Samtidig ortogonalisering

Gauss metode konstruerer en ortogonal basis for en given kvadratisk form på et ægte vektorrum med en begrænset dimension . Teoremet viser eksistensen af en ortogonal basis på samme tid for to kvadratiske former, hvoraf den ene er afledt af et punktprodukt.

Samtidig ortogonalisering i det euklidiske tilfælde

Sætning - Lad E være et euklidisk rum . Hvis q er en kvadratisk form over E , eksisterer der en ortonormal basis for punktproduktet og ortogonal for q .

Bevis - Betegner det skalære produktog den tilknyttede euklidiske norm ${\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ langle x \ cdot y \ rangle \,}$ ${\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ | ^ {2}.}$

Som E er af finite dimension , enheden sfære er kompakt ifølge Borel-Lebesgue teorem . Funktionen er kontinuert på $S$ . Det øges derfor der og når denne grænse på et bestemt tidspunkt $e$ . ${\ displaystyle S = \ {x \ i E \ mid \ | x \ | = 1 \}}$ ${\ displaystyle f: x \ mapsto q (x) / \ | x \ | ^ {2}}$
Hvis $ϕ$ er den polære form forbundet med $q$ , har vi: ${\ displaystyle q (e + x) -q (e) = 2 \ phi (e, x) + q (x).}$ Differencen af $q$ ved $e$ er så den lineære del af udtrykket til højre: ${\ displaystyle Dq_ {e} (x) = 2 \ phi (e, x).}$
Da $e$ er en ekstremum for $f$ , er differensen af $f$ i $e$ nødvendigvis nul, det vil sige ${\ displaystyle 0 = Df_ {e} (x) = {\ frac {2 \ phi (e, x) \ | e \ | ^ {2} -2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle} {\ | e \ | ^ {4}}}}$ eller ${\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 2q (e) \ langle x \ cdot y \ rangle}$ så træne til alt ${\ displaystyle \ langle e \ cdot x \ rangle = 0}$ ${\ displaystyle 2 \ phi (e, x) = 0}$ ${\ displaystyle x \ i E.}$
Det fuldender bevis ved induktion på dimensionen af rummet E . I dimension 1 er det indlysende. Antag, at egenskaben er sand i dimension n - 1. Linjen rettet af e er i direkte sum ortogonal med sin ortogonale:E=⟨e⟩⨁⊥⟨e⟩⊥{\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}} ${\ displaystyle E = \ langle e \ rangle {\ overset {\ perp} {\ bigoplus}} \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}$ fordi prikproduktet er en symmetrisk positiv bestemt form. Induktionshypotesen giver basis for ortonormal for det skalære produkt, ortogonal for ϕ . Ved konstruktion: (u2,...,uikke){\ displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})} ${\ displaystyle (u_ {2}, ..., u_ {n})}$ ⟨e⟩⊥{\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}} ${\ displaystyle \ langle e \ rangle ^ {\ perp}}$
- ${\ displaystyle \ langle e \ cdot u_ {i} \ rangle = 0}$ og derfor også til ${\ displaystyle \ phi (e, u_ {i}) = 0}$ ${\ displaystyle i = 2, \ ldots, n}$
- ${\ displaystyle \ | e \ | = 1.}$