Casimir operatør

I matematik og mere specifikt i algebra er Casimir- operatøren en speciel operatør . Specifikt, givet en Lie-algebra forsynet med en bilinær form, der ikke er degenereret og invariant , og en repræsentation af en begrænset dimension, er Casimir-operatøren en lineær kortlægning, der er særlig kontinuerlig på vektorrumsrepræsentationen . Denne operatør skifter med repræsentationen. For Lie algebra og den undersøgte repræsentation spiller denne operatør rollen som laplaceren .

Der er en Casimir-operatør pr. Repræsentation, men der er kun en Casimir-operatør til den omsluttende algebra af Lie-algebra. Der er ingen generel procedure til bestemmelse af de Casimir-operatører, der er knyttet til nogen Lie-algebra, da der ikke er nogen generel procedure til bestemmelse af alle dets repræsentationer, men Racahs sætning giver os mulighed for at bestemme noget. Antallet (færdig eller ikke) og rangen på hver.

I matematik hjalp operatøren Casimir med at bestemme de irreducerbare repræsentationer af en algebra og en Lie-gruppe samt enkle algebraer og Lie-grupper. I kvantefysik hjalp operatøren af Casimir til bedre at forstå de operatører, der virker på bølgefunktionen , og de tilknyttede invarianter, som er kvantetal : masse , spin , isospin er eksempler.

Casimir-operatøren skylder sit navn til Hendrik Casimir , dens opdagelsesmand for Lorentz-gruppen i begyndelsen af 1930'erne.

Ikke-degenererede og invariante bilineære former

Lad være en løgealgebra, en uforanderlig ikke-degenereret bilinær form, der er forbundet med algebraen. Den invarians af er invarians af adjungerede repræsentation ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (~, ~)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {B} (~, ~)}$ ${\ displaystyle \ ad_ {X} (Y) = [X, Y]}$

{\ displaystyle \ forall X, Y, Z \ i {\ mathfrak {g}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (ad_ {X} (Y), Z \ right) = - \ mathrm {B} \ left (Y, ad_ {X} (Z) \ right)}

eller

{\ displaystyle \ forall X, Y, Z \ i {\ mathfrak {g}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (\ left [X, Y \ right], Z \ right) = - \ mathrm {B} \ left (Y, \ left [X, Z \ right] \ right)}

I tilfælde af en Lie-algebra forbundet med en tilsluttet Lie-gruppe beviser vi (ved differentiering), at denne invarians svarer til invariansen ved gruppens handling på dens algebra: $G$ ${\ displaystyle \ Ad_ {g} (X) = gXg ^ {- 1}}$

{\ displaystyle \ forall g \ i G, \ forall Y, Z \ i {\ mathfrak {g}} \ ,,}

{\ displaystyle \ mathrm {B} \ left (Ad_ {g} (Y), Ad_ {g} (Z) \ right) = \ mathrm {B} \ left (Y, Z \ right)}

Eksempler

På en semi-enkel Lie-algebra er en anvendelig form Killing-formen .
På Lie-algebra forbundet med en kompakt Lie-gruppe eksisterer der en ikke-degenereret og invariant bilinær form konstrueret ved hjælp af Haar-målingen af gruppen: ved hjælp af et ikke-trivielt prikprodukt på prikker det næste produkt $G$ ${\ displaystyle \ \ mu}$ ${\ displaystyle (~ | ~) _ {0}}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ left (X | Y \ right) = \ int _ {G} \ left (gXg ^ {- 1} | gYg ^ {- 1} \ right) _ {0}. \ mu (dg)}$
På en sub-Lie algebra af sådan, at hvor kan man tage den tilstødende matrix . ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ mathbb {M} (n, \ mathbb {R})}$ ${\ displaystyle X \ i {\ mathfrak {g}} \ Rightarrow X ^ {T} \ i {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ X ^ {T}}$ ${\ displaystyle B \ left (X, Y \ right) = tr \ left (XY \ right)}$

Definitioner

Er en repræsentation af Lie algebra : . ${\ displaystyle \ (\ rho, V)}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ til GL (V)}$

Først definition: Enten en base , og der er det dobbelte grundlag: . ${\ displaystyle \ \ {X_ {i} / i = 1, ..., n \}}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ \ {X ^ {i} / i = 1, ..., n \}}$ ${\ displaystyle \ \ mathrm {B} (X ^ {i}, X_ {j}) = \ delta _ {i, j}}$

Casimir-operatøren er defineret af:

${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho \ left (X ^ {i} \ right) \ rho \ left (X_ {i} \ right)}$

En anden definition, der ikke eksplicit bruger en dobbelt base, mens den introduceres uden at sige det, er:

ved at indstille og den omvendte matrix defineres operatøren af Casimir af: ${\ displaystyle \ g_ {ij} = B (X_ {i}, X_ {j})}$ ${\ displaystyle \ left (g ^ {ij} \ right) = \ left (g_ {ij} \ right) ^ {- 1}}$

${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho} = \ sum _ {i, j = 1} ^ {n} g ^ {ij} \ rho \ left (X_ {i} \ right) \ rho \ left (X_ {j } \ ret)}$

En tredje definition introducerer først Casimir-operatøren af den omsluttende algebra af Lie-algebra, hvilket giver mulighed for derefter at introducere den operatør, der er knyttet til repræsentationen . $\ \ Omega$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho}}$ ${\ displaystyle \ (\ rho, V)}$

I dette tilfælde er operatøren af Casimir defineret af:

${\ displaystyle \ Omega = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X ^ {i} X_ {i}}$

og vi finder operatøren tilknyttet repræsentationen ved at tage . ${\ displaystyle \ (\ rho, V)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho} = \ rho \ left (\ Omega \ right)}$

Ejendomme

Uafhængighed af den anvendte base: hvis er en anden base af , hvad vises der ved hjælp af basisændringsmatrixen. ${\ displaystyle \ \ {Y_ {i} / i = 1, ..., n \}}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho \ left (X ^ {i} \ right) \ rho \ left (X_ {i} \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho \ left (Y ^ {i} \ right) \ rho \ left (Y_ {i} \ right)}$
Pendling med repræsentationen: vi ved, at der per definition er en morfisme af Lie algebras, og det . Nogle algebraiske beregninger viser det ${\ displaystyle \ rho: {\ mathfrak {g}} \ til L _ {\ mathbb {C}} (V)}$ ${\ displaystyle \ Omega _ {\ rho} = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ rho \ left (X ^ {i} \ right) \ rho \ left (X_ {i} \ right) \ in L _ {\ mathbb {C}} (V)}$ ${\ displaystyle \ forall X \ i {\ mathfrak {g}} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ left [\ Omega _ {\ rho}, \ rho (X) \ right] = 0}$
Hvis er en lineær og irreducerbar gengivelse af , så tillader Schurs lemma os at konkludere, at der er sådan, at . Dette tal er i fysik det kvantetal, der er knyttet til Casimir-operatøren, der virker på bølgefunktionen . ${\ displaystyle \ (\ rho, V)}$ $\ mathbb {C}$ ${\ mathfrak g}$ ${\ displaystyle \ kappa _ {\ rho} \ in \ mathbb {C}}$ ${\ displaystyle \ \ Omega _ {\ rho} = - \ kappa _ {\ rho} \ cdot {\ text {Id}}}$ ${\ displaystyle \ \ kappa _ {\ rho}}$

Eksempler

Casimir-operatørerne i Lorentz-gruppen tillader os at identificere to kvantetal: masse og spin. Der er et uendeligt antal værdier for spinet, og hver kommer fra en irreducerbar repræsentation.
Lie algebra, gruppe algebra , giver os mulighed for at identificere den kvantetal isospin , fremmedhed og elektrisk ladning . ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (3)}$ ${\ displaystyle \ SU (3)}$

Referencer

Vi kender dog alle repræsentationer af ${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n, \ mathbb {C})}$
Roger Godement, Introduction to Lie Group Theory , Springer, 2004, ( ISBN 3-540-20034-7 ) , s 239-240.

Bibliografi

Jacques Faraut, Analyse af løgnegrupper : en introduktion , Calvage & Mounet-udgaver, 2006 ( ISBN 978-2-916352-00-8 )
Yvette Kosmann-Schwarzbach , Grupper og symmetrier: endelige grupper, grupper og Lie algebras, repræsentationer , Polytekniske udgaver, 2005 ( ISBN 978-2-7302-1257-1 ) , [ læs online ]
Luc Marleau, Introduktion til partikelfysik , Laval University online kursus .