Den logik er grundlaget for matematisk ræsonnement.
”Siden grækerne, der siger matematik, siger demonstration. "
- Nicolas Bourbaki , Elementer i matematik , i introduktion til sætteori
Den logik forklarer, hvordan en kendsgerning eller påstand kan opstå andre forhold, der allerede er optaget. En kæde af fakta, der siges at strømme fra hinanden kaldes en demonstration . Vi kan se, at beregning og demonstration er de to vigtigste aktiviteter i matematik. Her er vi interesserede i aktiviteten med at demonstrere. For at demonstrere noget skal du enten bruge et bestemt sprog (præsenteret i andre specialiserede Wikipedia-artikler, for eksempel i artiklen naturlig fradrag ) eller beholde fransk med et bestemt antal konventioner, der sigter mod at fjerne fejl og uklarheder. Logik er derfor i matematik praksis med strenghed eller nøjagtighed i tanke.
Så snart vi laver matematik, placerer vi os i en teori, hvor vi accepterer et bestemt antal grundlæggende fakta. I de følgende eksempler er de grundlæggende fakta de af teorien om reelle tal , hvor vi kender egenskaberne for addition, multiplikation, rækkefølge osv. Vi vil være interesserede i rækkefølgen af korrekt begrundelse, der kan gøres ud fra disse tilegnede grundlæggende fakta.
Lad os starte med at se på to fakta:
første kendsgerning : andet gjort : .Den anden kendsgerning følger af den første kendsgerning. Faktisk, hvis , kan vi erstatte med i udtrykket, og vi finder det . Så vi vil sige det
eller
Vi skriver også
hvis såeller
er tilstrækkelig tileller
er nødvendigt når .Alle disse formuleringer er konventioner, som matematikere har valgt at lægge strengere i deres ræsonnement. I det, vi lige har sagt, hvad der linkes til kaldes en implikation . Mere præcist kaldes påstanden om, at denne implikation er sand, et fradrag, et fradrag er et grundlæggende trin i en demonstration.
På den anden side kan vi sige
Nej, for med kan man også bekræfte det , faktisk (3 x 1) . For at kunne sige noget med bekræftelserne, og du er nødt til at kombinere dem for at danne en enkelt kendsgerning. Denne kendsgerning er en ny påstand:
eller .Den logiske operation, der kombinerer to udsagn med en eller kaldes en disjunction . Bemærk, at der er færre sprogvariationer på disjunktion end på implikationer. Og teorien om kvadratiske ligninger fortæller os, at vi kan skrive:
involverer hvoreller
hvis så eller .Når vi skriver antyder, indser vi faktisk, at noget siges højere end . Ved at implicere mister vi information. Men ved at skrive eller svække bekræftelsen mister vi også information, men ikke på samme måde.
Hvordan kombinerer du to fakta ved at sige, at der ikke går nogen tabt information, når du går fra den ene til den anden eller fra den anden til den ene og siger, at de siger nøjagtigt det samme? På ovenstående fakta er der skrevet:
svarer til ellereller
hvis og kun hvis ellereller
er nødvendig og tilstrækkelig, så ellereller
er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for det eller .Denne kombination kaldes en ækvivalens . Som en ækvivalens går begge veje, kan vi også skrive:
eller svarer tileller
eller hvis og kun hviseller endda
eller iff, som er en forkortet form af den foregående osv.Indtil videre har vi talt om fakta eller udsagn . I logikken bruger man i dette tilfælde navnet på propositionen . Så er et forslag. Vi kan endda give forslagene navne, der er bogstaver, for eksempel kan vi skrive antyder . Vi kan derfor se, at det antyder, at det fungerer som i aritmetik. Man kan således også "beregne" på propositionerne, man taler desuden om beregning af propositionerne, når man taler om denne måde at beregne på. Men i modsætning til aritmetik, hvor vi siger, at det er en operatør, siger vi, at det betyder, at det er et stik . Det er mere et spørgsmål om vane blandt logikere end virkelig et andet koncept. Vi har set tre stik:
I aritmetik skriver man ikke mere , men godt . Ved beregning af propositioner bruger vi notationer som for konnektorerne, og vi skriver
men vi bruger disse notationer meget lidt i denne artikel.
Vi kan ikke sige, at indebærer . På den anden side kan vi sige, at hvis er værd så ikke er værd : for at vi skal være i stand til at sige, at vi ikke har . For at gøre dette introducerer vi et stik, der ligner enigt i aritmetik, det, der erstatter med . Dette stik kaldes negation og bemærkes som nr . Vi kan derfor skrive:
antyder nejeller
hvis så ikke .Den formelle notering af nej er . Vi skriver i stedet for nej . Men meget ofte en endnu mere fortættet skriftligt vil blive anvendt, nemlig .
Vi har set, at vi ikke kan sige det
indebærer ,på den anden side kan vi forstærke det første forslag (det, der er til venstre for det antydede ) ved at sige, at vi leder efter dem, der er større end . Med andre ord vil vi føje betingelsen til . Til det skaber vi propositionen:
og .Vi introducerede en ny konnektor har og og takket være ham, at vi kan konstatere:
og involverer .Der begynder vi at se et lille problem. I det foregående forslag mente vi, at vi havde på den ene side
Og på den anden side
involvereteller mente vi det
oginvolveret
?Dette er den anden hensigt, vi havde i tankerne. For at undgå enhver tvetydighed bruger vi parenteser og skriver:
( og ) antyder .Den og er formelt noteret . Så ovenstående forslag kan skrives:
.Antag at vi ikke mener proposition A set ovenfor:
for eller for udtrykket annulleresmen et andet forslag:
der er et naturligt tal et eller andet sted (det vil sige et ) som dette udtryk forsvinder for .Vi skriver:
Der er sådan, at ." Der er " kaldes en kvantifier .
Takket være denne nye logiske konstruktion, fordi vi ved, at annullerer , kan vi skrive et forslag, der siger, at der er et naturligt tal, der annullerer :
Hvis jeg nu overvejer udtrykket , kan jeg ikke bekræfte, at der er en, der annullerer det. Men på den anden side kan jeg sige, at for alle naturlige tal annullerer det ikke. Jeg skriver så
" For alt " er også en kvantificeringsenhed . Vi kan også skrive: Uanset hvad , . Og igen: ∀ , i formuleringen, der ikke ønsker at blande fransk med det matematiske sprog.
For at kunne resonnere har vi brug for nogle regler. For eksempel er der regler om implikation, som logikerne har givet navne.
Så vi kan sige, at hvis vi har, og hvis vi har involverer, så har vi det . Dette betyder, at hvis vi sigter mod at demonstrere , vil vi være i stand til at give os selv to delmål (to mellemliggende mål): at demonstrere og demonstrere implicerer , kun da vil vi være i stand til at bruge ovenstående regel til at demonstrere . Som i det andet delmål havde vi en implikation, og at der i det endelige mål ikke er mere implikation. Denne regel kaldes modus ponens .
For eksempel antage, vi har vist, at og da vi har indebærer , kan vi udlede, at .
Som vi lige har set, skal vi have midlerne til at demonstrere konsekvenserne. Vi bruger til det en regel, der "introducerer" en implikation. Det fungerer som følger. Sig, at vi ønskede at demonstrere involverer . Vi føjer til vores accepterede antagelser og prøver at demonstrere . Hvis vi har succes, kan vi hævde involverer, og vi kan bruge det bagefter.
Der er regler for andre stik som eller eller og , men også for kvantificeringsanordninger.
Eksistensen af korrekt matematisk ræsonnement er en ting, men konstruktionen af en sådan korrekt ræsonnement er en anden. Spørgsmålet opstår derfor at give matematikere eller studerende metoder til at lave demonstrationer. Her er nogle heuristikker (værktøjer til at hjælpe med konstruktionen af ræsonnement), som matematikere skal hjælpe dem med at udvikle bevis. Nogle matematikere, såsom Henri Poincaré , George Pólya , Martin Gardner eller Terence Tao, har forsøgt at beskrive deres bøger og deres kollegers tilgang i bøger, som han ser det.
I induktion starter matematikeren fra eksperimentelle fund og generaliserer dem derefter ved at finde en "lov", der forener dem. For eksempel ser vi, at hvis vi tegner en trekant, hvor den ene af siderne er diameteren på en cirkel, og de tre hjørner af denne trekant falder sammen med cirkelens periferi, så er denne trekant retvinklet. Den induktion er en heuristisk , dvs., en metode, der hjælper til derefter bygge en streng matematisk ræsonnement; under ingen omstændigheder udgør det en matematisk demonstration.
I deduktionen starter vi med hypoteser, og vi prøver at opbygge logiske sekvenser for at føre til bevis for sætningen. Denne tilgang kan føre til et punkt, hvor der ikke længere skal foretages noget nyt fradrag, uden at en demonstration er nået (blindgyde). Det kræver at gå tilbage for at tage en anden rute (dvs. et andet fradrag). Denne rent deduktive tilgang kan være dyr, fordi antallet af veje, der skal undersøges, er ekstremt stort. Det kan være interessant at have en endnu intuitiv og ufuldstændig idé om den "rigtige" retning og at "måle" hvor tæt vi er på løsningen (se Backtrack ). Fradraget skal derfor kombineres med andre heuristikker.
Vi leder efter en demonstration ved at opdele problemet i en sag.
Eksempel : Har vi, for alle naturligetal,selv?
Forslaget er: " er lige for alle naturlige tal n"
Heuristikken er: ”vi resonnerer ved adskillelse af sager” .
Tilfælde 1: vi betragter lige eller med et naturligt tal.
hvilket er et lige antal.
Tilfælde 2: vi betragter ulige eller med et naturligt tal.
hvilket er et lige antal. For ethvert naturligt tal (lige eller ulige) har vi altså lige.
Hvis vi har et bevis for hver sag, har vi et bevis for det generelle problem.
Vi antager, at negationen af det, vi vil vise, så viser vi, at dette fører til en absurditet.
Et sted at viser, at A betyder B er vist, at nægtelse af B indebærer negation af A .
Ved en trinvis proces viser vi, at en egenskab er sand for alle heltal eller for enhver matematisk struktur, der ligner heltal.
Vi analyserer potentielle kandidatløsninger og fjerner blandt dem dem, der ikke er autentiske løsninger, i håb om at opnå en reel demonstration blandt de kandidater, der ikke er elimineret.
Ud over den formelle korrektion er matematikere enige om at bedømme visse beviser (af samme resultat) mere elegante end andre, ofte fordi de er kortere, men også ved opfindsomheden af de anvendte argumenter eller ved udseendet af skjulte forhold til andre resultater allerede kendt.