Ekstremum

Udtrykket " ekstremumelement (plural ekstrema )" betyder "maksimalt element" eller "minimumselement". I matematik svarer det maksimalt minimale udtryk , introduceret af Nicolas de Cues , fra Fermat og Leibniz til yderpunkterne i en kurve eller en funktion, identificeret ved det faktum, at derivaterne forsvinder der.

I et ordnet sæt E , et element af del A er den største element eller et maksimum af A , om det tilhører A og er bedre end noget andet element i A . Eksistensen af ​​et maksimum er generelt ikke garanteret for nogen del af et bestilt sæt. På den anden side, under eksistensbetingelser, er et sådant element unikt (hvilket retfærdiggør brugen af ​​den bestemte artikel "den" i definitionen). Tilsvarende mindste element eller minimum er, hvis der er et element af A mindre end noget andet element af A .

Generel

Enestående

Hvis en del A af E indrømmer to maksima, m 1 og m 2 , er m 1 større end ethvert element i A , derfor især end m 2  ; og ligeledes er m 2 større end m 1 . Ved antisymmetry af ordens forbindelser , de lighed m 1 = m 2 afledes fra det.

Sammenligning med andre forestillinger

Andre forestillinger om bestilte sæt er tæt på de maksimale; ved at sammenligne dem kan du bedre forstå dem:

• Begrebet øvre og nedre grænse  : hvis det findes, er et element af E en øvre grænse for A, hvis det er større end ethvert element i A  ; hvis det findes, er et element af E en nedre grænse for A, hvis det er mindre end ethvert element af A  ; ekstremummet (maksimum og minimum), der findes i et sæt E, er således (henholdsvis) en del af den øvre og nedre grænse af E i sig selv.
• Begrebet bundet ( øvre grænse , også kaldet supremum eller nedre grænse , også kaldet infimum ): hvis den findes, er den øvre grænse for A den mindste af alle den øvre grænse for A i E (den øvre grænse for A er derfor defineret som minimumet af en bestemt del af E og dens entydighed er garanteret, men ikke dens eksistens). A indrømmer et maksimum, hvis og kun hvis dets øvre grænse eksisterer og tilhører A (og i dette tilfælde er det lig med det maksimale); og omvendt for den nedre grænse.
• Begrebet ekstremt element ( maksimalt element eller minimalt element ) kaldes også inkluderende bundet: et element af E er maksimalt i A , hvis det hører til A og ikke er ringere end noget andet element i A  ; et element E er minimal i A , hvis det tilhører A , og er overlegen i forhold til noget andet element af A .

Hvis de findes, er ekstremrummet (maksimum eller minimum) for et sæt E altid ekstreme elementer (inklusive grænser: maksimalt element eller minimalt element) af E i sig selv; begreberne extremum (maksimum og minimum) og ekstrem element (et maksimumselement eller et minimumselement) falder sammen i de sæt, der er forsynet med en samlet rækkefølge  ; når E er endelig, er der ækvivalens mellem eksistensen af ​​et enkelt ekstremt element (inklusive bundet: maksimumselement eller minimalt element) og eksistensen af ​​et ekstremum (maksimum eller minimum, hver nødvendigvis unik med en ordretotal over et endeligt sæt ).

Kontrol

• Et element m af E er det maksimale af A, hvis og kun hvis m er den øvre grænse for A og m hører til A  : hvis A har et maksimalt m, så er i E , den øvre grænse for A nøjagtigt den øvre grænse for m og m er den mindste af dem, så dette er den øvre grænse for A . Omvendt, hvis øvre grænse for A eksisterer og hører A , så der er en øvre grænse for A hører til A , så dette er den maksimale A .
• Maksimumet, hvis det eksisterer, er maksimalt  : hvis A har et maksimalt m, så er ethvert element a af A , m majors a (ved antisymmetri af ordrerelationen) ikke strengt mindre end det, hvilket viser, at m er maksimum i brønd A .
• Hvis ordren er total, er ethvert maksimumselement maksimalt  : vi antager nu, at E har en samlet ordre. Enten har en maksimal element i A . Eller b andet element i A . Så er a ikke mindre end b , da ordren er total, er b mindre end a . Så en er større end eller lig med ethvert element i A , så dette er den maksimale A .

Men dette er ikke nødvendigvis tilfældet i et tomt eller uendeligt sæt eller tilfældet med en ikke-total ordre (hvor to elementer kan bestilles på samme måde med de andre og indbyrdes imellem dem, og kan derfor hver være ekstreme elementer. Men alligevel tydelig). For eksempel er sættet med kun tre heltal {0, 1, 2} forsynet med den delvise rækkefølge, der ikke sammenligner deres værdi, men deres paritet (den resterende del af deres euklidiske division med 2) er ikke fuldstændigt ordnet, fordi elementerne 0 og 2 har det samme paritet 0 (elementerne 0 og 2 er minimumsværdier for denne delbestilling, men de er forskellige: dette bestilte sæt har derfor intet minimum, men det har et maksimum med element 1). I delsættet {0, 2} med samme rækkefølge er der hverken minimum eller maksimum, men der findes minimumsværdier (såvel som maksimale værdier) og danner det samme sæt af to elementer.

Når det bestilte sæt er en singleton , er dets unikke element både det maksimale og det mindste. I det degenererede tilfælde, hvor det ordnede sæt er tomt, er der ingen ekstremum eller nogen ekstrem værdi, og ethvert element i ethvert sæt (således inklusive det tomme sæt som en del) er på samme tid en øvre grænse og en nedre grænse, og derfor også en bundet, hvis dette andet sæt er totalt bestilt.

Eksempler

I sæt N af naturlige heltal udstyret med sin sædvanlige rækkefølge, indrømmer enhver ikke-fri del et mindste element, og enhver forøget del (det vil sige at indrømme en øvre grænse) er endelig, derfor indrømmer endda et maksimum. For eksempel har N i sig selv et minimum på 0 og har ikke et maksimum.

I sættet R af reelle tal, der leveres med sin sædvanlige rækkefølge, tillader visse forøgede dele ikke et større element, for eksempel intervallet ] 0, 1 [tal strengt mellem 0 og 1.

I R kan minimums- og maksimumfunktionerne for et par udtrykkes ved hjælp af absolutte værdier  :

min(x,y)=x+y-|x-y|2,maks(x,y)=x+y+|x-y|2{\ displaystyle \ min {(x, y)} = {\ frac {x + y- | xy |} {2}}, \ quad \ max {(x, y)} = {\ frac {x + y + | xy |} {2}}}.

I et ordnet sæt, der er forsynet med en ikke-total ordre, tillader visse dele maksimale elementer, som ikke er maksimale.

For eksempel i sættet E = {∅, {0}, {1}, {0, 1}} af delene af sættet {0, 1}, sorteret efter inkludering, del A = {∅, {0} , {1}} indrømmer (et minimum og) to ikke-sammenlignelige maksimale elementer, så intet maksimum (kun en øvre grænse: {0, 1}, som ikke hører til A ).

Ekstrem af en funktion

Maksimumet for en funktion f defineret på et sæt E og med værdier i et ordnet sæt F er det maksimale af det sæt værdier, der er taget af f (af delen f ( E ) af F ). Således er m det maksimale f, hvis der findes et element a af E, således at f ( a ) = m og sådan, at for ethvert element x af E , f ( x ) ≤ f ( a ); elementet a (som ikke nødvendigvis er unikt) kaldes det maksimale punkt for f .

I det tilfælde, hvor startrummet for f er forsynet med en topologisk struktur (for eksempel hvis f er en funktion af en eller flere reelle variabler med reelle værdier), skelner man to typer ekstrema: det globale ekstrema, der svarer til det foregående definition og det lokale ekstrem.

Lokal ekstremitet af en funktion

Lad f være en funktion defineret på en topologisk rum E og har et punkt i E . De siger f nået med et lokalt maksimum, hvis der er et kvarter V af et sådant, at vi for hvert element x af V har f ( x ) ≤ f ( a ).

Vi siger derefter, at f ( a ) er et "lokalt maksimum" på f på E, og at a er et punkt med lokalt maksimum på f .

Når der er et kvarter V af en sådan, at for ethvert element x af V forskellig fra en , vi har f ( x ) < f ( a ), siger vi, at f når op i en en streng lokalt maksimum.

Når E er en del af en metrisk rum (for eksempel på en normeret vektorrum , ligesom R k ), kvarterer en kan i disse definitioner vælges lig med bolde . For eksempel: f opnås ved et lokalt maksimum, hvis der er en reel ε> 0 sådan, at for ethvert element x af E i afstand <ε for a , har vi f ( x ) ≤ f ( a ).

Lad være en funktion , hvor D er et topologisk rum. For eksempel D kan være en del af R (tilfælde af en funktion af en reel variabel), eller af et rum R k , med k en naturlig heltal (tilfælde af en funktion af k reelle variable). f:D→R{\ displaystyle f: D \ to \ mathbb {R}}

Eksistensen af ​​globale ekstremer sikres, så snart funktionen f er kontinuerlig, og delen D er kompakt  : billedet f ( D ) er faktisk en kompakt del af ankomstrummet R  ; som en afgrænset del af R indrømmer den en øvre grænse, og denne øvre grænse er i f ( D ), da denne del er lukket .

I dimension k = 1 er det især tilfældet, hvis jeg er et afgrænset lukket interval , dvs. af formen [ a , b ] (se grænsesætningen ). I højere dimension k , det er især tilfældet, hvis D er en lukket kugle (af formen , hvor betegner en norm på R k ). D=B(TIL,r)={x∈Rk∣‖x-TIL‖≤r}{\ displaystyle D = B (A, r) = \ {X \ i \ mathbb {R} ^ {k} \ mid \ | XA \ | \ leq r \}}‖ ‖{\ displaystyle \ | ~ \ |}

Metoder, der er resultatet af differentieret beregning til søgning efter lokalt ekstrema

Lad være en funktion , hvor U er en åben sæt af R k  ; for eksempel i tilfælde af en reel variabel kan U være et åbent interval af formen] a , b [(hvor a og b er reelle tal, eller , eller ). f:U→R{\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}Til=-∞{\ displaystyle a = - \ infty}b=+∞{\ displaystyle b = + \ infty}

Undersøgelsen af ​​ekstremet involverer ofte søgningen efter nulderne til derivatet , kaldet kritiske punkter (eller stationære punkter ) af f . Et kritisk punkt er ikke nødvendigvis et slutpunkt, som eksemplet på funktionen i punkt 0. viser, men under visse yderligere antagelser kan et kritisk punkt siges at være et slutpunkt. f:R→R,x↦x3{\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ til \ mathbb {R}, \, x \ mapsto x ^ {3}}

Tilfælde af en funktion af en variabel Nødvendig betingelse for en lokal ekstremum I tilfælde af en funktion, der kan differentieres f af en enkelt variabel, hvis f har en lokal ekstrem på et punkt af den åbne definition af f , er derivatet af f på dette punkt nul. Tilstrækkelig tilstand for en lokal ekstremum Hvis f kan differentieres på det åbne U, og hvis afledningen af f på et tidspunkt forsvinder ved at ændre tegn, når f en lokal ekstremum ved . Mere specifikt forudsat  : Til∈U{\ displaystyle a \ in U}Til{\ displaystyle a}f′(Til)=0{\ displaystyle f \, '(a) = 0}Hvis der er en sådan sådana>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Til-a,Til+a]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} og videre , på ,f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Til-a,Til]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Til,Til+a]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} derefter når f et lokalt maksimum i .Til{\ displaystyle a} Hvis der er en sådan sådana>0{\ displaystyle \ alpha> 0}[Til-a,Til+a]⊂U{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a + \ alpha] \ subset U} og videre , på ,f′≤0{\ displaystyle f \, '\ leq 0}[Til-a,Til]{\ displaystyle [a- \ alpha, \, a]}f′≥0{\ displaystyle f \, '\ geq 0}[Til,Til+a]{\ displaystyle [a, \, a + \ alpha]} derefter når f et lokalt minimum i .Til{\ displaystyle a} Tilfælde af en funktion af flere variabler Nødvendig betingelse for en lokal ekstremum Hvis funktionen f når en lokal ekstremum ved et punkt a af U, hvor den kan differentieres , forsvinder alle dens delvise derivater ved a . Tilstrækkelig tilstand for en lokal ekstremum Det antages, at f er dobbelt differentiabel i et punkt af U . Dens hessiske matrix i er optaget , det vil sige  ; ifølge Schwarz's sætning er denne matrix symmetrisk . Til{\ displaystyle a}Til{\ displaystyle a}∇2f(Til){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}∇2f(Til)jeg,j=∂2f∂xjeg∂xj(Til){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a) _ {i, j} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \, \ partial x_ {j}}} ( Til)}Hvis og hvis er defineret negativt , når f et strengt lokalt maksimum i .∇f(Til)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(Til){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Til{\ displaystyle a} Hvis og hvis er positivt bestemt , når f et strengt lokalt minimum i .∇f(Til)=0{\ displaystyle \ nabla f (a) = 0}∇2f(Til){\ displaystyle \ nabla ^ {2} f (a)}Til{\ displaystyle a} Tilfælde af en funktion af flere variabler med begrænsninger Optimeringsbetingelserne for disse problemer er præsenteret i "  Optimeringsbetingelser  ". <img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">