Afledte operationer

I matematik kan beregningen af afledningen af visse funktioner med reelle eller komplekse værdier (eller mere generelt i et topologisk organ ) udføres ved hjælp af et bestemt antal operationer på derivaterne , især nogle relateret til operationerne på den virkelige tal og komplekse. Beviserne for disse egenskaber følger af operationerne på grænserne .

I hele artiklen betegner vi og to funktioner, som vi antager at kunne differentieres.

Lineæritet

Afledningen er en lineær operator , dvs. rummet af differentierbare funktioner er stabilt ved sum og ved multiplikation af dets elementer med reelle tal (det er et reelt vektorrum ), og følgende forhold bekræftes:

.

Vi udleder især:

.

Sammensætning

Den sammensætning af to differentiable funktioner er differentiabel, hvor det defineres (netop om gensidig billede ved domænet for definitionen af ) og beregnes i henhold til reglen:

.

Et eksempel på anvendelse er reglen om magtudledning:

ved at bruge den elementære beregning af afledningen af ​​funktionen (denne regel er derfor gyldig uden begrænsning, hvis er et positivt heltal, men hvis er et negativt heltal, placerer vi os selv på et interval, hvor det ikke forsvinder, og hvis er et reelt ikke heltal, over et interval, hvor er strengt positive værdier).

Et andet eksempel på anvendelse er reglen om afledning af eksponentialer  :

.

Anvendt på (hvor en er en fast rigtig strengt positiv), denne regel: .

Mere generelt påføres , (hvor en > 0, og u er en differentiabel ansøgning): .

Produkt, omvendt og kvotient

Afledningen er en differentiel operator , dvs. rummet af differentierbare funktioner er stabilt ved multiplikation, og Leibnizs regel er verificeret:

.

En demonstration er tilgængelig i Derivat og operationer på Wikiversity .

Denne relation gør det f.eks. Muligt at finde (ved induktion) reglen for afledning af kræfterne (set ovenfor), i det særlige tilfælde positivt heltal:

.

Et andet særligt tilfælde af den samme regel (for derfor i et interval hvor ikke forsvinder) er reglen for afledning af det omvendte:

.

Sidstnævnte kombineret med produktafledningsreglen giver afledningen af ​​et kvotient:

.

Gensidig sammenhæng

Lad være en funktion, der kan differentieres i et reelt og strengt monotont interval ( udfør derefter en sammenkædning af på intervallet ).

For ethvert punkt af , hvor ikke forsvinde, den gensidige bijection er differentiabel i og:

.

Derfor, hvis ikke forsvinder , så kan differentieres over og

.

En demonstration er tilgængelig i Derivat og operationer på Wikiversity .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">