Jean-Robert Argand

Jean-Robert Argand Biografi

Fødsel	18. juli 1768 Genève
Død	13. august 1822(kl. 54) Paris
Nationalitet	Genève , derefter schweizisk fra 1815
Aktivitet	Matematiker

Andre oplysninger

Områder	Kompleks nummer , printer-boghandler ( d ) , politiker

Jean-Robert Argand , født den18. juli 1768i Genève og døde den13. august 1822i Paris, er en schweizisk (amatør) matematiker .

Biografi

I 1806 , mens han kørte en boghandel i Paris, offentliggjorde han en geometrisk fortolkning af komplekse tal som punkter i planet, der matchede tallet (hvor i er en af de to kvadratrødder til –1, den anden er - i) det unikke punkt af koordinater ( a , b ) ( isomorfisme ). Af denne grund kaldes flyet, set som et sæt komplekse tal, undertiden Argand-planet . Argand er også kendt for et strengt bevis på d'Alembert-Gauss sætning , offentliggjort i 1814. ${\ displaystyle \, a + ib}$

Komplekserne ifølge Argand

I sin afhandling Essay på en måde at repræsentere imaginære mængder af geometriske konstruktioner , Argand begynder ved at associere med hver positivt tal en en vandret linje KA , orienteret til højre og med længden a . Derefter bemærker han, at han kan knytte til hvert negativt tal - b en vandret linje KB ' , orienteret til venstre og længde b . Summen består i at sætte linjer fra ende til anden. Driften af produktet og kvadratroden består i at arbejde med proportionaliteterne :

( a , b ) er proportional med ( c , d ) hvis forholdene a / b og c / d er identiske (samme absolutte værdi og samme tegn)

Produktet af a ved b bliver derfor tallet ab således, at (1, a ) og ( b , ab ) er proportionale. Den geometriske konstruktion af en proportional fjerdedel har været kendt i lang tid. Så Argand ved, hvordan man konstruerer linjen :

{\ displaystyle {\ overline {KC}} = {\ overline {KA}} \ times {\ overline {KB}}}

Kvadratroden af x (positiv) er tallet y (positivt), således at (1, y ) og ( y , x ) er proportionale. Denne konstruktion er også mulig (se konstruktionsnummer ). Hvis KA er forbundet med 1, KP associeret med y og KM forbundet med x , vil vi sige, at:

KM er for KP hvad KP er for KA .

Vi opnår:

{\ displaystyle {\ frac {KM} {KP}} = {\ frac {KP} {KA}}}

eller:

{\ displaystyle {\ overline {KM}} = {\ overline {KP}} \ times {\ overline {KP}}.}

Det næste problem er at konstruere kvadratroden af –1. Hvis KC er nummeret tilknyttet –1, er det et spørgsmål om at finde en linje KB sådan

KB er for KA hvad KC er for KB .

Dette kan ikke opnås ved at forblive til højre. Argand forlader derfor linjen og siger, at KB er for KA, hvad KC er for KB, når længdeforholdene er ens, og vinklerne AKB og BKC er ens .

Dette placerer punkt B lodret til punkt K i en afstand af 1. Linje KB repræsenterer derefter imaginær $i$ (bemærket på det tidspunkt $\sqrt -1$ ).

Derefter opretter han på sættet af "rettet linjer" en tilføjelse (som svarer til det, der i dag kaldes Chasles-forholdet ) og et produkt.

Produktet :

{\ displaystyle {\ overline {KM}} \ times {\ overline {KN}}}

er linjen KP sådan, at KP er at KN hvad KM er for KA .

Med den definition af proportionalitet, det giver i planen, betyder det, at

${\ displaystyle {\ frac {KP} {KN}} = {\ frac {KM} {KA}}}$ ;
vinklerne NKP og AKM er ens.

Derefter viser han, at et produkt med rettede linjer svarer til produktet af længderne og summen af vinklerne.

Derefter forbinder den sig med hvert kompleks, en rettet linje og viser korrespondancen mellem operationerne. Hver rettet linje har derfor to mulige repræsentationer:

ved dets kartesiske koordinater ( a , b ), der henviser til komplekset $a + i b$ ,
ved dets polære koordinater : længden af linjen og retning (eller vinkel) af linjen.

Hvis komplekset er $a + i b$ , er længden af linjen $\sqrt a 2 + b 2$ , længde, som Argand kalder modulets modul, fordi det er den enhed, hvormed det skal deles for at finde sin retning .

Ved at tilbyde denne repræsentation af komplekser i geometrisk form er Argands mål todelt:

at bevise virkeligheden af de komplekser, som folk i tiden stadig betragter som imaginære og som en simpel kunstgenstand for beregning;
give et geometrisk værktøj, der i høj grad kan forenkle løsningen af algebraiske problemer.

Det giver endda et bevis på den grundlæggende sætning af algebra (ufuldstændig) takket være dette værktøj.

Konsekvenserne af hans essay

Udgivet i 1806, udgivet af en berømt fremmed, faldt dette essay hurtigt i glemmebogen. Argand havde sendt en kopi til Legendre til kritik, men sidstnævnte havde ikke reageret, undtagen i et brev sendt til François Français . Dette brev blev fundet af Jacques Frédéric Français , bror til den forrige, professor ved Imperial School of Artillery and Engineering, der udviklede det samme koncept, tilføjede en udnyttelig notation til det og gjorde det til en artikel i Gergonne's Annals of Mathematics. I 1813 Han erkender, at ideen ikke er hans egen og søger forfatteren. Det følger derefter en korrespondance mellem de to mænd, hvor Argand forgæves søger at give en algebraisk repræsentation af rummet i dimension tre.

Imidlertid kolliderer denne geometriske opfattelse af et algebraisk værktøj med den logiske sans for visse datidens matematikere, der kun ser det som en beregningsgenstand. I mellemtiden udvikler andre matematikere uafhængigt den samme idé. Det var først, da Gauss og især Cauchy greb denne idé, at denne opfattelse erhvervede sine adelsbreve og blev et springbræt, der tillod Hamilton at skabe sine kvaternioner .

Argand ulighed

Argand arbejdede på algebraens grundlæggende sætning ved at tage d'Alemberts (ufuldstændige) bevis op uden at være i stand til at give et komplet bevis. Hans ræsonnement er baseret på en tilgang, der er inkorporeret i et resultat, undertiden kaldet Argand ulighed:

Sætning - Lad P være et ikke-konstant polynom med komplekse koefficienter . Så for ethvert kompleks c, der ikke er roden til P , findes der et komplekst c ' sådan, at

{\ displaystyle | P (c ') | <| P (c) |.}

Demonstration

Argands demonstration var geometrisk. Her er et moderne, algebraisk bevis.

Vi gennemgår følgende lemma: lad k være et ikke-nul-positivt heltal, og med b et ikke-nul-kompleks og R et polynom, der annullerer ved 0. Der eksisterer derefter et komplekst z, således at . ${\ displaystyle Q (z) = 1 + bz ^ {k} + z ^ {k} R (z)}$ ${\ displaystyle | Q (z) | <1}$

Lad os faktisk være et sådant kompleks . Vi har derefter: ${\ displaystyle br ^ {k} = - 1}$

{\ displaystyle \ forall t \ i [0,1] \ quad Q (rt) \ leqslant \ left | 1-t ^ {k} \ right | + \ left | r ^ {k} t ^ {k} R ( rt) \ højre | = 1-t ^ {k} + t ^ {k} \ venstre | r ^ {k} R (rt) \ højre |}

og ved kontinuitet af R eksisterer der t ∈] 0, 1] sådan at følgelig: ${\ displaystyle \ left | r ^ {k} R (rt) \ right | <1,}$

{\ displaystyle Q (rt) <1-t ^ {k} + t ^ {k} = 1.}

Det er derefter tilstrækkeligt at anvende lemmaet på polynomet

{\ displaystyle Q (z) = {\ frac {P (c + z)} {P (c)}}

for at få det ønskede resultat.

Arbejder

Essay om en måde at repræsentere imaginære størrelser i geometriske konstruktioner online og kommenteret på bibnum- webstedet.
Essay om en måde at repræsentere imaginære størrelser i geometriske konstruktioner , Gauthier-Villars, Paris, 1874 - Argands første tekst samt en række af hans meddelelser om emnet komplekser i Annales de Gergonne .

Noter og referencer

Dominique Flament, History of complex numbers , CNRS Éditions , s. 164 .
François-Joseph Servois (1768-1847).
Caspar Wessel , udgivet i 1799 men ikke bemærket.
Adrien-Quentin Buee i 1806 ( Memoir om imaginære mængder ).
John Warren (1796-1852) i 1828 i England ( afhandling om den geometriske repræsentation af kvadratrødderne af negative størrelser) .
Claude-Victor Mourey i 1828 i Frankrig ( Den virkelige teori om negative størrelser og angiveligt imaginære størrelser ).
Jean-Robert Argand, “ Matematisk filosofi. Refleksioner over den nye imaginære teori efterfulgt af en anvendelse til demonstration af en analysesætning ”, Annales de Gergonne , bind. 5, 1814, s. 197-209.
Odile Kouteynikoff, " " Argandens demonstration af algebraens grundlæggende sætning " ", Bulletin de l ' APMEP , nr. 462, 2006, s. 122-137 .
Mere algebraisk ved at bemærke r k R ( rt ) = a 1 t + a 2 t 2 + ... + a m t m er det tilstrækkeligt at vælge t (∈] 0, 1]) strengt mindre end det inverse af summen (muligvis nul) af modulerne til en j .

eksterne links

Myndighedsposter :