Kontakt (operatør)
En switch er en operatør introduceret i matematik og udvidet til kvantemekanik .
I matematik
I matematik , den kommutatoren giver en temmelig upræcis idé om, hvordan en lov er ikke kommutativ . Der er flere definitioner, der anvendes i gruppeteori og ringteori .
I gruppeteori
Lad være en gruppe og være og to elementer i gruppen. Vi kalder switch of og elementet i gruppen defineret af:
(G,⋆){\ displaystyle (G, \ star)}
g{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}
g{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
[g,h]=g⋆h⋆g-1⋆h-1{\ displaystyle [g, h] = g \ star h \ star g ^ {- 1} \ star h ^ {- 1}}![[g, h] = g \ stjerne h \ stjerne g ^ {{- 1}} \ stjerne h ^ {{- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97aabc2261187431ca26431c09b985fc39e0b7b)
.
Bemærk : En switch repræsenterer faktisk "permutabilitets" -fejlen for to elementer i gruppen:
g⋆h=[g,h]⋆h⋆g{\ displaystyle g \ star h = [g, h] \ star h \ star g}
Omskifteren er lig med det neutrale element i gruppen, hvis og kun hvis og er permutabel (dvs. hvis ).
g{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}
g⋆h=h⋆g{\ displaystyle g \ star h = h \ star g}![g \ stjerne h = h \ stjerne g](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/933378aa2d0e0741324757553c52d4d5a54df9da)
På den anden side kaldes den undergruppe, der genereres af sæt af afbrydere, den bemærkede afledte gruppe eller undergruppen af afbrydere af .
D(G){\ displaystyle D (G)}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Hvis reduceres til det neutrale element, er gruppen en abelsk gruppe .
D(G){\ displaystyle D (G)}
G{\ displaystyle G}![G](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f3c8921a3b352de45446a6789b104458c9f90b)
Bemærk, at vi skal overveje den undergruppe, der genereres af switches, fordi switchesættet generelt ikke er lukket for denne lov. Omskiftere bruges til at definere nilpotente grupper .
Bemærk: Nogle forfattere foretrækker at definere switchen og by
g{\ displaystyle g}
h{\ displaystyle h}![h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b26be3e694314bc90c3215047e4a2010c6ee184a)
[g,h]=g-1⋆h-1⋆g⋆h{\ displaystyle [g, h] = g ^ {- 1} \ star h ^ {- 1} \ star g \ star h}![[g, h] = g ^ {{- 1}} \ stjerne h ^ {{- 1}} \ stjerne g \ stjerne h](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c30aa8a76b92e681a94470f443aba830a38c48b8)
.
Identiteter
I det følgende betegnes loven ved multiplikation, og udtrykket betegner elementets konjugat (af ), det vil sige .
⋆{\ displaystyle \ star}
påx{\ displaystyle a ^ {x}}
x{\ displaystyle x}
på{\ displaystyle a}
xpåx-1{\ displaystyle xax ^ {- 1}}![{\ displaystyle xax ^ {- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c74dd46200bca14db56433961816906e15c8066d)
- [y,x]=[x,y]-1{\ displaystyle [y, x] = [x, y] ^ {- 1}}
![[y, x] = [x, y] ^ {{- 1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12cb086f360be80fa790f5c1900aae2685410ef)
- [[x,y-1],z]y[[y,z-1],x]z[[z,x-1],y]x=1{\ displaystyle [[x, y ^ {- 1}], z] ^ {y} [[y, z ^ {- 1}], x] ^ {z} [[z, x ^ {- 1}] , y] ^ {x} = 1}
![[[x, y ^ {{- 1}}], z] ^ {{y}} [[y, z ^ {{- 1}}], x] ^ {{z}} [[z, x ^ {{-1}}], y] ^ {{x}} = 1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e91d1b7de267c2093dd14e22f0a62782d8abd8)
- [xy,z]=[y,z]x[x,z]{\ displaystyle [xy, z] = [y, z] ^ {x} [x, z]}
![{\ displaystyle [xy, z] = [y, z] ^ {x} [x, z]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3edfc23eed8d804483924b794da59bda9dd5c5ab)
- [x,yz]=[x,y][x,z]y{\ displaystyle [x, yz] = [x, y] [x, z] ^ {y}}
![{\ displaystyle [x, yz] = [x, y] [x, z] ^ {y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4528792326fc1e1c7698cfdea4fa0f65c4a19b0c)
Den anden identitet er også kendt som Hall-Witt-identiteten . Dette er en identitet af gruppeteori analog med Jacobis identitet af teorien om switches i ringe (se næste afsnit).
I ringteori
Den kontakten af to elementer og en ring er defineret ved
på{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
[på,b]=påb-bpå {\ displaystyle [a, b] = ab-ba ~}
Det er nul, hvis og kun hvis og er permutable.
på{\ displaystyle a}
b{\ displaystyle b}![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
Ved hjælp af kommutatoren som en Lie-parentes kan enhver associerende algebra over et felt betragtes som en Lie-algebra . Kommutatoren for to operatører på et Hilbert-rum er et vigtigt begreb i kvantemekanik, da det måler, i hvilket omfang to beskrivelser af observerbare observatører kan måles samtidigt. Det princip usikkerhed er i sidste ende en switch teorem .
Ligeledes er anti-switch defineret som , ofte skrevet bemærket . Dette bør ikke forveksles med Poisson-krogen .
påb+bpå{\ displaystyle ab + ba}
{på,b}{\ displaystyle \ {a, b \}}![\ {a, b \}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8127b44bf0e5a64fdc9301e188852ab9b97a1fe8)
Identiteter
En switch kontrollerer følgende egenskaber:
Lige algebra forhold:
- [på,b]=-[b,på]{\ displaystyle [a, b] = - [b, a]}
![[a, b] = - [b, a]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adece7f0ed28f9e05adc8aaa566981b16294252c)
- [på,på]=0{\ displaystyle [a, a] = 0}
![[a, a] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee510f76c32f5510a287ab31014e035bb21f168)
- [på,[b,vs.]]+[b,[vs.,på]]+[vs.,[på,b]]=0{\ displaystyle [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0}
![[a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]] = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/426e93d6bc04ac187c27f0a671daca2c47c3c947)
Yderligere forhold:
-
[på,bvs.]=påbvs.-bvs.på=(påbvs.-bpåvs.)+(bpåvs.-bvs.på)=[på,b]vs.+b[på,vs.]{\ displaystyle \ left [a, bc \ right] = abc-bca = (abc-bac) + (bac-bca) = \ left [a, b \ right] c + b \ left [a, c \ right] }
hvorfra vi udleder (ved induktion)[på,bikke]=∑0≤k<ikkebk[på,b]bikke-1-k{\ displaystyle [a, b ^ {n}] = \ sum _ {0 \ leq k <n} b ^ {k} \ left [a, b \ right] b ^ {n-1-k}}
- [på,bvs.]=[påb,vs.]+[vs.på,b]{\ displaystyle [a, bc] = [ab, c] + [ca, b]}
![[a, bc] = [ab, c] + [ca, b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d849b019ed980073850231d4ed40a6ea28d7c4d)
- [påbvs.,d]=påb[vs.,d]+på[b,d]vs.+[på,d]bvs.{\ displaystyle [abc, d] = ab [c, d] + a [b, d] c + [a, d] bc}
![[abc, d] = ab [c, d] + a [b, d] c + [a, d] bc](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/123d909eebf6fdcbbccd4b96b28edadfbf783347)
Hvis er et givet element i en ring , kan den første tilføjelsesrelation også fortolkes som reglen for at aflede et produkt fra en given applikation af . Med andre ord definerer applikationen en gren på ringen .
på{\ displaystyle a}
PÅ{\ displaystyle A}
Dpå:PÅ→PÅ{\ displaystyle D_ {a}: A \ til A}
b↦[på,b]{\ displaystyle b \ mapsto [a, b]}
Dpå{\ displaystyle D_ {a}}
PÅ{\ displaystyle A}![PÅ](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
Graduerede algebraer
I en gradueret algebra erstatter vi den sædvanlige kommutator med den "graduerede kommutator", defineret på de homogene komponenter ved[ω,η]gr: =ωη-(-1)graderωgraderηηω.{\ displaystyle [\ omega, \ eta] _ {gr}: = \ omega \ eta - (- 1) ^ {\ deg \ omega \ deg \ eta} \ eta \ omega.}
I kvantemekanik
I kvantemekanikken , skift af to operatører og er: . Anvendt på en bølgefunktion gør en switch det muligt at vide, om det er muligt at måle to størrelser, der vedrører denne bølgefunktion samtidigt.
PÅ{\ displaystyle A}
B{\ displaystyle B}
[PÅ,B]=PÅB-BPÅ{\ displaystyle [A, B] = AB-BA}![[A, B] = AB-BA](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
Eksempel:
Vi definerer i realisering X de to følgende operatorer:
Derefter giver kontakten anvendt til en bølgefunktion :
Ψ(x){\ displaystyle \ Psi (x)}![\ Psi (x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8411ce878bfee5fba76012cdf74e18f8a0eba447)
[PÅ,B]ψ(x)=[x,-jegℏ∂∂x]ψ(x)=-jegℏx(∂ψ(x)∂x)+jegℏ∂∂x(xψ(x)){\ displaystyle [A, B] \ psi (x) = \ left [x, -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] \ psi (x) = - i \ hbar x \ left ({\ frac {\ partial \ psi (x)} {\ partial x}} \ right) + i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial x}} {\ bigl (} x \ psi ( x) {\ bigr)}}
=-jegℏx∂ψ(x)∂x+jegℏψ(x)+jegℏx∂ψ(x)∂x=jegℏψ(x){\ displaystyle = -i \ hbar x {\ frac {\ partial \ psi (x)} {\ partial x}} + i \ hbar \ psi (x) + i \ hbar x {\ frac {\ partial \ psi ( x)} {\ partial x}} = i \ hbar \ psi (x)}
Så det har vi endelig . Omskifteren er ikke nul, så de to operatører er ikke kommutative . Så ifølge Heisenbergs usikkerhedsprincip er de to størrelser, der er positionen og hastigheden, ikke målelige samtidigt.
[x,-jegℏ∂∂x]=jegℏ{\ displaystyle \ left [x, -i \ hbar {\ tfrac {\ partial} {\ partial x}} \ right] = i \ hbar}![{\ displaystyle \ left [x, -i \ hbar {\ tfrac {\ partial} {\ partial x}} \ right] = i \ hbar}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd9fab577226bece4ae868b143bf6d8d4f6f2a1e)
Referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den
engelske Wikipedia- artikel med titlen
" Commutator " ( se listen over forfattere ) .
-
Givet som i (en) Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics , Wiley ,[ℏjeg∂∂x,x]=ℏjeg{\ displaystyle \ left [{\ frac {\ hbar} {i}} {\ tfrac {\ partial} {\ partial x}}, x \ right] = {\ frac {\ hbar} {i}}}
2003, 3 e ed. , 336 s. ( ISBN 0-471-42945-7 , læs online ) , s. 51.
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">