Topologisk ring

I matematik er en topologisk ring en ring forsynet med en topologi, der er kompatibel med interne operationer , det vil sige sådan, at tilføjelsen, det modsatte kort og multiplikationen er kontinuerlig .

Et topologisk felt er et felt forsynet med en topologi, der gør addition, multiplikation og invers anvendelse kontinuerlig.

Disse strukturer udvider begrebet topologisk gruppe .

Eksempler

• Alle sædvanlige antal felter ( rationel , virkelige , kompleks , s -adic ) har en eller flere klassiske topologier, som gør dem topologiske felter. Disse er i det væsentlige topologier induceret af den sædvanlige afstand eller p -adiske afstand .
• Sættet med applikationer fra et sæt til en topologisk ring udgør en topologisk ring til topologien ved enkel konvergens . Når sættet i sig selv er et topologisk rum, er underringen af ​​kontinuerlige funktioner en topologisk ring til den kompakt-åbne topologi .x{\ displaystyle X}x{\ displaystyle X}
• Enhver normalgebra er en topologisk ring.
• Enhver subring af en topologisk ring er en topologisk ring til den inducerede topologi.
• Enhver ring forsynet med den diskrete topologi eller den grove topologi udgør en topologisk ring.

Jeg -adisk topologi

Givet en kommutativ ring og et ideal for , defineres den -adiske topologi af grundlaget for kvarterer på hvert punkt i formen : hvor beskriver alle naturlige heltal. R{\ displaystyle R} jeg{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}jeg{\ displaystyle I}R{\ displaystyle R}x{\ displaystyle x}R{\ displaystyle R}x+jegikke{\ displaystyle x + I ^ {n}}ikke{\ displaystyle n}

Denne topologi gør ringen til en topologisk ring, der adskilles, hvis og kun hvis krydset mellem idealets kræfter reduceres til nul-elementet: R{\ displaystyle R}jeg{\ displaystyle I}

⋂ikke∈IKKEjegikke={0}{\ displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} = \ {0 \}}.

I dette tilfælde kan topologien måles med en ultrametrisk afstand defineret som følger:

for alle ≠ elementer af ,x{\ displaystyle x}y{\ displaystyle y}R{\ displaystyle R} d(x,y)=1/2k{\ displaystyle d (x, y) = 1/2 ^ {k}} hvor er idealets største magt, der indeholder forskellen .k{\ displaystyle k}x-y{\ displaystyle xy}

Den p- adiske topologi på relative heltal konstrueres således med idealet om heltal multipla af . jeg{\ displaystyle I}s{\ displaystyle p}

Afslutning af en metriserbar ring

Når en ringtopologi er metrisk, strækker operationerne sig kontinuerligt (entydigt) til dens metriske færdiggørelse , som således bliver den færdige ring  (in) .

Bemærkninger

1. Kontinuiteten i den modsatte applikation kontrolleres automatisk, hvis ringen er enhed .
2. Der er dog topologiske ringe, som er kroppe uden at opfylde denne sidste betingelse.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">