Hovedideal

I matematik , nærmere bestemt i teorien om ringe , er et hovedideal et ideal, der genereres af et enkelt element.

Definition

Lad A være en ring .

• Et ideal til højre I siges at være principielt til højre, hvis det er lig med idealet til højre genereret af et element a , det vil sige hvis I = aA = { ax | x ∈ A }.
• Et ideal til venstre I siges at være principielt til venstre, hvis det er lig med idealet til venstre genereret af et element a , det vil sige hvis I = Aa  : = { xa | x ∈ A }.
• Et tosidet ideal I siges at være principielt, hvis det er lig med det tosidede ideal, der genereres af et element a , det vil sige hvis I = AaA  : = { x 1 ay 1 +… + x n ay n | n ∈ N , x 1 , y 1 ,…, x n , y n ∈ A }.

Hvis A er kommutativ , falder disse tre begreber sammen, og det ideal, der genereres af a , bemærkes ( a ).

Modeksempler

For integreret domæne A indeholdende et element har ikke-nul og ikke-inverterbart, er det ideal, der genereres af a og Y i ringen af polynomer A [ Y ], ikke principielt.

Et eksempel på en sådan situation er A = ℤ ringen af hele tal og en = et helt tal forskellig fra 0, 1 og -1, eller, A = B [ X ] for at være en integreret B og en = X .

Hovedring

En ring af integritet, hvor alle idealer er vigtige, kaldes en hovedring .

For eksempel er ℤ og K [ X ] for et kommutativt felt K hovedringe .

Vigtigste idealer

Lad A være en kommutativ ring integrerer og har en ikke-nul element i A .

• (a) er maksimal i sæt af de rette hovedidealer for A, hvis og kun hvis a er ureducerbar  ;
• (a) er prime, hvis og kun hvis a er prime  ;
• (a) er maksimal, hvis og kun hvis a er ekstrem .

Hvis A er en GCD-ring , er de to første egenskaber ækvivalente. Hvis han er Bézout (især hvis han er hovedstol), er alle tre det.

Bemærk

1. For en demonstration, se for eksempel denne korrigerede øvelse fra lektionen "Ring" på Wikiversity .