Antisymmetrisk matrix

I matematik og mere præcist i lineær algebra er en antisymmetrisk matrix en firkantet matrix modsat dens transponering .

Definition

En firkantet matrix A med koefficienter i en hvilken som helst ring siges at være antisymmetrisk, hvis dens transponering er lig med det modsatte, dvs. hvis den opfylder ligningen:

A ⊤ = - A

eller igen ved at skrive det med koefficienter i form A = ( a i, j ) , hvis:

for alle i og j , a j, i = - a i, j

Eksempler

Følgende matricer er antisymmetriske:

\ begin {pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \ end {pmatrix} \ qquad; \ qquad \ begin {pmatrix} 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -3 & 0 \ end {pmatrix}.

Det tilfælde, hvor matrixen har koefficienter i en ring med karakteristik 2, er meget speciel. I dette tilfælde er - A = A derfor A antisymmetrisk, hvis det er symmetrisk. I det følgende har koefficienterne i matrixen koefficienter i et kommutativt felt K med en karakteristik, der er forskellig fra 2 (typisk: feltet med reelle tal ).

De matricer af uendeligt rotationer er et eksempel på antisymmetriske matricer.

Ejendomme

Karakteriseringer

En matrix er antisymmetrisk, hvis og kun hvis den bilineære form, den repræsenterer, er antisymmetrisk, dvs. hvis (ved at bemærke elementerne i $K$ $n$ som søjlematricer ): $A \ i M_n (K)$ $\ forall x, y \ i K ^ n, y ^ \ mathsf {T} A x = -x ^ \ mathsf {T} A y.$
En ækvivalent egenskab ( K antages at have en karakteristik, der er forskellig fra 2) er, at denne form er vekslet , det vil sige: $\ forall x \ i K ^ n, x ^ \ mathsf {T} A x = 0.$

Demonstrationer

Den bilineære form forbundet med A er

f: K ^ n \ gange K ^ n \ til K, \ (x, y) \ mapsto x ^ \ mathsf {T} A y.

A er antisymmetrisk, hvis og kun hvis er:f{\ displaystyle f} $f$
- hvis så for alle $x$ , $y$ , da en matrix af størrelse 1 er lig med dens transponering, har vi: $A ^ \ mathsf {T} = - A$ $f (y, x) = y ^ \ mathsf {T} A x = \ left (y ^ \ mathsf {T} A x \ right) ^ \ mathsf {T} = x ^ \ mathsf {T} A ^ \ mathsf {T} y = -x ^ \ mathsf {T} A y = -f (x, y),$
- og omvendt, hvis det er antisymmetrisk, betegner det med elementet bestående af en 1 i j -position og 0 andetsteds: $f$ $e_ {j}$ $K ^ {n}$ $a _ {{j, i}} = f (e_ {j}, e_ {i}) = - f (e_ {i}, e_ {j}) = - a _ {{i, j}}.$
f{\ displaystyle f} $f$ er antisymmetrisk, hvis og kun hvis det skiftes: lad os gengive det generelle bevis, der er givet i artiklen multilinær ansøgning .
- Hvis er alterneret, er det antisymmetrisk, fordi $f$ $f (x, y) + f (y, x) = f (x + y, x + y) -f (x, x) -f (y, y) = 0 + 0-0 = 0$ eller igen, matricially: $a _ {{i, j}} + a _ {{j, i}} = f (e_ {i}, e_ {j}) + f (e_ {j}, e_ {i}) = f (e_ { i} + e_ {j}, e_ {i} + e_ {j}) - f (e_ {i}, e_ {i}) - f (e_ {j}, e_ {j}) = 0.$
- Det omvendte er sandt under antagelsen om karakteristik, der adskiller sig fra 2, for hvis er antisymmetrisk, så $f$ $\ forall x \ i K ^ {n}, \ f (x, x) = - f (x, x) \ Rightarrow f (x, x) = 0.$

Elementære egenskaber

Alle indtastninger af den primære diagonal af en antisymmetrisk matrix har nul : det er faktisk nødvendigt, at en i, i = - a i, i og i K , det eneste tal, der svarer til dens modsatte, er 0; således er sporet af en antisymmetrisk matrix nul.
Determinanten for en antisymmetrisk matrix af størrelse n er nul, hvis n er ulige (fordi det er lig med dets produkt med (-1) n ) og er kvadratet for pfaffianen, hvis n er jævn.
Summen af alle dens koefficienter er nul.

Pladser til antisymmetriske matricer

Rummet for symmetriske matricer og det for antisymmetriske matricer er yderligere i rummet af firkantede matricer. Faktisk nedbrydes enhver firkantet matrix på en unik måde som følger: $A = \ frac {A + A ^ \ mathsf {T}} 2+ \ frac {AA ^ \ mathsf {T}} 2.$
Når koefficienterne er realernes, er disse to rum endog ortogonale, hvis vi giver pladsen de firkantede matricer med det kanoniske skalarprodukt , hvis udtryk er nøjagtigt: $(A, B) \ mapsto Tr (A ^ \ mathsf {T} ~ B).$
De antisymmetriske matricer af typen ( n , n ) danner et vektorrum med dimension n (n-1) / 2. Det kanoniske grundlag er familien af matricer, som omfatter 1 i i- række og j- kolonne og -1 i j- række og i- kolonne. $\ left (A _ {{ij}} \ right) _ {{1 \ leq i <j \ leq n}}$ $A_ {ij}$
I virkeligheden er dette vektorrum tangentområdet til den ortogonale gruppe O ( n ). I denne forstand kan vi assimilere antisymmetriske matricer til " uendelige rotationer ".

Diagonalisering og nedbrydning

Enhver reel antisymmetrisk matrix kan diagonaliseres på kompleksfeltet, og dens egenværdier er rene imaginære . Faktisk, hvis A er reel antisymmetric, $jeg$ A er hermitisk , det vil sige selv FORENEDE .

Faktisk danner de antisymmetriske matricer af typen ( n , n ) en Lie-algebra ved hjælp af Lie-krogen $[A, B] = AB - BA$ og det er Lie-algebra forbundet med Lie-gruppen O ( n ).

En matrix G er ortogonal og har en determinant lig med 1, dvs. er et element i den tilsluttede komponent i den ortogonale gruppe, hvor enhedsmatricen findes, hvis og kun hvis der findes en antisymmetrisk matrix A sådan, at: $G = \ exp (A) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {\ frac {A ^ {n}} {n!}}$ (se artiklen “ Matrix eksponentiel ”).

Antisymmetrisk matrix forbundet med en vektor

Et eksempel på en 3 × 3 antisymmetrisk matrix er matricen associeret med vinkelhastighedsvektoren (af størrelse 3x1): ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t)}$ $\ omega (t)$

{\ displaystyle {\ dot {r}} (t) = \ omega (t) \ wedge r (t) = \ mathbf {\ Omega} (t) \; r (t)}

hvor den antisymmetriske matrix har formen: ${\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t)}$

{\ displaystyle \ mathbf {\ Omega} (t) = {\ begin {pmatrix} 0 & - \ omega _ {z} & \ omega _ {y} \\\ omega _ {z} & 0 & - \ omega _ {x} \\ - \ omega _ {y} & \ omega _ {x} & 0 \ end {pmatrix}}.}

Noter og referencer

Forholdet mellem rotationsmatrix og vinkelhastighed .