I matematik er et ideal i betydningen ordensteori en bestemt delmængde af et ordnet sæt . Selvom dette udtryk oprindeligt kom fra den algebraiske forestilling om idealet for en ring , er det blevet generaliseret til en separat forestilling. Ideer griber ind i mange konstruktioner i rækkefølge teori, især gitter .
Et ideal for et ordnet sæt ( E , ≤) er en ikke-fri delmængde I af E, således at:
Denne definition strækker sig til vilkårlige ordrer den oprindelige definition af et gitterideal :
Hvis rækkefølgen ( E , ≤) er et gitter - dvs. hvis hvert par { a , b } i E har en øvre grænse a ⋁ b og en nedre grænse a ⋀ b - en startsektion I er et ideelt, hvis og kun hvis det er stabil ved de øvre grænser færdig, det vil sige, hvis den ikke er tom, og hvis for alle a og b i I , har ⋁ b tilhører jeg .
Den dobbelte opfattelse af idealet, det vil sige hvor ≤ er inverteret og ⋁ og ⋀ inverteret, er filteret . Udtrykkene "ideel til ordre" og "semi-ideal" bruges undertiden til at betegne enkle startsektioner (og "filter til ordre" til enkle afslutningssektioner ). For at undgå enhver forvirring bruger vi kun udtrykkene "ideal / filter" for sektioner (begyndelse / slutning), der filtrerer (højre / venstre) .
Begreberne om Frinks ideal (en) og pseudo-ideal (en) generaliserer ideen om et gitterideal.
En ideel eller et filter ( E , ≤) siges at ren , hvis den er en ægte delmængde af E .
For ethvert element e i E er det mindste ideal, der indeholder e, sættet, betegnet ↓ e , af den nedre grænse for e . Et sådant ideal siges at være principielt, og e kaldes derefter et hovedelement i dette ideal.
En ideel I på ( E , ≤) siges at være primær, hvis dens komplement er et filter. Da hvert filter pr. Definition ikke er frit, er hvert primærideal korrekt. Dobbeltvis siges et filter at være prime, hvis dets komplement er et ideal, og hvert prime filter er korrekt.
Når ( E , ≤) er et gitter, er et ordentligt ideal I primært, hvis og kun hvis, for alle a og b af E således at a ⋀ b tilhører I , mindst et af de to elementer a eller b er i I .
I en komplet gitter , er ren ideal sagt fuldstændigt første hvis nogen af E , den nedre terminal er del I indeholder mindst et element jeg .
Eksistensen af primære idealer er generelt ikke indlysende og ofte kan det ikke vises, at der er "nok" af dem inden for Zermelo-Fraenkels teori om sæt alene (uden det valgte aksiom. ): Se artiklen " Prime ideal-sætning i Boolsk algebra ”.
Et ideal (resp. Et filter) siges at være maksimalt, hvis det er et maksimalt element (til inkludering ) af sættet med korrekte idealer (resp. Af korrekte filtre).
I et distribuerende gitter er hvert maksimale ideal og hvert maksimale filter prime. Det omvendte er falsk generelt, men sandt i en boolsk algebra .
Maksimale filtre kaldes undertiden ultrafilter , men denne terminologi er ofte forbeholdt boolske algebraer, hvor et filter eller ideal er maksimalt, hvis og kun hvis det for ethvert element a af algebra indeholder et og kun et af de to elementer a og ¬ a .
Vi kan også tage en relativ opfattelse af maksimalitet overvejer for et rent filter F , elementerne M maksimal i det sæt af idealer disjunkte fra F . I et distribuerende gitter er sådan M altid prime.
DemonstrationLad M være maksimal blandt de usammenhængende idealer for filteret F og lad a og b ikke tilhøre M , lad os vise, at M ikke indeholder a ⋀ b .
Er N sættet af elementer, som nedre grænser m ⋁ har mindst en m i M . Derefter N er en ideel strengt indeholdende M dermed opfylde den slutter sektion F , så der er en m i M , således at m ⋁ har ejet F . Tilsvarende er der ingen i M som n ⋁ b tilhører F . Lad p = m ⋁ n . Filteret F indeholder derefter p ⋁ har og p ⋁ b indeholder således også ( s ⋁ en ) ⋀ ( p ⋁ b ) = p ⋁ ( a ⋀ b ), som derfor ikke tilhører M . Nu den ideelle M indeholder p , så det ikke kan indeholde en ⋀ b .
For ethvert ideal, jeg adskiller fra filteret F , er eksistensen af et maksimalt M blandt idealerne indeholdende I og adskilt fra F ikke generelt garanteret. Det er så under antagelsen af det valgte aksiom. I det særlige tilfælde, hvor det betragtede bestilte sæt er en boolsk algebra, er denne sætning det, der allerede er nævnt, af det primære ideal i en boolsk algebra. Det er strengt svagere end det valgte aksiom og er tilstrækkeligt til de fleste anvendelser af idealer i rækkefølge teori.
Konstruktionen af idealer og filtre er et vigtigt redskab i mange anvendelser af ordre teori.
Ideer blev introduceret i ordre teori af Marshall Stone , der gav dem samme navn som idealerne for en ring. Han vedtog denne terminologi, for for boolske algebraer falder de to forestillinger sammen.
Ideel (sætteori )