Kvant harmonisk oscillator

Den kvanteharmoniske oscillator svarer til behandlingen ved hjælp af kvantemekanikens værktøjer til den klassiske harmoniske oscillator .

Generelt er en oscillator et system, hvis udvikling over tid er periodisk . Det siges at være mere harmonisk, hvis de udførte svingninger er sinusformede med en amplitude og en frekvens, der kun afhænger af systemets iboende egenskaber og af de indledende betingelser. Dette er tilfældet i klassisk mekanik for en partikel, der udvikler sig ved en dimension i et kvadratisk potentiale med generel form , k er en positiv konstant. V(x)=12kx2{\ displaystyle V (x) = {\ dfrac {1} {2}} kx ^ {2}}

Langt fra at være et rent akademisk bestemt tilfælde opnås denne form for potentiale især i tilfælde af svingninger med lav amplitude omkring en stabil ligevægtsposition i ethvert potentiale med den berygtede undtagelse af potentialet i 1 / r, der opstår i tyngdekraften eller for punkt ladninger som for protoner og elektroner (jf. artikel om den klassiske harmoniske oscillator ), fordi potentialet i nærheden af ​​denne ligevægtsposition har denne form. Af denne grund spiller begrebet harmonisk oscillator en vigtig rolle i mange anvendelser af fysik.

De kvantemekanikken har revolutioneret mange grundlæggende begreber. Den harmoniske oscillator har også gennemgået en omformulering i denne kvantestruktur, som har gjort det muligt at belyse flere eksperimentelle resultater, især inden for kondenseret fysik . Dens undersøgelse fører til indførelsen af ​​matematiske værktøjer af betydelig interesse for fysik, især inden for feltteori: operatører af skabelse og tilintetgørelse af kvanta.

Den klassiske endimensionale harmoniske oscillator

Før man nærmer sig kvantebehandlingen af ​​den harmoniske oscillator, er det interessant at opsummere de vigtigste resultater af den klassiske behandling af denne oscillator.

Definition - fysisk betydning

En klassisk endimensionel harmonisk oscillator er modelleret af et kvadratisk potentiale, typisk ( m er systemets masse):

V(x)=12mω2x2{\ displaystyle V (x) = {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2}}, hvor er en homogen størrelse ved en frekvens (vinklet) kaldet oscillatorens egen pulsering . Generelt er dette knyttet til potentialets “styrke” eller “stivhed”. ω{\ displaystyle \ omega}

Så den mekaniske energi i en endimensionel harmonisk oscillator er . H=sx22m+12mω2x2{\ displaystyle H = {\ frac {p_ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} x ^ {2}}

Den harmoniske oscillator har en betydelig interesse i fysik, fordi ethvert system, der udvikler sig i et potentiale i nærheden af ​​en stabil ligevægtsposition, derfor et minimum af potentiale, kan modelleres af en harmonisk oscillator til små svingninger i nærheden af ​​denne ligevægtsposition.

Faktisk, i tilfælde af ethvert ensformet potentiale , med et minimum i , kommer det i nærheden af ​​denne: V(x){\ displaystyle V \ left (x \ right)}x=x0{\ displaystyle x = x_ {0}}

V(x)≈V(x0)+12(d2Vdx2)x0(x-x0)2{\ displaystyle V \ left (x \ right) \ approx V (x_ {0}) + {\ frac {1} {2}} \ left ({\ frac {d ^ {2} V} {dx ^ {2 }}} \ højre) _ {x_ {0}} \ venstre (x-x_ {0} \ højre) ^ {2}}, med nødvendigvis et minimum ,(d2Vdx2)x0>0{\ displaystyle \ left ({\ frac {d ^ {2} V} {dx ^ {2}}} \ right) _ {x_ {0}}> 0}

hvilket svarer godt til en harmonisk oscillator såsom , den forudgående ekspression af potentialet svarer til valget af og som oprindelser henholdsvis af de koordinater og de energier. mω2≡(d2Vdx2)x0{\ displaystyle m \ omega ^ {2} \ equiv \ left ({\ frac {d ^ {2} V} {dx ^ {2}}} \ right) _ {x_ {0}}}x0{\ displaystyle x_ {0}}V(x0){\ displaystyle V \ left (x_ {0} \ right)}

Den "harmoniske" tilnærmelse er gyldig i nærheden af ​​systemets stabile ligevægtsposition: figuren modsat illustrerer modelleringen med en harmonisk oscillator af et diatomisk molekyls potentielle energikurve.

Klassiske bevægelsesligninger

Til diskussionen af ​​kvasi-klassiske stater er det nyttigt at huske elementer om den klassiske bevægelses natur.

De Hamilton bevægelsesligninger for det foregående klassisk Hamilton kan nemt skrives som:

{dxdt=sxm,dsxdt=-mω2x{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {p_ {x}} {m}}, \\\\\ displaystyle {\ frac {dp_ {x} } {dt}} = - m \ omega ^ {2} x \ end {cases}}}.

Det er muligt at give en mere symmetrisk form til disse ligninger ved at sætte den tidligere Hamiltonian i en "reduceret" form ved at indføre nye kanoniske variabler:

Px≡sxmω{\ displaystyle P_ {x} \ equiv {\ frac {p_ {x}} {\ sqrt {m \ omega}}}}og ,x≡mωx{\ displaystyle X \ equiv {\ sqrt {m \ omega}} x}

som gør det muligt at sætte Hamiltonian i form:

H=ω2(sx2mω+mωx2)=ω2(Px2+x2){\ displaystyle H = {\ frac {\ omega} {2}} \ left ({\ frac {p_ {x} ^ {2}} {m \ omega}} + m \ omega x ^ {2} \ right) = {\ frac {\ omega} {2}} \ venstre (P_ {x} ^ {2} + X ^ {2} \ højre)}.

Da transformationen er kanonisk og derfor efterlader formen af ​​Hamiltons ligninger uændret. De foregående ligninger af bevægelse bliver derefter: {x,Px}=1{\ displaystyle \ {X, P_ {X} \} = 1}(x,sx)→(x,Px){\ displaystyle \ left (x, p_ {x} \ right) \ rightarrow \ left (X, P_ {X} \ right)}

{dxdt=ωPxdPxdt=-ωx{\ displaystyle {\ begin {cases} \ displaystyle {\ frac {dX} {dt}} = \ omega P_ {x} \\\\\ displaystyle {\ frac {dP_ {x}} {dt}} = - \ omega X \ end {cases}}}.

Indførelsen af ​​den komplekse mængde gør det muligt at gruppere disse to ligninger i en endimensionel ligning: a≡x+jegPx2{\ displaystyle \ alpha \ equiv {\ frac {X + iP_ {x}} {\ sqrt {2}}}}

dadt=-jegωa{\ displaystyle {\ frac {d \ alpha} {dt}} = - i \ omega \ alpha},

hvis generelle løsning er af formen med . Følgelig en partikel af masse i dette potentiale har en sinusformet bevægelse af pulsering . Partikelens energi er en positiv eller nul bevægelseskonstant , hvis værdi afhænger kontinuerligt af de oprindelige forhold uden begrænsning. a(t)=a0e-jegωt{\ displaystyle \ alpha (t) = \ alpha _ {0} e ^ {- i \ omega t}}a0=a(t=0){\ displaystyle \ alpha _ {0} = \ alpha (t = 0)}m{\ displaystyle m} ω{\ displaystyle \ omega}H=12m(x˙2+ω2x2){\ displaystyle H = {\ frac {1} {2}} m \ left ({\ dot {x}} ^ {2} + \ omega ^ {2} x ^ {2} \ right)}

Den foregående "reducerede" Hamiltonian er skrevet som en funktion af i formen . a{\ displaystyle \ alpha}H=ωa∗a{\ displaystyle H = \ omega \ alpha ^ {*} \ alpha}

Den endimensionelle kvanteharmoniske oscillator

Problemets position

I kvantemekanik er Hamiltonian af en ensrettet harmonisk oscillator skrevet i form:

H^=s^x22m+12mω2x^2{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2}}

hvor er den komponent på aksen af momentum operatør af partiklen. s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}x{\ displaystyle x}

Vi skal derefter løse den tidsuafhængige Schrödinger-ligning, der er knyttet til denne Hamilton  :

H^|ψ⟩=E|ψ⟩{\ displaystyle {\ hat {H}} \ venstre | \ psi \ højre \ rangle = E \ venstre | \ psi \ højre \ rangle}, hvor er energien forbundet med en egen tilstand i systemet. E{\ displaystyle E} |ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}

Det er så muligt at skrive denne ligning i positionsrepræsentation under hensyntagen til og , som giver følgende differentialligning for bølgefunktionen  : x^=x1^{\ displaystyle {\ hat {x}} = x {\ hat {1}}}s^=ℏjegddx{\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ frac {\ hbar} {i}} {\ frac {d} {dx}}} ψ(x)=⟨x|ψ⟩{\ displaystyle \ psi (x) = \ left \ langle x | \ psi \ right \ rangle}

ℏ22md2ψdx2+(E-mω22x2)ψ(x)=0{\ displaystyle {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {d ^ {2} \ psi} {dx ^ {2}}} + \ left (E - {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2}} x ^ {2} \ højre) \ psi (x) = 0}.

Den matematiske løsning af denne ligning giver ingen større vanskeligheder, selvom det fører til ganske komplekse beregninger. Imidlertid er en sådan metode især ikke særlig eksplicit fysisk, så det foretrækkes at bruge en anden meget frugtbar tilgang, udviklet af Paul Dirac , som ikke kun gør det muligt at opnå Hamilton-egenværdierne uden eksplicit at løse den tidligere differentialligning ., men som kan generaliseres til andre situationer (jf. kvantificering af det klassiske elektromagnetiske felt eller undersøgelse af vibrationer i en krystal f.eks.).

Generelle egenskaber for egenstater

Før enhver opløsning er det muligt at udlede nogle vigtige egenskaber ved egenværdier og tilstande i det forrige kvante Hamiltonian.

• Egenværdierne E for er altid positiv eller nulH^{\ displaystyle {\ hat {H}}}  : faktisk forenhverstat, er det indlysende, ateller.|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}‖x^|ψ⟩‖2⩾0{\ displaystyle \ | {\ hat {x}} \ left | \ psi \ right \ rangle \ | ^ {2} \ geqslant 0}‖x^|ψ⟩‖2=⟨ψ|x^†x^|ψ⟩=⟨ψ|x^2|ψ⟩=⟨x^2⟩⩾0{\ displaystyle \ | {\ hat {x}} \ venstre | \ psi \ højre \ rangle \ | ^ {2} = \ venstre \ langle \ psi \ højre | {\ hat {x}} ^ {\ dolk} { \ hat {x}} \ venstre | \ psi \ højre \ rangle = \ venstre \ langle \ psi \ højre | {\ hat {x}} ^ {2} \ venstre | \ psi \ højre \ rangle = \ venstre \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ højre \ rangle \ geqslant 0}

Det er klart, det er det samme for udtrykket , så for enhver , .s^x2{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x} ^ {2}}|ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}⟨ψ|H^|ψ⟩⩾0{\ displaystyle \ left \ langle \ psi \ right | {\ hat {H}} \ left | \ psi \ right \ rangle \ geqslant 0}

• Jordtilstandens energi er nødvendigvis ikke-nul  : ved at indføre variationerne i middelværdierne forog af, dvs.ogdet er muligt at vise det.x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}(Δx)2=⟨x^2⟩-⟨x^⟩2{\ displaystyle \ left (\ Delta x \ right) ^ {2} = \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle ^ {2}}(Δsx)2=⟨s^x2⟩-⟨s^x⟩2{\ displaystyle \ left (\ Delta p_ {x} \ right) ^ {2} = \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} ^ {2} \ right \ rangle - \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ højre \ rangle ^ {2}}⟨H^⟩⩾ℏω2{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle \ geqslant {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

Demonstration

Ved at vælge en tilstand "trial" som og den gennemsnitlige værdi er udtrykt i form: . |ψ⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle}⟨x^⟩=0{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle = 0}⟨s^x⟩=0{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ right \ rangle = 0}H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}
⟨H^⟩=12m⟨s^x2⟩+mω22⟨x^2⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {2m}} \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} ^ {2} \ right \ rangle + {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2}} \ venstre \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ højre \ rangle}

Den ubestemthedsrelationen indebærer så , at i bedste fald , den gennemsnitlige værdi af den Hamiltonske for enhver stat er minima som: .ΔxΔsx⩾ℏ2{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p_ {x} \ geqslant {\ frac {\ hbar} {2}}} ⟨s^x2⟩=ℏ24⟨x^2⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {4 \ left \ langle {\ hat {x} } ^ {2} \ right \ rangle}}}⟨H^⟩⩾ℏ28m⟨x^2⟩+mω2⟨x^2⟩2{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle \ geqslant {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle}} + {\ frac {m \ omega ^ {2} \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle} {2}}} Denne værdi kan minimeres med hensyn til , betragtes som variabel, hvilket enten i sidste ende indebærer værdien af minimering .u≡⟨x^2⟩{\ displaystyle u \ equiv \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle}∂⟨H^⟩∂u=0=-ℏ28m⟨x^2⟩2+mω22{\ displaystyle {\ frac {\ partial \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle} {\ partial u}} = 0 = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {8m \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ højre \ rangle ^ {2}}} + {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2}}}⟨x^2⟩=ℏ2mω{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}⟨x^2⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ right \ rangle}⟨H^⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle} Det kommer ved erstatning i det forrige udtryk: ⟨H^⟩⩾ℏω2{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle \ geqslant {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}} Efter den kvanteharmoniske oscillators grundtilstand har en ikke-nul energi ( nulpunktsenergi ), i modsætning til det konventionelle tilfælde, og dette skyldes direkte kvantesikkerhedsforholdet mellem og . x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}

• Indeslutningen af ​​partiklen i dette potentiale indikerer, at spektret af disse energier vil være diskret.
• Systemet viser kun en grad af frihed , så der vil kun være et kvantetal .

Introduktion af dimensionsløse operatører

Som i det klassiske tilfælde er det nyttigt at introducere en dimensionløs Hamiltonian, kaldet reduceret . Dette er let, da det er let at indføre en energi "skala" for systemet ved hjælp af mængden , derfor ( er Plancks konstant reduceret): ℏω{\ displaystyle \ hbar \ omega}ℏ{\ displaystyle \ hbar}H^=s^x22m+12mω2x^2=ℏω[s^x22mℏω+mωx^22ℏ]=ℏω2[(s^xmℏω)2+(mωℏx^)2]{\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {{\ hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m}} + {\ frac {1} {2}} m \ omega ^ {2} {\ hat {x}} ^ {2} = \ hbar \ omega \ left [{\ frac {{\ hat {p}} _ {x} ^ {2}} {2m \ hbar \ omega}} + {\ frac {m \ omega {\ hat {x}} ^ {2}} {2 \ hbar}} \ højre] = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} \ venstre [\ venstre ({ \ frac {{\ hat {p}} _ {x}} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}}} til højre) ^ {2} + \ venstre ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} { \ hbar}}} {\ hat {x}} \ højre) ^ {2} \ højre]}

Det er let at forenkle skrivningen af ved hjælp af følgende dimensionsløse (men hermitiske) operatorer: H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}

P^=s^xmℏω{\ displaystyle {\ hat {P}} = {\ frac {{\ hat {p}} _ {x}} {\ sqrt {m \ hbar \ omega}}}}og . x^=mωℏx^{\ displaystyle {\ hat {X}} = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} {\ hat {x}}}

Under hensyntagen til kommuteringsrelationen er kommuteringsrelationen mellem disse nye operatører skrevet: [x^,s^]=jegℏ{\ displaystyle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} \ right] = i \ hbar}

[x^,P^]=jeg1^{\ displaystyle \ left [{\ hat {X}}, {\ hat {P}} \ right] = i {\ hat {1}}}.

Med hensyn til disse operatører "reduceret" den Hamiltonske af den harmoniske oscillator unidimmensionnel skrives som: . H^=ℏω2(x^2+P^2){\ displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}} \ venstre ({\ hat {X}} ^ {2} + {\ hat {P}} ^ {2} \ ret)}

Bemærkninger:

• Mængden har dimensionen af ​​en længde.ℏmω{\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {m \ omega}}}}
• De "reducerede" operatører af kvanteenergi, position og momentum har udtryk, der minder om dem, der er brugt i det klassiske tilfælde, bortset fra brugen af ​​mængde .ℏ{\ displaystyle \ hbar}

Skalaoperatører

Ved hjælp af skifteforholdet mellem den "reducerede" position og pulsoperatorerne er det let at kontrollere følgende identitet:

(x^-jegP^)(x^+jegP^)=x^2+P^2+jeg(x^P^-P^x^)=2ℏωH^-1^{\ displaystyle \ left ({\ hat {X}} - jeg {\ hat {P}} \ højre) \ left ({\ hat {X}} + i {\ hat {P}} \ højre) = {\ hat {X}} ^ {2} + {\ hat {P}} ^ {2} + i \ left ({\ hat {X}} {\ hat {P}} - {\ hat {P}} {\ hat {X}} \ right) = {\ frac {2} {\ hbar \ omega}} {\ hat {H}} - {\ hat {1}}}.

Dette antyder introduktionen af ikke-eremitiske operatorer , kaldet "skalaoperatorer", der støder op til hinanden:

{på^=(x^+jegP^)2på^†=(x^-jegP^)2{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {a}} = {\ frac {\ left ({\ hat {X}} + i {\ hat {P}} \ right)} {\ sqrt {2} }} \\\\ {\ hat {a}} ^ {\ dagger} = {\ frac {\ left ({\ hat {X}} - i {\ hat {P}} \ right)} {\ sqrt { 2}}} \ end {cases}}}

Disse operatører kaldes henholdsvis udslettelse og energi kvante skabelse af grunde, som vil blive vist nedenfor. Det er let at bestemme skiftet mellem de to operatører . [på^,på^†]=1^, {\ displaystyle \ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ right] = {\ hat {1}} \ qquad {\ text {,}}}

Ligeledes operatørerne er og udtrykkes i form: x^{\ displaystyle {\ hat {X}}}P^{\ displaystyle {\ hat {P}}}{x^=12(på^†+på^)P^=jeg12(på^†-på^){\ displaystyle {\ begin {cases} {\ hat {X}} = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} + {\ hat {a}} \ right) \\ {\ hat {P}} = i {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} - {\ hat {a}} \ right) \ end {cases}}}

Systemets Hamilton kan derefter skrives i form:

H^=ℏω(på^†på^+121^)=ℏω(IKKE^+121^){\ displaystyle {\ hat {H}} = \ hbar \ omega \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} + {\ frac {1} {2}} {\ hat {1}} \ højre) = \ hbar \ omega \ venstre ({\ hat {N}} + {\ frac {1} {2}} {\ hat {1}} \ højre)},

hvor operatøren blev introduceret:

IKKE^≡på^†på^{\ displaystyle {\ hat {N}} \ equiv {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}}}, undertiden kaldet "vibrationskvantatalsoperator".

Følgelig kommer bestemmelsen af ​​Hamiltonians egenværdier ned på dem for den dimensionsløse operatør , som tydeligvis er Hermitian siden . Derfor er dens egenværdier reelle . IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}IKKE^†=(på^†på^)†=på^†(på^†)†=IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}} ^ {\ dolk} = \ venstre ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} \ højre) ^ {\ dolk} = {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ venstre ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ højre) ^ {\ dolk} = {\ hat {N}}}

Bemærkninger:

• skalaoperatoren kan betragtes som "kvantemodellen" for den komplekse mængde defineret i det klassiske tilfælde, del 1.på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}a{\ displaystyle \ alpha}
• det er så interessant at sammenligne udtrykket for det klassiske "reducerede" Hamiltonian med det, der er opnået i kvantesagen. Bortset fra faktoren kommer hovedforskellen fra udseendet af det ekstra udtryk i 1/2 i kvantesagen, knyttet til den ikke-kommutative karakter af skalaoperatorerne (faktisk af og ), hvilket vil give anledning til udseende såkaldt “nulpunkt” energi.ℏ{\ displaystyle \ hbar}x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}

Beregning af egenværdier

De fælles egenstater for og bemærkes , med egenværdier :, egenværdien ν er a priori et reelt tal. De værdier for derefter af formen . For så vidt som det ikke ændrer resultaterne for egenværdierne, er det i første omgang ikke nødvendigt at tage højde for en mulig degeneration af disse egenstater. IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}|v⟩{\ displaystyle \ left | \ nu \ right \ rangle}IKKE^|v⟩=v|v⟩{\ displaystyle {\ hat {N}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle = \ nu \ venstre | \ nu \ højre \ rangle}H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}Ev=ℏω(v+12){\ displaystyle E _ {\ nu} = \ hbar \ omega \ left (\ nu + {\ frac {1} {2}} \ right)}

Nyttige skifteforhold

Fra det tidligere skifteforhold mellem skalaoperatørerne kommer det let:

• [IKKE^,på^]=IKKE^på^-på^IKKE^=på^†på^på^-på^på^†på^=-[på^,på^†]på^=-på^{\ displaystyle \ left [{\ hat {N}}, {\ hat {a}} \ right] = {\ hat {N}} {\ hat {a}} - {\ hat {a}} {\ hat {N}} = {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} {\ hat {a}} - {\ hat {a}} {\ hat {a}} ^ {\ dolk } {\ hat {a}} = - \ left [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ right] {\ hat {a}} = - {\ hat {a }}}
• [IKKE^,på^†]=IKKE^på^†-på^†IKKE^=på^†på^på^†-på^†på^†på^=på^†[på^,på^†]=på^†{\ displaystyle \ left [{\ hat {N}}, {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ right] = {\ hat {N}} {\ hat {a}} ^ {\ dolk} - {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {N}} = {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} {\ hat {a}} ^ {\ dolk } - {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} = {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ venstre [{ \ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ right] = {\ hat {a}} ^ {\ dolk}}

Disse forskellige forhold gør det muligt at bestemme egenværdierne for . IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}

Handling af skalaoperatører på egenstater |ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

Ved hjælp af de tidligere notationer og relationer kommer det let:

[IKKE^,på^]|v⟩=IKKE^(på^|v⟩)-v(på^|v⟩)=-på^|v⟩{\ displaystyle \ left [{\ hat {N}}, {\ hat {a}} \ right] \ left | \ nu \ right \ rangle = {\ hat {N}} \ left ({\ hat {a} } \ venstre | \ nu \ højre \ rangle \ højre) - \ nu \ venstre ({\ hat {a}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle \ højre) = - {\ hat {a}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle}, Som giver: IKKE^(på^|v⟩)=(v-1)(på^|v⟩){\ displaystyle {\ hat {N}} \ left ({\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle \ right) = (\ nu -1) \ left ({\ hat {a}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle \ højre)}, dvs. er en egenvektor af egenværdien (ν-1) , er det muligt at spørge:(på^|v⟩){\ displaystyle \ left ({\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle \ right)}IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}} på^|v⟩=a|v-1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle = \ alpha \ left | \ nu -1 \ right \ rangle}, med α et komplekst tal, der kan bestemmes op til en fase ved hjælp af det faktum, at: |a|2=‖på^|v⟩‖2=⟨v|på^†på^|v⟩=v{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right | ^ {2} = \ | {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle \ | ^ {2} = \ left \ langle \ nu \ right | {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle = \ nu},

og som nødvendigvis er det muligt at udlede successivt: ‖på^|v⟩‖2⩾0{\ displaystyle \ | {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle \ | ^ {2} \ geqslant 0}

1. at egenværdierne ν af er positive eller nul ;IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}
2. at hvis især ν = 0 , så og omvendt hvis så og derfor er enhver tilstand, der respekterer denne tilstand, en egenstat for egenværdien ν = 0 ;på^|0⟩=0→{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | 0 \ right \ rangle = {\ vec {0}}}på^|v⟩=0→{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle = {\ vec {0}}}på^†på^|v⟩=0→=IKKE^|v⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle = {\ vec {0}} = {\ hat {N}} \ venstre | \ nu \ right \ rangle}IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}
3. i at udføre en fase interval, således at α er reel, følger det, at: eller igen: ,a=v{\ displaystyle \ alpha = {\ sqrt {\ nu}}}på^|v⟩=v|v-1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle = {\ sqrt {\ nu}} \ left | \ nu -1 \ right \ rangle}

følgelig operatøren sænker egenværdien ν med én enhed, deraf navnet quantum udslettelse operatør (vibrationer) givet ovenfor. på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}

Ved at gå frem på samme måde med det er muligt at verificere med den samme fase konvention, følgelig operatøren øger egenværdien ν med én enhed, deraf navnet af kvante skabelse operatør (vibrationer) givet øvre. på^†{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk}}på^†|v⟩=v+1|v+1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ venstre | \ nu \ højre \ rangle = {\ sqrt {\ nu +1}} \ venstre | \ nu +1 \ højre \ rangle}på^†{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk}}

Eigenværdier for operatør N

Lad være en egentilstand med ν ikke-heltal , positiv, N er det første heltal således at N> ν , det følger af forholdet , at anvendelsen af N- tider for udslettelsesoperatoren tillod at opnå en egentilstand af med en negativ egenværdi , som er ikke mulig, da egenværdierne for er positive eller nul. |v⟩{\ displaystyle \ left | \ nu \ right \ rangle}på^|v⟩=v|v-1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ nu \ right \ rangle = {\ sqrt {\ nu}} \ left | \ nu -1 \ right \ rangle}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}IKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}}

På den anden side, hvis ν = n , n strengt positivt heltal, n efterfølgende kort giver :, og et nyt kort giver derefter vektoren nul. på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}(på^)ikke|v=ikke⟩=ikke!|0⟩{\ displaystyle \ left ({\ hat {a}} \ right) ^ {n} \ left | \ nu = n \ right \ rangle = {\ sqrt {n!}} \ left | 0 \ right \ rangle}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}

Derfor er operatørens eneste egenværdier ν heltal n positive eller nullIKKE^{\ displaystyle {\ hat {N}}} . Betegnelsen operatørens "antal vibrationskvanta" ovenfor er derfor berettiget.

De tidligere resultater giver derefter:

Energierne tilgængelige ved oscillatoren er: med n positivt eller nul heltalEikke=ℏω(ikke+12){\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right)}

Disse tilstande har følgende generelle egenskaber:

1. Energierne tilgængelige med oscillatoren kvantificeres . Dette resultat har mange konsekvenser i statistisk fysik for eksempel: i virkeligheden er det umuligt at beskrive de termiske egenskaber af faste stoffer (korrekt varmekapacitet for eksempel) uden at tage hensyn til den kvantificerede karakter af vibrationer tilstande af de atomer, der udgør dem.
2. Energitilstandene er fordelt den samme mængdeℏω{\ displaystyle \ hbar \ omega} . Dette gør det muligt at overveje, at passagen fra tilstand n til tilstand n + p svarer til "absorptionen" af p- kvante af energi af systemet. Denne måde at tænke på er faktisk meget frugtbar: Studiet af vibrationer i faste stoffer fører således til indførelsen af ​​begrebet fononer , der opfører sig som kvasipartikler. Ligeledes og mere markant fører kvantificeringen af ​​det elektromagnetiske felt til introduktion af egenfunktionerne i dette felt, kaldet "  fotoner  ".
3. Som det allerede har vist kvalitativt, er jordtilstandens energi ikke-nul med ofte kaldt "  nulpunktsenergi  " af oscillatoren. Det er allerede vist, at denne situation, meget forskellig fra det klassiske tilfælde, skyldes Heisenbergs usikkerhedsforhold .E0=ℏω2{\ displaystyle E_ {0} = {\ frac {\ hbar \ omega} {2}}}

Bestemmelse af egenstater

Ikke-degeneration af jordtilstanden

Forudsat at grundtilstanden er k- gange degenereret, er det muligt at stille med λ = 1,2, ..., k. Som for alle λ er det muligt at vende tilbage til definitionen af ​​tilintetgørelsesoperatoren og give den tilsvarende differentialligning i positionsrepræsentation, som bølgefunktionerne skal tilfredsstille for alle k  : |0⟩=|0,λ⟩{\ displaystyle \ left | 0 \ right \ rangle = \ left | 0, \ lambda \ right \ rangle}på^|0,λ⟩=0→{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | 0, \ lambda \ right \ rangle = {\ vec {0}}}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}ψ0λ(x){\ displaystyle \ psi _ {0} ^ {\ lambda} (x)}

dψ0λdx+mωℏxψ0λ(x)=0{\ displaystyle {\ frac {d \ psi _ {0} ^ {\ lambda}} {dx}} + {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x \ psi _ {0} ^ {\ lambda} (x) = 0}.

Denne ligning er letopløselig ved separation af de variable og resulterede i den samme funktion ved en konstant (normalt kompliceret) Standardisering tæt: . ψ0(x)=VS0eksp⁡(-mω2ℏx2){\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = C_ {0} \ exp {\ left (- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} x ^ {2} \ right)}}

Normaliseringen af ​​dette resultat gør det muligt at opnå . VS0=(mωπℏ)14{\ displaystyle C_ {0} = \ left ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar}} \ right) ^ {\ frac {1} {4}}}

Derfor er løsningen proportional med hinanden, og grundtilstanden er ikke degenereret.

Det er så let at se, at alle Hamilton-egenstaterne ikke er degenererede: ja, hvis dette var tilfældet, ville det være muligt fra to tilstande og den samme energi at opnå ved at anvende operatøren n gange skala to degenererede og forskellige jordtilstande , hvilket er umuligt på grund af jordtilstandens ikke-degeneration. |ikke,1⟩{\ displaystyle \ left | n, 1 \ right \ rangle}|ikke,2⟩{\ displaystyle \ left | n, 2 \ right \ rangle}Eikke{\ displaystyle E_ {n}}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}|0,1⟩{\ displaystyle \ left | 0,1 \ right \ rangle}|0,2⟩{\ displaystyle \ left | 0,2 \ right \ rangle}

Eigenstates af operatør N

En demonstration af tilbagefald ved hjælp af operatør for at skabe quantum vibrationer viser, at egne udtalelser er skrevet: . på^†på^{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} {\ hat {a}}}|ikke⟩=1ikke!(på^†)ikke|0⟩{\ displaystyle | n \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right) ^ {n} | 0 \ rangle}

I positionsrepræsentation er det tilstrækkeligt at erstatte udtryk for og opnå ekspression af bølgefunktionen i form: på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}ψ0(x)=⟨x|0⟩{\ displaystyle \ psi _ {0} (x) = \ left \ langle x | 0 \ right \ rangle}ψikke(x)=⟨x|ikke⟩{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = \ venstre \ langle x | n \ højre \ rangle}

ψikke(x)=12ikkeikke!(mωπℏ)14(x-ddx)ikkeeksp⁡(-x22){\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ {n} n!}}} \ venstre ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} } \ højre) ^ {\ dfrac {1} {4}} \ venstre (X - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} X}} \ højre) ^ {n} \ exp {\ venstre (- {\ frac {X ^ {2}} {2}} \ højre)}}, med nedsat position.x=mωℏx{\ displaystyle X = {\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x}

Ved at introducere Hermite-polynomierne i deres såkaldte "fysiske" form defineret af, er det endelig muligt at opnå det generelle udtryk for bølgefunktionen  : Hikke(x){\ displaystyle H_ {n} (X)}e-x22Hikke(x)=(x-ddx)ikkee-x22{\ displaystyle e ^ {- {\ frac {X ^ {2}} {2}}} H_ {n} (X) = \ left (X - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d } X}} \ højre) ^ {n} e ^ {- {\ frac {X ^ {2}} {2}}}}ψikke(x){\ displaystyle \ psi _ {n} (x)}

ψikke(x)=12ikkeikke!(mωπℏ)14Hikke(mωℏx)e-mω2ℏx2{\ displaystyle \ psi _ {n} (x) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 ^ {n} n!}}} \ venstre ({\ frac {m \ omega} {\ pi \ hbar} } \ højre) ^ {\ dfrac {1} {4}} H_ {n} \ venstre ({\ sqrt {\ frac {m \ omega} {\ hbar}}} x \ højre) e ^ {- {\ frac {m \ omega} {2 \ hbar}} x ^ {2}}}.

Det er let at kontrollere, at disse bølgefunktioner er ortogonale over for hinanden og normaliserede til enhed ved hjælp af ortogonalitetsforholdene mellem Hermite-polynomer . Endvidere pariteten bølgefunktionens er at n . ψikke(x){\ displaystyle \ psi _ {n} (x)}

Denne sidste relation giver os mulighed for eksplicit at finde så mange bølgefunktioner som nødvendigt. For eksempel for det kommer:ikke=1{\ displaystyle n = 1 \,}
ψ1(x)=(4π(mωℏ)3)14xe-12mωℏx2{\ displaystyle \ psi _ {1} (x) = \ left ({\ frac {4} {\ pi}} \ left ({\ frac {m \ omega} {\ hbar}} \ right) ^ {3} \ højre) ^ {\ frac {1} {4}} x \; e ^ {- {\ frac {1} {2}} {\ frac {m \ omega} {\ hbar}} x ^ {2}} }

Matrixrepræsentation

• Den repræsentative matrix for Hamiltonian på basis af er ved konstruktion diagonal.H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}|ikke⟩{\ displaystyle \ grøn n \ rangle}

Vi har H^=ℏω(1/200⋯01+1/20⋯002+1/2⋯⋯⋯⋯⋱){\ displaystyle {\ hat {H}} = \ hbar \ omega {\ begin {pmatrix} 1/2 & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & 1 + 1/2 & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & 2 + 1/2 & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

• At vide det ved at multiplicere til venstre med det kommerpå^†|ikke⟩=ikke+1|ikke+1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ vert n \ rangle = {\ sqrt {n + 1}} \ grøn n + 1 \ rangle}|k⟩{\ displaystyle \ vert k \ rangle}på^k,ikke†=ikke+1⟨k|ikke+1⟩=ikke+1δk,ikke+1{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {k, n} ^ {\ dagger} = {\ sqrt {n + 1}} \ langle k \ vert n + 1 \ rangle = {\ sqrt {n + 1} } \ delta _ {k, n + 1}}

Den repræsentative matrix på basis af er derfor på^†{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk}}|ikke⟩{\ displaystyle \ grøn n \ rangle}på^†=(0000⋯1000⋯0200⋯0030⋯⋯⋯⋯⋯⋱){\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots \\ 1 & 0 & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & 0 & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ ddots \ end {pmatrix }}}

Da matrixen er bygget ved at transponere  :på^k,ikke=på^ikke,k†{\ displaystyle {\ hat {a}} _ {k, n} = {\ hat {a}} _ {n, k} ^ {\ dolk}}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}på^†{\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dolk}}på^=(0100⋯0020⋯0003⋯0000⋯⋯⋯⋯⋯⋱){\ displaystyle {\ hat {a}} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ cdots \\ 0 & 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & \ cdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

• Det er så let at konstruere de repræsentative matricer for de observerbare og siden:x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^{\ displaystyle {\ hat {p}}}

x^=ℏmωx^=ℏ2mω(på^+på^†){\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar} {m \ omega}}} {\ hat {X}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar} {2m \ omega }}} \ venstre ({\ hat {a}} + {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ højre)}og s^=ℏmωP^=-jegℏmω2(på^-på^†){\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ sqrt {\ hbar m \ omega}} {\ hat {P}} = - i {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar m \ omega} {2}}} \ left ({\ hat {a}} - {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ højre)}

så og x^=ℏ2mω(0100⋯1020⋯0203⋯0030⋯⋯⋯⋯⋯⋱){\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar} {2m \ omega}}} {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 & \ cdots \\ 1 & 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & \ cdots \\ 0 & {\ sqrt {2}} & 0 & {\ sqrt {3}} & \ cdots \\ 0 & 0 & {\ sqrt {3}} & 0 & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}s^=ℏmω2(0-jeg00⋯jeg0-jeg20⋯0jeg20-jeg3⋯00jeg30⋯⋯⋯⋯⋯⋱){\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar m \ omega} {2}}} {\ begin {pmatrix} 0 & -i & 0 & 0 & \ cdots \\ i & 0 & -i {\ sqrt {2}} & 0 & \ cdots \\ 0 & i {\ sqrt {2}} & 0 & -i {\ sqrt {3}} & \ cdots \\ 0 & 0 & i {\ sqrt {3}} & 0 & \ cdots \\\ cdots & \ cdots & \ cdots & \ cdots & \ ddots \ end {pmatrix}}}

Det er derefter muligt at verificere følgende egenskaber for de observerbare og  : x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}

• De eneste matrixelementer, der ikke er nul, hos disse operatorer er således dem, der tages mellem staterne og .|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}|ikke±1⟩{\ displaystyle \ left | n \ pm 1 \ right \ rangle}
• Middelværdierne for positionen og pulsen er nul, når systemet er i ren tilstand .|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

Udvikling af gennemsnitsværdier over tid - klassisk grænse

I tilfælde af en Hamilton, som ikke udtrykkeligt afhænger af tiden, følger det af Schrödinger-ligningen , at tilstandsvektoren opnås fra den, der til enhver tid er taget af: H^{\ displaystyle {\ hat {H}}}∂∂t|Ψ(t)⟩=-jegℏH^|Ψ(t)⟩{\ displaystyle {\ partial \ over \ partial t} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle = {\ dfrac {-i} {\ hbar}} {\ hat {H}} \ left | \ Psi ( t) \ højre \ rangle}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}t0{\ displaystyle t_ {0}}

|Ψ(t)⟩=eksp⁡(-jeg(t-t0)ℏH^)|Ψ(t0)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle = \ exp {\ left (- {\ dfrac {i (t-t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {H}} \ højre)} \ venstre | \ Psi (t_ {0}) \ højre \ rangle}.

Nu når de komplekse koefficienter er sådan, at de normaliseres til enhed, i tilfælde af en harmonisk oscillator er udtrykket for tilstandsvektoren på en hvilken som helst dato t ( > t0 ) som følger: |Ψ(t0)⟩=∑ikke=0+∞vs.ikke(t0)|ikke⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t_ {0}) \ right \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (t_ {0}) \ left | n \ right \ rangle}vs.ikke(t0){\ displaystyle c_ {n} (t_ {0})}|Ψ(t0)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t_ {0}) \ right \ rangle}

|Ψ(t)⟩=∑ikke=0+∞vs.ikke(t0)eksp⁡(-jeg(t-t0)ℏH^)|ikke)⟩=eksp⁡(-jegω(t-t0)2)∑ikke=0+∞vs.ikke(t0)eksp⁡(-jegikkeω(t-t0))|ikke⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (t_ {0}) \ exp {\ left (- {\ dfrac {i (t-t_ {0})} {\ hbar}} {\ hat {H}} \ højre)} venstre | n) \ højre \ rangle = \ exp {\ venstre ({\ frac {-i \ omega (t-t_ {0})} {2}} \ right)} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} (t_ {0}) \ exp {\ left (-in \ omega (t-t_ {0}) \ højre)} \ venstre | n \ højre \ rangle}.

Derfor er middelværdien af ​​ethvert observerbart givet som en funktion af tiden ved: på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}

⟨på^⟩=⟨Ψ(t)|på^|Ψ(t)⟩=∑s=0+∞∑ikke=0+∞vs.s∗(t0)vs.ikke(t0)PÅmikkeeksp⁡(jeg(m-ikke)ω(t-t0)){\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {a}} \ right \ rangle = \ left \ langle \ Psi (t) \ right | {\ hat {a}} \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle = \ sum _ {p = 0} ^ {+ \ infty} \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {p} ^ {*} (t_ {0}) c_ {n} (t_ { 0}) A_ {mn} \ exp {\ left (i (mn) \ omega (t-t_ {0}) \ right)}}, med , matrixelement af det observerbare mellem og .PÅmikke≡⟨m|på^|ikke⟩{\ displaystyle A_ {mn} \ equiv \ left \ langle m \ right | {\ hat {a}} \ left | n \ right \ rangle}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}|m⟩{\ displaystyle \ left | m \ right \ rangle}|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

Især for de observerbare og de eneste ikke-nul elementer i matricer er dem mellem og følgelig involverer udviklingen af ​​deres gennemsnitlige størrelser kun termer i , det vil sige sinusformede funktioner  : dette svarer godt til en klassisk opførsel for en harmonisk oscillator . x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}|ikke±1⟩{\ displaystyle \ left | n \ pm 1 \ right \ rangle}|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}eksp⁡(±jegω(t-t0)){\ displaystyle \ exp {\ left (\ pm i \ omega (t-t_ {0}) \ right)}}

Dette sidste resultat kan også opnås fra Ehrenfests sætning , som tager hensyn til det faktum, at og ikke afhænger eksplicit af tid, er skrevet for hver middelværdi: x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^x{\ displaystyle {\ hat {p}} _ {x}}

ddt⟨x^⟩=1jegℏ⟨[x^,H^]⟩=12mjegℏ⟨[x^,s^x2]⟩=12mjegℏ⟨([x^,s^x]s^x+s^x[x^,s^x])⟩{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ left [{\ hat {x}}, {\ hat {H}} \ højre] \ højre \ rangle = {\ frac {1} {2mi \ hbar}} \ venstre \ langle \ venstre [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} _ {x} ^ {2} \ højre] \ højre \ rangle = {\ frac {1} {2mi \ hbar}} \ venstre \ langle \ venstre (\ venstre [{\ hat {x}} , {\ hat {p}} _ {x} \ højre] {\ hat {p}} _ {x} + {\ hat {p}} _ {x} \ venstre [{\ hat {x}}, { \ hat {p}} _ {x} \ højre] \ højre) \ højre \ rangle}, ddt⟨s^x⟩=1jegℏ⟨[s^x,H^]⟩=mω22jegℏ⟨[s^x,x^2]⟩=mω22jegℏ⟨([s^x,x^]x^+x^[s^x,x^])⟩{\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ right \ rangle = {\ frac {1} {i \ hbar}} \ left \ langle \ venstre [{\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {H}} \ højre] \ højre \ rangle = {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2i \ hbar}} \ venstre \ langle \ left [{\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {x}} ^ {2} \ right] \ right \ rangle = {\ frac {m \ omega ^ {2}} {2i \ hbar}} \ left \ langle \ left (\ left [{\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {x}} \ right] {\ hat {x}} + {\ hat {x}} \ venstre [{\ hat {p}} _ {x}, {\ hat {x}} \ højre] \ højre) \ højre \ rangle},

eller endelig ligningssystemet:

{ddt⟨x^⟩=⟨s^x⟩mddt⟨s^x⟩=-mω2⟨x^⟩{\ displaystyle {\ begin {cases} {\ frac {d} {dt}} \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle = {\ frac {\ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ højre \ rangle} {m}} \\ {\ frac {d} {dt}} \ venstre \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ højre \ rangle = -m \ omega ^ {2} \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle \ end {cases}}}.

For gennemsnitsværdierne er disse ligninger derfor identiske med dem for den klassiske harmoniske oscillator, der er angivet i første del. De giver ved integration af de sinusformede udviklinger af pulsering ω for middelværdierne for og . ⟨x^⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {x}} \ right \ rangle}⟨s^x⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {p}} _ {x} \ right \ rangle}

Fortolkning

Ved at analysere disse bølgefunktioner finder vi mange klassiske resultater: partiklen i den potentielle brønd har større sandsynlighed for tilstedeværelse, hvis den har en højere energi (en kugle i bunden af ​​en brønd vil stige højere på kanterne, hvis den har mere energi ), er det mere sandsynligt, at partiklen ender i disse positioner langt fra centrum af brønden (kuglen har en hastighed, der er desto langsommere, jo højere den er i brønden: den går derfor til at bruge meget mere tid i højden end ved bunden af ​​brønden).

Sammenhængende stater

De sammenhængende stater , bemærkede , er per definition de egentilstande af udslettelse operatør , egenværdier  : . |a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}på^{\ displaystyle {\ hat {a}}}a∈VS{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {C}}på^|a⟩=a|a⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ alpha \ right \ rangle = \ alpha \ left | \ alpha \ right \ rangle}

Generelle egenskaber ved sammenhængende stater |a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle} Udtryk af på basis af Hamiltonstatens egenstater|a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

Det er muligt at bede generelt om enhver stat  : |a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}

|a⟩=∑ikke=0∞vs.ikke(a)|ikke⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (\ alpha) \ left | n \ right \ rangle}Med som vil blive valgt således, at blive normaliseret til enhed: .vs.ikke(a)∈VS{\ displaystyle c_ {n} (\ alpha) \ in \ mathbb {C}}|a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}⟨a|a⟩=1⇒∑ikke=0∞|vs.ikke(a)|2=1{\ displaystyle \ left \ langle \ alpha | \ alpha \ right \ rangle = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ left | c_ {n} (\ alpha) \ right | ^ {2} = 1}

Ifølge definitionen af en sammenhængende stat givet ovenfor, og det faktum, at for enhver egentilstand , det kommer: |ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}på^|ikke⟩=ikke|ikke-1⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | n \ right \ rangle = {\ sqrt {n}} \ left | n-1 \ right \ rangle}

på^|a⟩=∑ikke=1∞vs.ikke(a)ikke|ikke-1⟩=a|a⟩=∑ikke=0∞avs.ikke(a)|ikke⟩{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | \ alpha \ right \ rangle = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} c_ {n} (\ alpha) {\ sqrt {n}} \ left | n-1 \ højre \ rangle = \ alpha \ venstre | \ alpha \ højre \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha c_ {n} (\ alpha) \ venstre | n \ højre \ rangle}, hvor vi har taget højde for .på^|0⟩=0{\ displaystyle {\ hat {a}} \ left | 0 \ right \ rangle = 0}

Ved at gå videre til en ændring af variablen i det første medlem, skrives egenværdi ligningen i bunden af  : |ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

∑ikke=0∞ikke+1vs.ikke+1(a)|ikke⟩=∑ikke=0∞avs.ikke(a)|ikke⟩{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ sqrt {n + 1}} c_ {n + 1} (\ alpha) \ left | n \ right \ rangle = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ alpha c_ {n} (\ alpha) \ left | n \ right \ rangle},

som giver medlem af medlem identifikation af følgende gentagelsesforhold mellem koefficienterne  : vs.ikke(a){\ displaystyle c_ {n} (\ alpha)}

vs.ikke+1(a)=aikke+1vs.ikke(a){\ displaystyle c_ {n + 1} (\ alpha) = {\ frac {\ alpha} {\ sqrt {n + 1}}} c_ {n} (\ alpha)}, som derefter giver mulighed for at opnå udtryk for som en funktion af  :vs.ikke(a){\ displaystyle c_ {n} (\ alpha)}vs.0(a){\ displaystyle c_ {0} (\ alpha)} vs.ikke(a)=aikkeikke!vs.0(a){\ displaystyle c_ {n} (\ alpha) = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} c_ {0} (\ alpha)}.

Den konstante kan være obtneue ved hjælp af den tidligere normalisering tilstand, som så giver enten ved at tage fase enighed om, at alle koefficienterne er reelle, vi endelig: . vs.0(a){\ displaystyle c_ {0} (\ alpha)}∑ikke=0∞|a|2ikkeikke!|vs.0(a)|2=|vs.0(a)|2eksp⁡(|a|2)=1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left | \ alpha \ right | ^ {2n}} {n!}} \ left | c_ {0} (\ alpha) \ højre | ^ {2} = \ venstre | c_ {0} (\ alpha) \ højre | ^ {2} \ exp {\ venstre (\ venstre | \ alpha \ højre | ^ {2} \ højre)} = 1}vs.ikke(a){\ displaystyle c_ {n} (\ alpha)}vs.ikke(a)=aikkeikke!eksp⁡(-|a|22){\ displaystyle c_ {n} (\ alpha) = {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} \ exp {\ left (- {\ tfrac {\ left | \ alpha \ right | ^ {2}} {2}} \ højre)}}

Udviklingen på grundlag af egne stater er skrevet i sin endelige form: . |a⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle}|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}|a⟩=e(-|a|22)∑ikke=0∞aikkeikke!|ikke⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle = e ^ {\ left (- {\ tfrac {\ left | \ alpha \ right | ^ {2}} {2}} \ right)} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {\ sqrt {n!}}} \ Left | n \ right \ rangle}

Ligesom er det også muligt at skrive: |ikke⟩=1ikke!(på^†)ikke|0⟩{\ displaystyle | n \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {n!}}} \ left ({\ hat {a}} ^ {\ dagger} \ right) ^ {n} | 0 \ rangle}

|a⟩=e(-|a|22)∑ikke=0∞aikkeikke!(på^†)ikke|0⟩=e(-|a|22)eksp⁡(apå^†)|0⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha \ right \ rangle = e ^ {\ left (- {\ tfrac {\ left | \ alpha \ right | ^ {2}} {2}} \ right)} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ alpha ^ {n}} {n!}} \ Left ({\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ right) ^ {n} \ left | 0 \ right \ rangle = e ^ {\ left (- {\ tfrac {\ left | \ alpha \ right | ^ {2}} {2}} \ right)} \ exp {\ left (\ alpha {\ hat {a }} ^ {\ dolk} \ højre)} \ venstre | 0 \ højre \ rangle}.

Det er let at kontrollere, at hvis α = 0, reduceres denne udvikling til  : den harmoniske oscillators grundtilstand er derfor en sammenhængende tilstand med egenværdien α = 0 . |a=0⟩=|0⟩{\ displaystyle \ left | \ alpha = 0 \ right \ rangle = \ left | 0 \ right \ rangle}

Den sammenhængende tilstand som minimum bølgepakke

Det er let at demonstrere, at de sammenhængende tilstande er minimumsbølgepakker , dvs. de minimerer usikkerheden (standardafvigelser i dette tilfælde) ved måling af position og momentum: for enhver ensartet tilstand . |a⟩{\ displaystyle | \ alpha \ rangle}ΔxΔs=ℏ2{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p = {\ frac {\ hbar} {2}}}

Demonstration

Demonstrationen er let givet forholdene

x^=ℏmωx^=ℏ2mω(på^+på^†){\ displaystyle {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar} {m \ omega}}} {\ hat {x}} = {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar} {2m \ omega }}} \ venstre ({\ hat {a}} + {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ højre)}, s^=ℏmωs^=-jegℏmω2(på^-på^†){\ displaystyle {\ hat {p}} = {\ sqrt {\ hbar m \ omega}} {\ hat {p}} = - i {\ sqrt {\ dfrac {\ hbar m \ omega} {2}}} \ left ({\ hat {a}} - {\ hat {a}} ^ {\ dolk} \ højre)},

samt det faktum, at:

⟨a|på^†=(på^|a⟩)†{\ displaystyle \ langle \ alpha | {\ hat {a}} ^ {\ dagger} = \ left ({\ hat {a}} | \ alpha \ rangle \ right) ^ {\ dagger}},

og . på^på^†=1^+på^†på^{\ displaystyle {\ hat {a}} {\ hat {a}} ^ {\ dolk} = {\ hat {1}} + {\ hat {a}} ^ {\ dolk} {\ hat {a}} }

Det er let at kontrollere, at vi får for de gennemsnitlige værdier af , , og på en hvilken som helst sammenhængende tilstand følgende resultater: x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}x^2{\ displaystyle {\ hat {x}} ^ {2}}s^{\ displaystyle {\ hat {p}}}s^2{\ displaystyle {\ hat {p}} ^ {2}}

⟨x^⟩=ℏ2mω(a+a∗){\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} \ rangle = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}} \ left (\ alpha + \ alpha ^ {*} \ right)}og ,⟨x^2⟩=ℏ2mω(a2+a∗2+2|a|2+1){\ displaystyle \ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ rangle = {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}} \ left (\ alpha ^ {2} + \ alpha ^ {* 2} + 2 | \ alpha | ^ {2} +1 \ højre)} ⟨s^⟩=-jegmℏω2(a-a∗){\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} \ rangle = -i {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}} \ left (\ alpha - \ alpha ^ {*} \ right) }og .⟨s^2⟩=mℏω2(1+2|a|2-a2-a∗2){\ displaystyle \ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ rangle = {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}} \ left (1 + 2 | \ alpha | ^ {2} - \ alpha ^ {2} - \ alpha ^ {* 2} \ højre)}

Fra da af er der standardafvigelser for og  : x^{\ displaystyle {\ hat {x}}}s^{\ displaystyle {\ hat {p}}}

Δx=⟨x^2⟩-⟨x^⟩2=ℏ2mω{\ displaystyle \ Delta _ {x} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {x}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {x}} \ rangle ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {\ hbar} {2m \ omega}}}},

og . Δs=⟨s^2⟩-⟨s^⟩2=mℏω2{\ displaystyle \ Delta _ {p} = {\ sqrt {\ langle {\ hat {p}} ^ {2} \ rangle - \ langle {\ hat {p}} \ rangle ^ {2}}} = {\ sqrt {\ frac {m \ hbar \ omega} {2}}}}

Disse værdier afhænger ikke af α og giver ligestilling . ΔxΔs=ℏ2{\ displaystyle \ Delta x \ Delta p = {\ frac {\ hbar} {2}}}

Ansøgninger

For alle beregninger, hvor partikler er i en potentiel brønd, er den harmoniske tilnærmelse meget interessant (vi bemærker faktisk, at udviklingen begrænset til rækkefølge 2 i en brønd giver os en parabel). For eksempel, hvis vi vil studere en todimensionel "harmonisk fælde" ( Bose-Einstein kondens til 2D), kan vi bede følgende Hamiltonian om at starte undersøgelsen:H^=(s^x2+s^y22m+12mω2(x^2+y^2)){\ displaystyle {\ hat {H}} = \ venstre ({\ frac {{\ hat {p}} _ {x} ^ {2} + {\ hat {p}} _ {y} ^ {2}} {2m}} + {1 \ over 2} m \ omega ^ {2} \ venstre ({\ hat {x}} ^ {2} + {\ hat {y}} ^ {2} \ højre) \ højre) }

Tredimensionel generalisering

Disse beregninger for en enkelt dimension kan generaliseres meget godt til 3 dimensioner. Hamiltonianeren er så simpelthen i form af en sum af tre uafhængige Hamiltonianere, som derfor kan studeres separat nøjagtigt som vi gjorde tidligere.

Energierne tilgængelige fra oscillatoren er: Eikke=ℏω(ikke+32){\ displaystyle E_ {n} = \ hbar \ omega \ left (n + {\ frac {3} {2}} \ right)} (ikke≥0){\ displaystyle (n \ geq 0)}

med  : energi afhænger af tre uafhængige kvantetal. For den samme energi vil det derfor være muligt at forestille sig forskellige konfigurationer: energiniveauerne er degenereret . ikke=ikkex+ikkey+ikkez{\ displaystyle n = n_ {x} + n_ {y} + n_ {z}}

Vi beregner antallet af degenerationer for det niende energiniveau: gikke=(ikke+1)(ikke+2)2{\ displaystyle g_ {n} = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}

Anharmonisk oscillator

Den harmoniske model for en potentiel brønd er bestemt en interessant tilgang og i sidste ende ganske enkel, men for at studere afvigelserne fra et virkeligt systems harmonitet er det nødvendigt at skubbe den begrænsede udvikling af potentialet til en højere orden. Derefter introducerer vi et forstyrrende udtryk i Hamiltonian, og derefter bruger vi teorien om stationære forstyrrelser , de nye energier i systemet. W{\ displaystyle W}

Betegnelse i x 3

Hvis vi skubber den begrænsede udvikling af potentialet til ordre 3, opnår vi følgende forstyrrende udtryk med hensyn til den harmoniske oscillator: hvor er meget lille i forhold til 1. Partikelens bevægelse i et sådant potentiale n 'er ikke længere helt symmetrisk. Den teoretiske beregning af energierne giver derefter:W=ϵℏωx3{\ displaystyle W = \ epsilon \ hbar \ omega X ^ {3}}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}Eikke=(ikke+12)ℏω-154ϵ2(ikke+12)2ℏω-716ϵ2ℏω+...{\ displaystyle E_ {n} = \ venstre (n + {1 \ over 2} \ højre) \ hbar \ omega - {15 \ over 4} \ epsilon ^ {2} \ venstre (n + {1 \ over 2} \ højre) ^ {2} \ hbar \ omega - {7 \ over 16} \ epsilon ^ {2} \ hbar \ omega + ...}

Brugen af ​​forstyrrelsesmetoden til denne beregning pålægger et omtrentligt resultat (anden ordens korrektion her). Vi bemærker derefter, at energiniveauerne er blevet sænket af denne korrektion. Beregningen af ​​de nye bølgefunktioner viser, at de er dannet af koblinger mellem de gamle:Φikke(x)=Ψikke(x)+ϵ(-a(ikke)Ψikke+1(x)+a(ikke-1)Ψikke-1(x)-β(ikke)Ψikke+3(x)+β(ikke-3)Ψikke-3(x))+...{\ displaystyle \ Phi _ {n} (x) = \ Psi _ {n} (x) + \ epsilon \ left (- \ alpha (n) \ Psi _ {n + 1} (x) + \ alpha (n -1) \ Psi _ {n-1} (x) - \ beta (n) \ Psi _ {n + 3} (x) + \ beta (n-3) \ Psi _ {n-3} (x) \ højre) + ...}

Ansøgning

Et diatomisk molekyle i den harmoniske model kan absorbere og udsende elektromagnetiske bølger ved pulsen . Imidlertid observerer vi i praksis andre linjer absorberet eller udsendt: den anharmoniske model gør det muligt at tage dette i betragtning, da der ifølge det nye udtryk for bølgefunktionerne er to tilstande og kan være forbundet, selvom og forskellig fra mere af 1 . Konstanten kan således beregnes i dette eksempel ved at analysere absorption spektrum . ω{\ displaystyle \ omega}Φikke1{\ displaystyle \ Phi _ {n_ {1}}}Φikke2{\ displaystyle \ Phi _ {n_ {2}}}ikke1{\ displaystyle n_ {1}}ikke2{\ displaystyle n_ {2}}ϵ{\ displaystyle \ epsilon}

Bemærkninger

1. Mere præcist til "hældningen" af parabolen svarende til den repræsentative kurve for V (x) , se nedenfor.
2. Ifølge en fælles aftale ren tilstand af Schrödingerligningen for tiden er skrevet med store bogstaver Ψ: mens den for uafhængig ligning af tid er skrevet med små bogstaver ψ: . Det samme gælder for de tilknyttede bølgefunktioner i de forskellige repræsentationer.|Ψ⟩=|Ψ(x,t)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi \ right \ rangle = \ left | \ Psi (x, t) \ right \ rangle}|ψ⟩=|ψ(x)⟩{\ displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = \ left | \ psi (x) \ right \ rangle}
3. Denne proces, der består i at tage en "testbølgefunktion" og derfra få et udtryk for , afhængigt af visse parametre, som man derefter betragter som variabler, for at minimere , og derfor er estimering af værdien af ​​jordtilstanden meget frugtbar . Det er grundlaget for den variationelle metode , der anvendes for eksempel i den elementære teori om molekylære orbitaler (jf. Estimering af grundtilstanden for den molekylære ion eller numerisk, for eksempel i den variationelle Monte-Carlo-metode).⟨H^⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle}⟨H^⟩{\ displaystyle \ left \ langle {\ hat {H}} \ right \ rangle}H2+{\ displaystyle H_ {2} ^ {+}}
4. Faktisk som angivet under værdien af grundtilstanden er god .ℏω/2{\ displaystyle \ hbar \ omega / 2}
5. Imidlertid vil degeneration ved flere p- dimensioner være mulig. Faktisk i dette tilfælde er det muligt at vise, at vi er reduceret til p uafhængige harmoniske oscillatorer (normale tilstande), den samlede energi er summen af de energier, der er forbundet med hver af disse oscillatorer, dvs. . Det er klart, at der er flere mulige kombinationer af værdier af , derfor flere forskellige tilstande, der giver den samme værdi af systemets energi.Eikke1,...,ikkes=(ikke1+...+ikkes+s/2)ℏω{\ displaystyle E_ {n_ {1}, \ ldots, n_ {p}} = \ left (n_ {1} + \ ldots + n_ {p} + p / 2 \ right) \ hbar \ omega}ikkejeg{\ displaystyle n_ {i}}
6. Det betyder ikke, at der på en given tilstand af staten vektor systemet disse middelværdier er nul, da der i det generelle tilfælde resultaterne fra en superposition af egentilstande, se næste afsnit.|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}|Ψ(t)⟩{\ displaystyle \ left | \ Psi (t) \ right \ rangle}
7. Følgelig er sandsynligheden for, at der under en måling udføres for at finde systemet i tilstanden .|vs.ikke(t0)|2{\ displaystyle \ left | c_ {n} (t_ {0}) \ right | ^ {2}}t=t0{\ displaystyle t = t_ {0}}|ikke⟩{\ displaystyle \ left | n \ right \ rangle}

Se også

• oscillator
• klassisk harmonisk oscillator
• dunkl oscillator
• fononer
• harmonisk oscillator propagator

Bibliografi

• C. Cohen-Tannoudji , B. Diu og F. Laloë , kvantemekanik [ detalje af udgaven ].
• Albert Messiah , Quantum Mechanics [ detalje af udgaver ].
• Lev Landau og Evgueni Lifchits , Teoretisk fysik , t.  3: Kvantemekanik [ detaljer af udgaver ].
• Lev Landau og Evgueni Lifchits , Teoretisk fysik , t.  4: Kvanteelektrodynamik [ detaljer af udgaver ].
• JL Basdevant og J. Dalibard, Quantum Mechanics [ detalje af udgaver ].
• R. Feynman, kvantemekanik .
• Y. Ayant, E. Belorizky, Kursus i kvantemekanik .
• R. Shankar, Principles of quantum mechanics , 2 e  edition, NY, Plenum publishing, 1994, kap.  7 .
• O. Henri-Rousseau og Paul Blaise, "Quantum Oscillators", Wiley, Hoboken, NJ, 2011, 647 sider

eksterne links

• Plot af bølgefunktionerne og den tilhørende sandsynlighedstæthed for den kvanteharmoniske oscillator .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">