (A_ {S}) \ det (B_ {S}),}

hvor S er en delmængde af {1, ..., n } med m- elementer, A S er den m × m matrix, hvis søjler er dem for A, der har deres indeks i S , og ligeledes B S er den m × m matrix dannet af rækker af B af indekser i S  ; i denne formel overtages summen over alle mulige delmængder.

Binet-Cauchys identitet udledes heraf som en særlig sag ved at stille

PÅ=(på1...påikkeb1...bikke),B=(vs.1d1⋮⋮vs.ikkedikke).{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} a_ {1} & \ dots & a_ {n} \\ b_ {1} & \ dots & b_ {n} \ end {pmatrix}}, \ quad B = {\ start {pmatrix} c_ {1} & d_ {1} \\\ vdots & \ vdots \\ c_ {n} & d_ {n} \ end {pmatrix}}.}

Noter og referencer

• (en) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen "  Binet - Cauchy identity  " ( se listen over forfattere ) .

1. (i) Eric W. Weisstein , CRC Concise Encyclopedia of Mathematics , CRC Press , 2003, 2 nd  ed. , 3242  s. ( ISBN  978-1-58488-347-0 ) , "Binet-Cauchy identitet" , s.  228