Maksimum ideal

Et maksimalt ideal er et koncept forbundet med teorien om ringe i matematik og mere specifikt i algebra .

Et ideal for en kommutativ ring siges at være maksimal, når den er indeholdt i nøjagtigt to idealer, sig selv og hele ringen. Eksistensen af maksimale idealer sikres ved Krulls sætning .

Denne definition gør det muligt at generalisere begrebet irreducerbart element til forskellige ringe end for relative heltal . Nogle af disse ringe har en vigtig rolle i algebraisk talteori og algebraisk geometri .

Motivationer

Den aritmetiske kræver nogle gange arbejder på komplicerede kommutativ ring som nogle af de algebraiske heltal . Teoremerne, der normalt bruges til at opbygge teorien, som nedbrydningen i primære faktorer , er ikke længere fuldt verificeret. I dette tilfælde er dekomponeringens unikke egenskaber (bortset fra rækkefølgen og de invertible elementer ) ikke nøjagtige.

For at være i stand til at konstruere teorien forbliver et andet koncept dog operationelt: idealerne. Definitionerne, der er gyldige for elementerne, såsom irreducerbar , prime , prime indbyrdes som en helhed , gcd eller endda ppcm , har ofte ækvivalente definitioner for ringe.

I en hovedring svarer begrebet maksimalt ideal til irreducerbare elementer. Det bruges især i teorien om polynomer .

Definitioner

Et maksimalt ideal for en kommutativ ring er et ideal, så der er nøjagtigt to idealer, der indeholder det, sig selv og hele ringen.
Et irreducerbart element er et element, der ikke er nul, hvis genererede ideal er et maksimalt element i sættet af hoved- og ordentlige idealer (det vil sige forskelligt fra hele ringen).

Den sidste definition svarer til følgende:

Et irreducerbart element er et sådant element, at enhver tofaktors nedbrydning indeholder et og kun et inverterbart element.

Eksempler

De maksimale idealer for den ( euklidiske , derfor hoved ) ring ℤ af relative heltal er idealerne for formen p for, for p et primtal . Placering af denne ring gør det muligt at definere ringene til p -adiske heltal .
Hvis K er et kommutativt felt , er de maksimale idealer for (Euclidean, derfor principiel) ring K [ X ] de idealer, der genereres af de irreducerbare polynomer . I det tilfælde hvor feltet er algebraisk lukket (for eksempel for feltet med komplekse tal ), er dette polynomierne af grad 1. At lokalisere disse ringe fører til ringene i formelle serier .
I tilfældet med den polynomiet ring med koefficienter i ringen af heltal, er en irreducible polynomium ikke nødvendigvis producerer en maksimal ideal: den ideelle genereret af X er strengt optaget på denne genereret af 2 og X .
Hvis K er et kommutativt felt, er det eneste maksimale ideal {0}.
Ringe med kun et maksimalt ideal er af særlig betydning: disse er de lokale ringe . De opnås generelt efter en lokaliseringsproces , der består i at gøre nok elementer inverterbare, så kun et maksimalt ideal forbliver.

Ejendomme

Kvotient ring

Et ideelt I for en kommutativ ring A er maksimal, hvis og kun hvis kvotientringen A / I er et felt.

Derfor er ethvert maksimalt ideal prime .

Denne egenskab gør det f.eks. Muligt at konstruere brudlegemet af et irreducerbart polynom.

Demonstration

Antag Jeg er maksimal og viser, at en ikke-nul element x af A / I er invertibel. Sådan et element x kvotienten er klassen af et element en af A ikke tilhører jeg . Da A er kommutativ, er I + aA et ideal. Da dette ideal strengt indeholder jeg , er lig med A . Dette betyder, at der findes et element i af I og et element b af A således, at i + ab = 1. Denne ligestilling viser, at klassen x af a er inverterbar, omvendt klassen af b . Derfor er A / I faktisk en krop.
Omvendt antage, at A / jeg er en krop og vise, at hver ideal J af A indeholder strengt jeg er lig med A . En sådan J indeholder har ikke tilhører jeg . Klassen har er en tilbageførsel element, så der er et element b af A og et element i for jeg således at I + ab = 1. Dette viser, at ligestilling er et element J og dermed J er lig med A . Derfor er jeg faktisk maksimal.

Hovedring

I tilfælde af en store ring , er begreberne ureducerbarhed og primality forvirret:

For ethvert ideal I af en hovedring er følgende egenskaber ækvivalente:

Jeg er primær og ikke nul;
I genereres af et ikke-nul og ikke-inverterbart element, som, hvis det deler et produkt ab , deler a eller b ;
Jeg genereres af et irreducerbart element;
Jeg er maksimal.

En demonstration gives i § "Hovedring" i artiklen om primære idealer .

Krulls sætning og invertible elementer

Den Krull teorem (svarende til udvalgsaksiomet ), at i enhver kommutativ ring, er en egen ideal altid inkluderet i mindst én maksimal ideal.

Derfor er et element af ringen inverterbar, hvis og kun hvis den ikke hører til noget maksimalt ideal. Faktisk er et element ikke inverterbart, hvis og kun hvis det ideal, det genererer, er korrekt.