Hausdorff øjeblikke

I matematik er Hausdorff-øjebliksproblemet de nødvendige og tilstrækkelige betingelser for, at en sekvens ( m n ) af realer er sekvensen af øjeblikke

{\ displaystyle m_ {n} = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} \, d \ mu (x) \,}

af et Borel-mål på segmentet [0, 1]. $\ mu$

Problemets navn er forbundet med den tyske matematiker Felix Hausdorff .

I tilfældet m 0 = 1, svarer det til, at der foreligger en reel stokastisk variabel X i intervallet [0, 1], således at for alle n , den forventning af X n er lig med m n .

Dette problem svarer til problemet med Stieljes- øjeblikke, der er defineret i intervallet , det af Toeplitz på og det for Hamburger på, men i modsætning til disse er løsningen, hvis den findes, unik. ${\ displaystyle [0, \ infty [}$ ${\ displaystyle \ {t \ in \ mathbb {C} \ mid \ left | t \ right | = 1 \}}$ $\ mathbb {R}$

Det er blevet udvidet til to-dimensionelle rum og afkortede suiter.

Monotone serier

Hausdorff viste, at der findes en løsning, hvis og kun hvis sekvensen ( m n ) er fuldstændig monoton , dvs. hvis dens forskelle sekvenser tilfredsstiller $\ mu$

{\ displaystyle (-1) ^ {k} (\ Delta ^ {k} m) _ {n} \ geq 0}

for alle n , k ≥ 0, hvor Δ er den endelige differensoperator givet af

{\ displaystyle (\ Delta m) _ {n} = m_ {n + 1} -m_ {n}.}

En sådan betingelse er faktisk nødvendig

{\ displaystyle (-1) ^ {k} (\ Delta ^ {k} m) _ {n} = \ int _ {0} ^ {1} x ^ {n} (1-x) ^ {k} \ , \ mathrm {d} \ mu (x) \ geq 0}

for eksempel

{\ displaystyle \ Delta ^ {4} m_ {6} = m_ {6} -4m_ {7} + 6m_ {8} -4m_ {9} + m_ {10} = \ int x ^ {6} (1-x ) ^ {4} \, \ mathrm {d} \ mu (x) \ geq 0}

Det unikke kan udledes af Weierstrass 'tilnærmelses sætning : $\ mu$

Bevis for unikhed

Hvis to handlinger (positive) for at have de samme tidspunkter (færdig), deres forskel er en begrænset foranstaltning af forsvindende øjeblikke, så der for enhver polynomium , . Ved tæthed af polynomer i de kontinuerlige funktioner på (for den ensartede norm) følger det, at for hver kontinuerlig funktion kontinuerlig , med andre ord . $[a, b]$ $\ mu$ $P$ ${\ displaystyle \ int P \, \ mathrm {d} \ mu = 0}$ $[a, b]$ $f$ $[a, b]$ ${\ displaystyle \ int f \, \ mathrm {d} \ mu = 0}$ $\ mu = 0$

Afkortet suite

Tilnærmelsesproblemerne i fysik fører til brugen af afkortede sekvenser . I dette tilfælde, hvis vi definerer følgende Hankel-matricer ${\ displaystyle (m_ {0}, m_ {1}, ..., m_ {p})}$

{\ displaystyle A_ {k} = \ left (m _ {(i + j)} \ right) _ {i, j = 0} ^ {k} \ ,, \; \; \; B_ {k} = \ venstre (m _ {(i + j + 1)} \ højre) _ {i, j = 0} ^ {k} \ ,, \; \; \; C_ {k} = \ venstre (m _ {(i + j)} \ højre) _ {i, j = 1} ^ {k}}

den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for eksistens på er ${\ displaystyle \ left [a, b \ right]}$

til ${\ displaystyle p = 2k}$

{\ displaystyle A_ {k} \ geq 0 \ quad {\ text {and}} \ quad (a + b) \, B_ {k-1} \ geq a \, b \, A_ {k-1} + C_ {k}}

til ${\ displaystyle p = 2k + 1}$

{\ displaystyle b \, A_ {k} \ geq B_ {k} \ geq a \, A_ {k}.}

Referencer

(fr) Denne artikel er helt eller delvist hentet fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Hausdorff moment problem " ( se listen over forfattere ) .

(i) James Alexander Shohat og Jacob Tamarkin , Problemet med øjeblikke , AMS , al. "Matematiske undersøgelser og monografier" ( nr . 1),1943( ISBN 0-8218-1501-6 , læs online ).
(da) MG Kerin og AA Nudelman ( oversættelse fra russisk), The Markov Moment Problem and Extreme Problems , AMS, koll. “Oversæt. Matematik. Monografier "( nr . 50)1977Citeret af (i) Raul E. Curto og Lawrence A. Fialkow, " Rekursivitet, positivitet og afkortede tidsproblemer " , Houston Journal of Mathematics , bind. 17, nr . 4,1991( læs online ).
(de) F. Hausdorff , “ Summationsmethoden und Momentfolgen. I. ” , Mathematische Zeitschrift , bind. 9,1921, s. 74-109.
(de) F. Hausdorff, “ Summationsmethoden und Momentfolgen. II. » , Mathematische Zeitschrift , bind. 9,1921, s. 280-299.

Se også

Arbejder

(en) William Feller , En introduktion til sandsynlighedsteori og dens anvendelser , bind. 2, John Wiley & Sons ,1971
(da) Naum Akhiezer ( oversat fra russisk af N. Kemmer), The Classical Moment Problem og nogle relaterede spørgsmål i analyse , New York, Hafner Publishing,1965

Relateret artikel

Metode til øjeblikke (statistisk fysik)