Riemann integreret

I reel analyse er Riemann- integralet en måde at definere integralen over et segment af en afgrænset og næsten overalt kontinuerlig reel funktion . I geometriske termer fortolkes denne integral som arealet af domænet under kurven, der er repræsentativ for funktionen, talt algebraisk.

Den generelle metode, der bruges til at definere Riemann-integralet, er tilnærmelsen ved hjælp af trappefunktioner , for hvilken det er let at definere området under kurven. Funktionerne (defineret på et segment), som denne definition er mulig for, siges at være integrerbare i betydningen Riemann. Dette er især tilfældet for kontinuerlige , stykkevise kontinuerlige eller endda kun regulerede funktioner .

Definition

Integreret af en trappefunktion

For enhver karakteristisk funktion $χ [ c , d ]$ af et interval $[ c , d ]$ (med $a \leq c \leq d \leq b )$ , indstiller vi

\ int \ chi _ {{[c, d]}} (x) \, {\ mathrm d} x = dc.

Arealet under kurven for denne funktion er lig med arealet af rektanglet med base $[ c , d ]$ og højde 1.

Vi udvider denne definition med linearitet til trappefunktioner, det vil sige til lineære kombinationer af indikatorer $f k$ af intervaller (ikke nødvendigvis usammenhængende):

\ int (a_ {1} f_ {1} + a_ {2} f_ {2} + \ prikker + a_ {n} f_ {n}) = a_ {1} \ int f_ {1} + a_ {2} \ int f_ {2} + \ dots + a_ {n} \ int f_ {n}

(hvis nogle af $a k$ er negative, betyder det, at områderne under x-aksen tælles med et minustegn ).

Vi beviser, at denne definition er sammenhængende, det vil sige, at alle nedbrydninger af en trappe fungerer i lineær kombination af intervalindikatorer giver den samme værdi for dens integral.

Nedre og øvre integraler

Så at væksttilstanden

{\ displaystyle \ varphi \ leq f \ Rightarrow \ int \ varphi \ leq \ int f}

udføres for enhver funktion $φ$ i trappe, er det nødvendigt at tildele integralet af $f$ en værdi større end eller lig med alle de "lavere summer af $f$ " (integralerne af funktionerne i trappe, som undervurderer $f$ ), det vil sige at sige sige større end eller lig med deres øvre grænse , undertiden kaldet "nedre integral af $f$ ":

{\ displaystyle I _ {-} (f): = \ sup _ {\ varphi \ leq f} \ int \ varphi \ leq \ int f.}

Ligeledes, så at

{\ displaystyle \ psi \ geq f \ Rightarrow \ int \ psi \ geq \ int f}

er sandt for enhver trappefunktion $esc$ , er det nødvendigt og tilstrækkeligt

{\ displaystyle I _ {+} (f): = \ inf _ {\ psi \ geq f} \ int \ psi \ geq \ int f}

og denne nedre grænse (taget på $ψ$ trappe, der øges $f$ ) af "er højere end $f$ " kaldes "øvre integral af $f$ ".

Den nederste integral af $f$ er altid afgrænset af dens øvre integral, men de kan være forskellige. For eksempel er de henholdsvis lig med $-\infty$ og $+ \infty$ hvis $f$ hverken underskæres eller øges, og til 0 og $b - a$ hvis $f$ er indikatorfunktionen for sættet af rationelle i segmentet $[ a , b ]$ med $en < b$ .

Definition - En funktion $f$ defineret på et segment er integrerbar (i betydningen Riemann) eller Riemann-integrerbar, når dens nedre integral og dens øvre integral er ens, og denne fælles værdi kaldes derefter Riemann-integralen af $f$ .

Direkte definition

Riemanns originale definition af hans integral brugte Riemann-summer , men her præsenterer vi den efterfølgende, ækvivalente tilgang med Darboux- summer .

Lad $f være$ en afgrænset funktion på $[ a , b ]$ . Til enhver underopdeling $σ = ( a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b )$ knytter vi dens "trin" $δ ( σ ) = max { x i - x i - 1 | i = 1,\dots, n }$ , som måler dens “glathed” såvel som de 2 reelle n

${\ text {for}} i = 1, \ dots, n, \ quad m_ {i} = \ inf _ {{x \ in [x _ {{i-1}}, x_ {i}]}} f (x) {\ text {and}} M_ {i} = \ sup _ {{x \ i [x _ {{i-1}}, x_ {i}]}} f (x)$

derefter summerer den nedre og øvre Darboux

$S _ {-} (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} m_ {i} (x_ {i} -x _ {{i-1}}) {\ text { og}} S _ {+} (f, \ sigma) = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} M_ {i} (x_ {i} -x _ {{i-1}}).$

Vi kan således (gen-) definere de nedre og øvre integraler af $f$ ved

$I _ {-} (f) = \ sup _ {{\ sigma}} S _ {-} (f, \ sigma) {\ text {et}} I _ {+} (f) = \ inf _ {{ \ sigma}} S _ {+} (f, \ sigma)$

og (gen-) bevis, at $jeg - ( f ) \leq I + ( f ),$ og vi siger igen, at $f$ er Riemann-integrerbar, når disse to tal er ens. Vi beviser, at denne betingelse svarer til

$\ lim _ {{\ delta (\ sigma) \ to 0}} S _ {+} (f, \ sigma) -S _ {-} (f, \ sigma) = 0.$

Ejendomme

For at være integrerbar skal en funktion først og fremmest være afgrænset. Hvis $f$ er afgrænset på $[ a , b ]$ og integrerbart i et hvilket som helst segment $[ c , d ]$ således, at $a < c < d < b$ , så er det integrerbart på $[ a , b ]$ .

Hvis $f$ , defineret på $[ a , b ]$ , er integrerbart, betegner vi med ∫b
af er integreret, og vi har:

$f$ er integrerbart i ethvert segment inkluderet i $[ a , b ]$ ;
hvis $a \leq x \leq y \leq z \leq b$ så $\int y x f + \int z y f = \int z x f$ ( Chasles-forhold );
applikationen $x \mapsto \int x a f$ er Lipschitzian .

Sætning 1 - De integrerede funktioner på $[ a , b ]$ danner en ℝ- Banach algebra (for normen for ensartet konvergens ), hvor kortet er en positiv lineær form og derfor kontinuerlig. $I: f \ mapsto \ int f$

Med andre ord (på $[ a , b ]$ ):

ethvert produkt, lineær kombination eller ensartet grænse for integrerbare funktioner er integrerbare;
integralet af en lineær kombination er den lineære kombination af integraler;
$Jeg$ stiger;
integralet af en ensartet grænse er grænsen for integraler.

Resultat - Enhver funktion indstillet til $[ a , b ]$ er Riemann-integrerbar.

Især enhver kontinuerlig funktion på $[ a , b ]$ (eller endda kun afgrænset og kontinuerlig undtagen ved et endeligt antal punkter) er integrerbar såvel som en hvilken som helst monoton funktion (eller endda kun stykkevis monoton).

Lebesgue-kriterium for Riemann-integrerbarhed - En afgrænset funktion på $[ a , b ]$ er Riemann-integrerbar, hvis og kun hvis Lebesgue-målingen af sæt af dens diskontinuiteter er nul.

Dette ubetydelige sæt kan dog være utallige , hvad angår den karakteristiske funktion af Cantor-sættet , som derfor ikke er reguleret.

Antagelserne af ovenstående sætning om den ensartede grænse for en sekvens af integrerbare funktioner er svækket i følgende sætning, men for at opnå den samme konklusion er det nødvendigt at antage, at $f$ er integrerbar (hvorimod i det dominerede konvergens sætning for Lebesgue integreret , denne yderligere antagelse er ikke nødvendig).

Sætning 2 - Hvis $( f k )$ er en sekvens af integrerbare funktioner på $[ a , b ]$ , konvergerer man simpelthen til en funktion $f,$ og hvis alle $| f k |$ er afgrænset af den samme konstant, så konvergerer sekvensen af integraler . Hvis $f$ desuden er integrerbar, så er dens integritet grænsen for $f$ $k$ . $\ textstyle \ int f_ {k}$

Sammenligning med andre integrationsmetoder

Et andet aspekt af Riemann-integralet er, at det oprindeligt kun vedrører afgrænsede funktioner over et afgrænset interval. En anden definition er nødvendig, hvis en af disse betingelser ikke er verificeret: se Forkert integreret . Inden for rammerne af integration i Lebesgue-forstand er der kun en definition og er for eksempel en Lebesgue-integral i streng forstand, mens den som en Riemann-integral er en upassende integral. Det samme for . Imidlertid er integraler i Lebesgue-forstand altid automatisk absolut sammenfaldende. Integralet er således hverken en Riemann-integral i den rette forstand eller en Lebesgue-integral, men det er en generaliseret Riemann (eller Lebesgue) -integral, og dens værdi er $π / 2$ . Ved at betegne positive rationelle med summen af og indikatorfunktionen ser vi, at der gives et eksempel på en generaliseret Lebesgue-integral, der ikke eksisterer som en Riemann-integral. Dens værdi er stadig $π / 2$ . En mere generel og mere tilfredsstillende integrationsproces opnås, især med hensyn til overgangen til grænsen, ved at introducere Lebesgue-integralen eller Kurzweil-Henstocks . $\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {{- x}} \, {\ mathrm d} x$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac 1 {{\ sqrt x}}} \, {\ mathrm d} x$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} {\ frac {\ sin (x)} x} \, {\ mathrm d} x$ $f (x)$ ${\ frac {\ sin (x)} x}$ $\ textstyle \ int _ {0} ^ {{+ \ infty}} f (x) \, {\ mathrm d} x$

En vigtig forskel mellem Riemann-integralen og Lebesgue-integralen er, at i sidstnævnte erstatter vi de trinvise funktioner med de trinvise funktioner, som er endelige lineære kombinationer af funktioner, der indikerer sæt, der ikke nødvendigvis er intervaller. Intervallets længde erstattes af målingen af helheden.

Noter og referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Riemann integral " ( se listen over forfattere ) .

Riemann-integralet blev introduceret i Bernard Riemanns artikel “ Über die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe ” (Om en funktions repræsentabilitet ved en trigonometrisk serie ). Riemann præsenterede dette arbejde for universitetet i Göttingen i 1854 som en kvalificerende afhandling . Det blev offentliggjort i 1868 i Proceedings of the Royal Science Society of Göttingen , vol. 13, s. 87-132, forhåndsvisning på Google Bøger . For Riemanns definition af hans integral, se afsnit 4, “ Über der Begriff eines bestimmten Integrals und den Umfang seiner Gültigkeit ” (Om begrebet en bestemt integral og dens gyldighedsdomæne), s. 101-103.
Jean-Pierre Ramis , André Warusfel et al. , All-in-one Mathematics for License 2 , Dunod ,2014, 2 nd ed. ( læs online ) , s. 553, definition 3.
Noter fra et DEUG-kursus ved universitetet i Lille, der gengiver Riemanns tekst.
G. Darboux, " Memoir om diskontinuerlige funktioner ", i Ann. Sci. ENS , bind. 4, 1875, s. 57-112.
Ramis, Warusfel et al. 2014 , s. 562 (prop. 20).
Ramis, Warusfel et al. 2014 , s. 553 (prop. 7).
Ramis, Warusfel et al. 2014 , s. 562 (prop. 19).
Ramis, Warusfel et al. 2014 , s. 601 (prop. 85).
Henri-Léon Lebesgue, " Lektioner om integration og søgen efter primitive løsninger " , på gallica.bnf.fr ,1904, s. 29
Denne " patologisk " eksempel er generaliseret: enhver sæt F σ (det vil sige en hvilken som helst forening af en serie af lukket ) af $[ a , b ]$ er det sæt af punkter af diskontinuitet af en bestemt afgrænset kort over $[ a , b ]$ i ℝ.
Jean-François Burnol, " Den dominerede konvergenssætning for Riemann-integrerbare funktioner " ,november 2009.

Relaterede artikler