I (kommutativ) feltteori er normen for et element α af en endelig forlængelse L af et felt K den determinant for den lineære endomorfisme af K - vektorrummet L, som til x associerer αx . Det er en multiplikativ homomorfisme . Begrebet bruges i Galois- teorien og i algebraisk talteori .
I aritmetik griber det afgørende ind i teorien om klassefelter : de abeliske underforlængelser af en given udvidelse er i det væsentlige i overensstemmelse med grupper af normer, det vil sige billedet i K , ifølge normen, af visse grupper af L.
Dette begreb strækker sig ind en begrebet norm af en ideal af ringen af heltal af et nummerfelt (dvs. af et endeligt udvidelse af området ℚ af rationelle tal ), således at en norm på en principal ideal er lig med den relative normen på ℚ af en generator af dette ideal. Vi beviser, at normen for et ikke-nul ideal er lig med kvotientringens kardinalitet , og at den er multiplikativ. Demonstrationen af klassegruppens finitet bruger opløftningsegenskaberne for normen for idealer i en given klasse.
Lad K være et kommutativt felt, L en endelig udvidelse.
Den norm, vedrørende udvidelsen L / K af et element α af L , er determinanten af den endomorfien ep α af K- vektorrum L som med x , associerer elementet αx . Det betegnes generelt N L / K ( α ).
Det er derfor et element af K , der er lig med produktet af rødderne af det karakteristiske polynom χ α af φ α , talt med deres mangfoldighed og i en udvidelse, hvor χ α er delt .
Det er almindeligt i mundtlige kommunikationer eller fora, hvor en vis slaphed er tilladt, at tale om en norm for et algebraisk element over K uden henvisning til udgangspunktet for en udvidelse L ; i dette tilfælde forstås det, at normen for et algebraisk element α over et felt K (eller endda ganske enkelt "normen for α ", hvis feltet K er blevet specificeret tidligere), er normen for α relativt til forlængelsen enkelt K ( α ) / K . Det er undertiden betegnet N ( α ). I mere formelle skriftlige dokumenter undgås denne anvendelse imidlertid, og betegnelsen N K ( α ) / K ( α ) bruges .
Bemærk også, at N K ( α ) / K ( α ) er produktet af rødderne af den minimale polynomium P af α løbet K ; faktisk for L = K [ α ] af grad d , (1, α , α 2 ,…, α d - 1 ) er et grundlag, hvor matrixen for φ α er ledsagermatrixen for P , derfor er χ α = P .
Et algebraisk heltal for en given udvidelse har naturligvis en norm i forhold til denne udvidelse, men det er også heltal. Denne observation førte til generalisere begrebet naturligt standard (se § algebraisk talteori ) de idealer af ringen O L algebraiske heltal et talfelt L . Vi beviser derefter, at normen for et ikke-nul ideal J af O L er den (endelige) kardinalitet af kvotientringen O L / J.
Fra forbindelsen mellem normen for et element og dets minimale polynom udleder vi straks:
Mere generelt :
Ifølge det primitive elementteorem er L af formen K [ m ] for noget element m. For α = m er formlen ingen ringere end det foregående specialtilfælde. Det strækker sig til ethvert element α af L , fordi α har formen Q ( m ) for et bestemt polynom Q med koefficienter i K , så φ α = Q (φ m ) derfor er rødderne til χ α billederne af Q af dem på χ m og således:
Den relative norm arver fra determinantens multiplikativitet:
Den relative norm for produktet af to elementer af L er lig med produktet af de relative normer for disse to elementer:
.Hvis L er grad n over K [ α ], så er N L / K ( α ) = N ( α ) n . Mere generelt giver beregningen af determinanten af en diagonal blokmatrix :
Hvis L er af grad n på en mellemforlængelse F, så for ethvert element β af F :
.Ved at tage F den adskillelige lukning af K i L , gør det det muligt at generalisere det adskillelige tilfælde ovenfor:
Hvis n er graden af uadskillelighed af L over K, og hvis S betegner sæt K- bindinger af L i en normal overforlængelse, så for ethvert element α af L ,
.For enhver mellemforlængelse F , ved at anvende denne formel til L / K , L / F og F / K på samme tid , kan vi beskrive den relative norm for ethvert element af L ved hjælp af sammensætningen af normerne:
For enhver mellemforlængelse F og ethvert element α af L :
.Det er også muligt at demonstrere denne formel uden at gå igennem produkter, der er indekseret af S , takket være sammensætningsformlen for determinanterne .
I hele dette afsnit er K feltet ℚ for rationelle tal, så den endelige udvidelse L er et talfelt. Overvej ring O L algebraiske heltal L . Et simpelt enkelt tilfælde studeres i artiklen “ Kvadratisk heltal ”.
I denne situation, og hvis α ikke er nul, den relative standardafvigelse er (per definition) den bestemmelse, i en base B af ℤ modul O L i den grundlæggende α B af undermodul α O L . De baseændring matricer af disse moduler bliver i lineære gruppe af ℤ, deres determinanter er lig med ± 1. Det er derfor naturligt at udvide definitionen af normen vedrørende idealer som følger:
Det er derfor et naturligt heltal, og hvis J er hovedstol, er dette heltal lig med den absolutte værdi af den relative norm for en generator.
Vi demonstrerer derefter den annoncerede karakterisering:
Lad d være graden af udvidelsen. Bemærk først, at ℤ-modulet O L er fri for rang d (jf. § “Noetherian egenskaber” i artiklen “Algebraisk heltal” ). Ifølge den uforanderlige faktor sætning eksisterer der derfor en genererende familie af J af formen ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) med p k naturlige tal og ( e 1 ,…, e d ) basis for O L . Derudover alle p k er forskellig fra nul, fordi J indeholder undermodulet α O L af rang d , for enhver ikke-nul α i J . Således har definitionen en betydning (dvs.: O L og J er to gratis ℤ-moduler af samme endelige rang), ( p 1 e 1 ,…, p d e d ) er et grundlag for J , og normen for J er lig med p 1 … p d . Nu denne vare nøjagtig Kardinalen af kvotienten O L / J = (ℤ e 1 ⊕ ... ⊕ ℤ e d ) / (ℤ p 1 e 1 ⊕ ... ⊕ ℤ p d e d ) ≃ (ℤ / s 1 ℤ) ×… × (ℤ / p d ℤ).
(Denne egenskab kan fortolkes geometrisk ved at sige, at antallet af punkter i netværket O L, der hører til et grundlæggende domæne i undernetværket J, er lig med det relative volumen af dette grundlæggende domæne: jf. § “Covolume” i artiklen "Gitter (geometri) . " Det særlige tilfælde af kvadratiske heltal, som er enklere, studeres i artiklen " Ideel til ringen af heltal i et kvadratisk felt ".)
Navnlig hvis P er en ikke-nul prime ideal derefter O L / P er en finite integral ring derfor et finit felt F q , N ( P ) = q er en effekt af et primtal , og Lagrange sætning på grupper straks giver:
Fermats lille sætning til ringen af heltal i et talfelt - For ethvert ikke-nul-primært ideal P af O L og ethvert element α af O L ,fordi hvis α ikke hører til P, så er α | N ( P ) | - 1 ≡ 1 mod P .Vi beviser også mere generelt en analog til Eulers sætning .
Multiplikativitetens egenskab bevares:
Følgende bevis er baseret på, at ringen O L er fra Dedekind . Hvert ideal er et produkt af primidealer, og hvert primideal er maksimalt (jf. Artiklen " Fraktioneret ideal "). Det er derfor tilstrækkeligt at bevise proposition hvis J 2 er maksimal, det generelle tilfælde derefter behandles ved successiv multiplikation af maksimale idealer.
Ifølge den tredje isomorfiske sætning er den abeliske gruppe O L / J 1 isomorf til kvotienten af O L / ( J 1 J 2 ) af undergruppen J 1 / ( J 1 J 2 ). Det er derfor tilstrækkeligt at vise, at denne undergruppe er isomorf til O L / J 2 . Lad α være et element i J 1, som ikke er i J 1 J 2 . (Et sådant element findes, fordi optagelsen af J 2 i O L er derfor streng - ved invertibility af fraktioneret ideal J 1 - nemlig J 1 J 2 i J 1 . Også) Så J 1 -1 α er en ideel af O L som ikke er inkluderet i J 2 , således at den ideelle J 1 -1 α + J 2 strengt indeholder den maksimale ideal J 2 , derfor er lig med O L , dvs., at der findes et element β af J 1 -1 , således at 1 - αβ tilhører J 2 . Vi slutter med at bemærke, at den naturlige morfisme af O L / J 2 i J 1 / ( J 1 J 2 ), som til klassen af ethvert element γ af O L forbinder den af αγ, så er en isomorfisme, hvor den gensidige morfisme er, fra J 1 / ( J 1 J 2 ) i O L / J 2 , som til klassen af ethvert element δ af J 1 associates at af βδ.
Normerne gør det undertiden muligt at etablere den euklidiske karakter af visse ringe af heltal. Dette er for eksempel tilfældet for heltalene Gauss , Eisenstein og heltalene ℚ ( √ 5 ) .
I det mere generelle tilfælde af kvadratiske felter hjælper normen med at belyse ringenes struktur for f.eks. At løse ligningen x 2 + 5 y 2 = p hvor p er et primtal .
Endnu mere generelt bruges normen til at etablere nøgleresultater af algebraisk talteori, såsom endeligheden af gruppen af ideelle klasser af ringen af heltal af en krop af tal.
Bas Edixhoven og Laurent Moret-Bailly , algebraisk talteori, kandidatkursus i matematik , University of Rennes 1 ,2004( læs online )
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">