I numerisk analyse er den endelige forskelmetode en almindelig teknik til at finde omtrentlige løsninger på partielle differentialligninger, der består i at løse et system af relationer (digitalt diagram), der forbinder værdierne for ukendte funktioner på bestemte punkter tilstrækkeligt tæt på hinanden. .
Denne metode ser ud til at være den enkleste at implementere, fordi den fortsætter i to faser: på den ene side diskretiseringen ved endelige forskelle mellem operatorerne for afledning / differentiering, på den anden side konvergensen af det numeriske diagram, der således opnås, når afstanden mellem point falder.
En diskretisering af de forskellige operatorer (første derivater, sekunder osv., Delvis eller ej) kan opnås ved hjælp af Taylor-formlerne .
Taylor-Young- formuleringen foretrækkes i sin enkle anvendelse, Taylor-formuleringen med Laplace-integreret rest gør det muligt at måle fejlene (jf. Nedenfor).
Ved et punkt x og for en værdi h af diskretiseringstrinet, således at u er tre gange differentierbar over intervallet [ x - h , x + h ] , fører Taylor-Young-formlen til to relationer:
hvor de to funktioner ε i ( x , h ) konvergerer til 0 med h . Derfor
svarer til to tilnærmelser af u ( x ) i 1 st orden h .
Ved at trække den foregående udvikling, hvilket svarer til at tage gennemsnittet af de to endelige forskelle anterior og posterior til u ( x ) , opnår vi
hvilket er en tilnærmelse af u ( x ) på 2 e rækkefølge h .
Decenterede tilnærmelser Opstrøms offsetVed et punkt x og for en værdi h af diskretiseringstrinet, således at u er tre gange differentierbar over intervallet [ x , x + 2 h ] , fører Taylor-Young-formlen til forholdet:
hvor funktionen konvergerer til 0 med h . Derfor
svarer til en tilnærmelse af u ( x ) i 1 st orden h .
Ved at gentage operationen for et downstream off-center, skriv at:
hvorfra
hvilket er en tilnærmelse u '' ( x ) på 2 e rækkefølge h .
Formler udvidet til på hinanden følgende ordrerVed at udvide stencilens størrelse er det muligt at bestemme endelige forskelle på højere ordrer ved lignende metoder (forøgelse af rækkefølgen i Taylors formel og bestemmelse af en passende lineær kombination for at annullere overflødige udtryk).
For eksempel ved et punkt x og for en værdi h af diskretiseringstrinet, således at u er fire gange differentierbar over intervallet [ x - 2 h , x + 2 h ] , ved udvidelse af Taylor-formlen, kan vi vise end fem punktdiagrammer
er tilnærmelser til det første og andet derivat af rækkefølge 4.
Udvidelse til multivariate funktioner Opstrøms offsetVed et punkt ( x , y ) og for en værdi h af diskretiseringstrinet (det samme i de to dimensioner), således at u ( x , y ) er 4 gange differentierbar på rektanglet [0, x + 2 h ] × [ 0, y + 2 h ] , vi kan skrive
hvilket er en tilnærmelse af Laplacian Δ u ( x , y ) af 2 e- rækkefølgen h (jf. ligning af Laplace og Poissons ligning ).
Centreret stencilVed et punkt ( x , y ) og for en værdi h af diskretiseringstrinet (det samme i de to dimensioner), således at u ( x , y ) er 4 gange differentierbar på rektanglet [ x - h , x + h ] × [ y - h , y + h ] , vi kan skrive
hvilket er en tilnærmelse af Laplacian Δ u ( x , y ) af 2 e- rækkefølgen h (jf. ligning af Laplace og Poissons ligning ).
Begrebet "ordre" nævnt ovenfor svarer til et koncept om lokal konvergens hos den diskretiserede operatør. Global konvergens af den diskrete løsning er et helt andet koncept, selvom der er et familieforhold mellem de to.
For den endelige forskelmetode er et maske et sæt isolerede punkter (kaldet noder ) placeret i domænet for definition af funktionerne underlagt de delvise differentialligninger, et gitter på de eneste noder, hvoraf de ukendte svarer til det omtrentlige værdier for disse funktioner.
Netværket inkluderer også noder placeret på markens kant (eller i det mindste "tæt" på denne kant) for at være i stand til at pålægge randbetingelserne og / eller den oprindelige tilstand med tilstrækkelig præcision.
A priori er den første kvalitet af et maske så godt som muligt at dække det felt, hvor det udvikler sig, for at begrænse afstanden mellem hver knude og dens nærmeste nabo. Imidlertid skal masken også gøre det muligt at udtrykke den diskrete formulering af operatørerne af differentiering: af denne grund er knudepunkterne i masken oftest placeret på et gitter, hvis hovedretninger er akserne for variablerne.
Man kalder trin af masken afstanden mellem to naboknuder placeret på en linje parallelt med en af akserne. I denne forstand er trinnet både en lokal og en retningsbestemt forestilling. Vi vil tale om global tonehøjde for at udpege den største lokale tonehøjde , en forestilling, der forbliver retningsbestemt.
Selvom en konstant tonehøjde ofte bevares (uden at udgøre et teoretisk problem for opløsningen), er det undertiden hensigtsmæssigt at indføre en variabel tonehøjde, der vælges finere i de områder, hvor den nøjagtige løsning lider under stærkere variationer: dette trick gør det muligt for at reducere antallet af ukendte uden at gå på kompromis med resultaterne. På den anden side er formuleringen lidt mere kompleks, fordi diskretiseringen af de forskellige operatører skal tage den i betragtning.
For en differentialligning, der vedrører en funktion af en variabel, hvis domæne (in ) er intervallet [0; 1] , er en konstant stigning gitter karakteriseret ved M + 1 knuder x i = ih , 0 ≤ i ≤ M med trin h = 1 / M . Dette maske inkluderer de to kantpunkter x 0 og x M, på hvilke mulige randbetingelser pålægges.
Overvej en delvis differentialligning om en funktion af to variabler (domæne ):
Et numerisk skema kan defineres som den algebraiske formulering af et diskret problem designet ved hjælp af den endelige forskel-metode. Processen inkluderer følgende trin:
Når det numeriske diagram er etableret, og at det diskrete problem er formuleret, er det ikke kun et spørgsmål om at løse det, men også om at sikre, at den diskrete løsning konvergerer mod den nøjagtige løsning, når trinnene i masken har en tendens til 0.
For visse såkaldte eksplicitte diagrammer er det muligt at bestille de ukendte på en sådan måde, at hver af dem kan bestemmes rekursivt ud fra de foregående, som formodes at være beregnet ( trekantet matrix ). For implicitte ordninger er det undertiden muligt at undgå at løse hele systemet med alle ligninger. Dette er især tilfældet for et system, der udvikler sig, hvis tilstand, der er karakteriseret ved rumlige variabler, er defineret af indledende betingelser (t = 0) og derefter udvikler sig gradvist over tid: det numeriske diagram forbliver eksplicit i variablen tidsmæssig, og dets implicitte karakter vedrører kun de rumlige variabler.
I alle tilfælde vedrører hver ligning i det digitale diagram kun et lille antal ukendte. I et lineært miljø fører denne egenskab til at formulere det diskrete problem ved hjælp af sparsomme matricer og udnytte det til at løse det ved hjælp af passende metoder . Denne fordel kan ikke benægtes, når maskestørrelsen overstiger rammerne for en didaktisk undersøgelse.
Opløsningen af numeriske diagrammer er generelt baseret på klassiske algebraiske metoder. Imidlertid kan andre ækvivalente formuleringer kræve optimeringsmetoder .
Overvej følgende problem:
Dette problem forbliver akademisk, for så vidt den nøjagtige løsning er kendt:
Med det eksplicitte Euler-skema af rækkefølge 1 anvendt på et regelmæssigt maskehøjde h = 1 / M , er de ukendte u n, der afspejler u ( nh ) , forbundet med forhold
Dette diagram fører til gentagelsesforholdet
hvis eksplicitte løsning er
En anden formulering opnået ved hjælp af diagrammet i rækkefølge 2 (undtagen ved noden n = 1, for hvilken man holder diagrammet i rækkefølge 1) giver
Som det første er dette andet diagram eksplicit .
Det er meget let at bestemme løsningerne på disse to diagrammer numerisk for at sammenligne dem med den nøjagtige løsning. Det synes legitimt at forvente bedre resultater med det andet diagram, da dets rækkefølge er højere end det første (det er muligt at vise, at de to digitale diagrammer er ensartede konvergerende):
Denne sammenligning viser tydeligt, at en god repræsentation af differentierne ikke er en tilstrækkelig betingelse for at opnå et godt numerisk diagram.
Den konvergens af et digitalt diagram er en global teoretisk egenskab sikrer, at forskellen (i henhold til en standard ) mellem den omtrentlige opløsning, og den nøjagtige løsning tenderer mod 0, når diskretisering trin tenderer mod 0 (eller når hvert af trinene globale associerede med de forskellige retninger tendens til 0).
Den omtrentlige løsning af et digitalt diagram forbliver ikke særlig troværdig, så længe dets konvergens ikke er vist. Dette bevis er utvivlsomt det mest sarte punkt i metoden med fine forskelle, under alle omstændigheder den, der kræver brug af analytiske værktøjer .
Det er ikke nok at kontrollere ved hjælp af konkrete numeriske eksempler, at opførelsen af den diskrete løsning er i overensstemmelse med forventningerne for at sikre konvergens. På den anden side kan sådanne eksempler være med til at bevise det modsatte.
Begrebsmæssigt manifesteres forskellene mellem tilnærmet løsning og nøjagtig løsning ved en kombination af to fænomener:
Disse begreber betragter ikke afrundingsfejl, som yderligere kan komplicere forhold, som vist i nedenstående figur, opnået med et konkret eksempel :
Standarden, for hvilken konvergens undersøges, skal forblive uafhængig af diskretiseringstrinnene. Det er dog almindeligt at bruge standarder relateret til Lp- mellemrum . For en funktion af en variabel:
I forbindelse med en evolutionær problem med første betingelse , Lax sætning strengt defineres begreberne konsistens og stabilitet , at den anden er en nødvendig og tilstrækkelig betingelse sikre konvergens .
I det sidste eksempel præsenteret ovenfor, hvor man samtidig kender den nøjagtige løsning og den omtrentlige løsning (diagram over Euler) , tilfredsstiller rapporten
som har tendens til 0 når tendens til 0, dette ensartet til
Tender således ensartet mod 0, hvilket beviser konvergensen af dette Euler-skema i normen