Ideel først

I kommutativ algebra er et primærideal for en enhedskommutativ ring et ideal, således at kvotienten af ringen ved dette ideal er en integreret ring . Dette koncept generaliserer begrebet primtal til ringe med en struktur, der er mindre let at få adgang til end ringen med relative heltal .

De spiller en særlig vigtig rolle i algebraisk talteori .

Motivationer

Teori om algebraiske tal og heltal

I 1801, i sin Disquisitiones Arithmeticae , Carl Friedrich Gauss udviklede aritmetik på andre end ringe relative heltal . Han bruger især ringen af polynomer med koefficienter i et kommutativt felt og det sæt heltal, der bærer hans navn .

Disse ringe indeholder elementer, der har de samme egenskaber som primtal , irreducerbare polynomer eller Gauss-primtal . Denne tilgang er særlig frugtbar, den tillader f.eks. At bevise meget mere simpelt sætningen af Fermats to firkanter eller en særlig vanskelig formodning for den tid , kvadratisk gensidighed .

Denne tilgang er generaliseret til algebraiske heltal . I 1847 , Gabriel Lamé brugte en brutal generalisering og troede, at han havde vist Fermats store sætning . Ernst Kummer ( 1810 - 1893 ) viser, at den entydighed, der er nævnt i primærfaktoriseringssætningen, ikke længere er garanteret. Han udvikler de ideelle komplekse tal for at finde unikhed gennem et nyt koncept.

Dette koncept, der sigter mod at overvinde manglerne ved talernes egenskaber, formaliseres af ideen om ideal efter Richard Dedekinds arbejde . Der er flere egenskaber til at karakterisere de forskellige idealer. I de enkle tilfælde, hvor ringen er principiel , svarer ethvert ideal til et element i ringen , og primidealer svarer til de elementer i ringen, der er "primære" i den forstand, at de i lighed med primtalene tilfredsstiller det euklidiske lemma : ethvert hovedelement, der deler et produkt, deler en af de to faktorer. I en faktorring falder denne forestilling om primærelement sammen med begrebet irreducerbart element, en mere almindelig karakterisering af primtal ved det faktum, at mindst én er inverterbar i enhver nedbrydning i to faktorer . I mere komplekse tilfælde, som f.eks. Dedekind-ringene , forbliver konceptet med det primære ideal operationelt, mens det primære element stort set mister sin driftskraft.

Algebraisk geometri

De algebraiske sorter er de grundlæggende objekter i algebraisk geometri . De svarer til en geometri defineret af algebraiske ligninger . Et af målene med algebraisk geometri er klassificeringen af forskellige sorter. Begrebet primideal er grundlaget for nedbrydningen af sorter til irreducerbare sorter.

Ligesom et polynom kan studeres fra vinklen til det tilknyttede ideal for ringen af polynomer, kan en algebraisk manifold defineres ved idealet af polynomer, der annullerer hinanden på denne manifold. En sort klassificeres derefter perfekt ved at give de primære idealer for polynomer, der annullerer det. Til hvert primideal svarer en irreducerbar undervariant.

Foreningen mellem geometri og aritmetik åbner vejen for demonstration af mange sætninger. Det er for eksempel grundlaget for beviset for Fermats store sætning af Andrew Wiles i 1994 .

Definitioner

Ideel først

Lad A være en enhedskommutativ ring.

En ideal I af A siges at være primær, hvis kvotienten af A ved I er integreret .

Især en førsteklasses ideal om A er ren , det vil sige forskellig fra A . Faktisk er nulringen pr. Definition ikke integreret.

Nulidealet (reduceret til element 0) er primært, hvis kun A, ring A er integreret.

Definitionen af primideal skal sammenlignes med definitionen af maksimalt ideal .

Et ideal I af A siges at være maksimalt, hvis kvotienten af A ved I er et felt .

Egenskaber svarende til definitionen

Lad A være en enhedskommutativ ring.

Vi har følgende karakterisering af hovedidealer:

Et ordentligt ideal I af A er primært, hvis og kun hvis

{\ displaystyle \ forall a, b \ i A \ quad [ab \ i I \ Rightarrow (a \ i I {\ mbox {eller}} b \ i I)].}

Dette forslag minder om Euclids lemma, der lyder som følger: "hvis et heltal større end 1 er prime, hver gang det deler et produkt, deler det en af faktorerne".

Tilsvarende:

En ideel ejendom er primær, hvis og kun hvis den indeholder produktet af to idealer, den indeholder det ene eller det andet.

Denne ejendom kan raffineres:

Et ordentligt ideal er ikke- primært, hvis og kun hvis der er to idealer, hvori det strengt er indeholdt, og som det indeholder produktet af.

Demonstrationer

Lad jeg være et ordentligt ideal (dvs. adskiller sig fra A ), med andre ord A / I er forskellig fra nulringen .

Første karakterisering:
Jeg er primær, hvis og kun hvis A / I er integreret, dvs. hvis og kun hvis $\ forall a, b \ i A \ quad [\ overline a. \ overline b = \ overline 0 \ Rightarrow (\ overline a = \ overline 0 {\ mbox {eller}} \ overline b = \ overline 0)].$ Men at sige, at en . b er nul i A / I betyder, at ab tilhører I , og selv det, der har eller b er nul klasse, er at sige, at det tilhører jeg . Vi udleder heraf den første karakterisering af primære idealer.
Hvis jeg er et primtal og indeholder hverken den ideelle J eller den ideelle K , så er det ikke indeholder deres produkt:
Faktisk findes der i dette tilfælde en (hhv. B ) element i J (hhv Of. K ikke elementer) I . Så er ab et element af JK, som ikke kan være et element af jeg, fordi jeg er primær.
Hvis jeg ikke er primær, eksisterer der to idealer J og K, således at jeg indeholder produktet JK, men er strengt indeholdt i J og K (indeholder derfor hverken det ene eller det andet):
Faktisk er der i dette tilfælde to elementer i ringen var og b hører ikke til jeg, men hvis produkt tilhører jeg . Ideals J = I + ( a ) og K = I + ( b ) indeholder så strengt jeg , medens produktet JK indgår i jeg .

Derfor er ethvert primideal irreducerbart : hvis det er lig med skæringspunktet mellem to idealer, er det lig med det ene eller det andet (da det indeholder deres produkt og er prime).

Eksempler

Relative heltal

I ringen ℤ af relative heltal er et ikke-nul heltal n et primelement i betydningen af den foregående definition, hvis og kun hvis ringen ℤ / n ℤ er integreret, dvs. hvis n er lig med eller modsat et primært naturligt tal i den sædvanlige forstand .

Definitionen af primelement af corresp svarer derfor til den sædvanlige definition af primtal med undtagelse af invertibler (i ℤ er de invertible elementer 1 og –1). Nu er ethvert ideal af “" associeret "med to heltal: et naturligt tal og dets modsatte. Efter konvention vælger man, som den kanoniske generator for idealet, hvilken af de to er positive. Denne konvention tilvejebringer en sammenhæng mellem ikke-nul-primidealer og primtal og tillader et enklere udtryk for den grundlæggende sætning af aritmetik .

Ring af polynomer

Polynomer med koefficienter i et felt

I det tilfælde, hvor polynomierne har koefficienter i et felt, er ringen som tidligere euklidisk derfor principiel : ethvert ideal er sammensat af multipla af en enhedspolynom, og de primære idealer, der ikke er nul, er i sammenhæng med primærpolynomerne enhed .

Traditionen er dog at tale snarere om irreducerbare polynomer end om primære polynomer: ifølge definitionen ovenfor er et polynom irreducerbart, hvis og kun hvis det ikke er konstant, og hvis en nedbrydning i to faktorer indeholder et inverterbart element.

Faktisk falder disse to forestillinger sammen i denne ring af polynomer såvel som i heltal. Denne tilstand er generel i ringene integreret med GCD , især (se nedenfor ) hovedringene.

Polynomer med koefficienter i ℤ

Hvis koefficienterne for polynomet vælges fra ℤ, er ringen af polynomer ikke længere principiel. For eksempel er det ideelle jeg genereret af X og 2 ikke principielt. Kvotienten af ℤ [ X ] ved I er en to-element ring derfor integreret. Dette ideal er primært, men er ikke forbundet med et element i ringen.

Gaussisk heltal

De gaussiske heltal danner en euklidisk ring. For hvert ideal svarer en associeringsklasse, der genererer idealet, forestillingerne om ikke-nul-primidealer svarer til Gaussiske primtal , de primære - eller: irreducerbare - elementer i ringen.

Ejendomme

Prime prime idealer og prime elementer i en ring

I en kommutativ ring A :

Et element a af A siges at være prime, hvis det ideelle aA er prime og ikke nul.
Et element a af A siges at være irreducerbart, hvis det hverken er nul eller inverterbart eller produkt af to ikke-invertible elementer.

Når jeg er det ideelle ( p ) af multipla af et ikke-nul- element p , omformuleres definitionen til: "idealet ( p ) er prime, hvis og kun hvis elementet p er prime ".

hvert hovedelement er irreducerbart , forudsat at A er integreret;
p er irreducerbart, hvis og kun hvis ( p ) er maksimal blandt de vigtigste idealer for A ;
hvert maksimale ideal er førsteklasses .

Fremhæv idealer i en hovedring

Ved at kombinere alle disse egenskaber opnår vi:

Hvis p er et element, der ikke er nul i en hovedring , er følgende forslag ækvivalente:

( p ) er prime;
p er prime;
p er irreducerbart;
( p ) er maksimal.

Mere elementært bevis

Vi beviser en sløjfe af implikationer 1 ⇒ 2 ⇒ 3 ⇒ 4 ⇒ 1, hvoraf vi kun beskriver de to mest sarte.

2 ⇒ 3: lad a og b være to elementer i A, således at p = ab , så lærer 2 os, at p deler enten a eller b , følgelig (da p ikke er nul og A er integreret) er p forbundet med enten a enten til b, og den anden faktor er inverterbar.
3 ⇒ 4: hvert ideal, der indeholder ( p ), genereres af en divisor af p , så genereres enten af 1 eller af p . Følgelig er de eneste to idealer, der indeholder ( p ), A og ( p ), hvilket er definitionen af et maksimalt ideal.

Gensidigt billede

Hvis ψ er en morphism ringninger (kommutativ og enhed) af A i B , og P en ideal af B , er det kendt, at omvendte billede Q af P ved ψ er en ideel af A . Under disse betingelser, hvis P er primær, så er Q også.

Demonstration

A / Q er integral: på den ene side A / Q er ikke nul ringen, med andre ord Q er ikke helt A , fordi det ikke indeholder 1 A eftersom ψ (1 A ) = 1 B n 'ikke for P .
A / Q er isomorf til en underring af B / P , ligesom det er uden en nuldeler.

Denne egenskab gælder oftest i det tilfælde, hvor A er en underring af B , hvor morfismen ψ derefter simpelthen er den kanoniske injektion . Den formuleres derefter som følger:

Hvis A er en delring af B og P en førsteklasses ideal om B derefter P ∩ A er en førsteklasses ideal af A .

Nilradikal, radikal af et ideal

Vi definerer det nilradikale i en enhedskommutativ ring A som sættet med dens nilpotente elementer . Vi har derefter følgende udsagn (hvis bevis bruger Krulls sætning og derfor det valgte aksiom ):

Det nilradikale er lig med skæringspunktet mellem alle primære idealer.

Mere generelt udleder vi ved en passage til kvotienten, at:

Den radikale af en ordentlig ideal jeg er lig med skæringspunktet af de vigtigste idealer, der indeholder jeg .

Se også

Bibliografi

Serge Lang , Algebra [ detaljer af udgaver ]
Saunders Mac Lane og Garrett Birkhoff , Algebra [ detaljerede udgaver ]
Daniel Perrin , Cours d'Algebre [ detaljerede udgaver ]

eksterne links

" Ideer, kvotientringe " , på les-mathematiques.net
Ring og krop af Christian Squarcini
(da) " Prime ideal " , på PlanetMath