Komplet Stieltjes

Den integralet af Stieltjes er en generalisering af fuld almindelige, eller Riemann integral . Lad os betragte to funktioner, der faktisk er afgrænset $f$ og $g$ defineret i et lukket interval $[ a , b ]$ og en underopdeling $a = x 0 < x 1 < x 2 <... < x n = b$ af dette interval. Hvis Riemann-summen

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) },}

med $ξ i \in [ x i -1 , x i ]$ , har tendens til en grænse $S,$ når det $maksimale$ trin $($ $x$ $i$ $-$ $x$ $i$ $- 1$ $)$ har tendens til 0, så kaldes $S$ Stieltjes-integralet (eller undertiden Riemann-Stieltjes integreret ) af funktionen $f$ med hensyn til $g$ . Vi bemærker det

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g (x)}

eller simpelthen $\int b a f d g$ .

Ejendomme

Hvis funktionerne $f$ og $g$ har et punkt for diskontinuitet til fælles, eksisterer integralet ikke.

Men hvis $f$ er kontinuerlig og $g har$ begrænset variation , er denne integral veldefineret. Det er også sådan, hvis $f$ kun er Riemann-integrerbar, men $g$ er absolut kontinuerlig , og det falder derefter sammen med integralet af $fg '$ i betydningen Lebesgue (eller af Riemann, hvis $g' desuden$ er Riemann-integrerbar):

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} g \, \! (x) = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g '( x) \, \ mathrm {d} x.}

Desuden er $f$ og $g$ under disse tilstrækkelige eksistensbetingelser udskiftelige. Ja :

Delvis integrationssætning - Hvis en af de to Stieltjes-integraler eller findes, er den anden også, og deres sum er lig med ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f \, \ mathrm {d} g}$ ${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g \, \ mathrm {d} f}$ ${\ displaystyle \ left [fg \ right] _ {a} ^ {b}: = f (b) g (b) -f (a) g (a).}$

Demonstration

Antag for eksempel, at det andet eksisterer. Ved at tilføje punkterne og til den "markerede underopdeling" ovenfor finder vi: ${\ displaystyle \ xi _ {n + 1} = b}$ ${\ displaystyle \ xi _ {0} = a}$ ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ xi _ {i}) {\ bigl (} g (x_ {i}) - g (x_ {i-1}) {\ bigr) } = f (b) g (b) -f (a) g (a) + \ sum _ {i = 0} ^ {n} {\ bigl (} f (\ xi _ {i}) - f (\ xi _ {i + 1}) {\ bigr)} g (x_ {i}).}$ Vi konkluderer at bruge det $maksimale ( ξ j - ξ j - 1 ) \leq 2 max ( x i - x i - 1 )$ .

Formler for middelværdien - Hvis $f$ er kontinuerlig over $[ a , b ]$ og hvis $g$ er monoton , eksisterer der en reel $c$ af $[ a , b ]$ sådan at

Første formel :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f ~ \ mathrm {d} g = f (c) {\ bigl (} g (b) -g (a) {\ bigr)}.}

Anden formel :

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g ~ \ mathrm {d} f = g (a) \ int _ {a} ^ {c} \ mathrm {d} f + g (b) \ int _ {c} ^ {b} \ mathrm {d} f.}

Den første formel demonstreres som i det tilfælde, hvor $g$ kontinuerligt differentieres . Det andet udledes heraf takket være integrationen af delteorem. En følge af denne anden formel er: hvis $h$ er integrerbart på $[ a , b ]$ og hvis $g$ er monoton, findes der en $c \in [ a , b ]$ sådan at

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} g (x) h (x) ~ \ mathrm {d} x = g (a) \ int _ {a} ^ {c} h (x) ~ \ mathrm {d} x + g (b) \ int _ {c} ^ {b} h (x) \ mathrm {d} x.}

Hvis $g$ er ikke kun monoton, men mindre og mindre positiv, kan vi gøre det nul i $B$ før du anvender denne naturlig følge det (dette ændrer ikke værdien af $\int b a g ( x ) h ( x ) d x$ ).

Noter og referencer

(i) Einar Hille og Ralph S. Phillips (i) , Funktionel analyse og Semi-grupper , vol. 1, AMS ,1996( 1 st ed. 1957) ( læst linje ) , s. 62.
(i) Jie Xiao, Integral og Funktionel analyse , Nova Science Publishers ,2008, 287 s. ( ISBN 978-1-60021-784-5 , læs online ) , s. 54.
(i) Hugh L. Montgomery og RC Vaughan , Multiplicative talteori I: Klassisk Teori , Cambridge (UK), CUP,2007, 552 s. ( ISBN 978-0-521-84903-6 , læs online ) , “Appendiks A: The Riemann - Stieltjes integral” , s. 486.
(i) Norman B. Haaser og Joseph A. Sullivan, Reel analyse , Dover ,1991( læs online ) , s. 255.
Hille og Phillips 1996 , s. 63.
Xiao 2008 , s. 60.

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) H. Jeffreys og BS Jeffreys, Metoder til matematisk fysik , CUP ,1988, 3 e ed. , 718 s. ( ISBN 978-0-521-66402-8 , læs online ) , kap. 1, §10 (“Integration: Riemann, Stieltjes”) , s. 26-36
(en) H. Kestelman, Riemann-Stieltjes Integration , Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications , 1960, kap. 11, s. 247-269