Legendre polynom
I matematik og teoretisk fysik udgør Legendre polynomier det enkleste eksempel på en sekvens af ortogonale polynomier . Disse er løsninger polynomium P n ( x ) af differentialligningen af Legendre :
ddx[(1-x2)ddxPikke(x)]+ikke(ikke+1)Pikke(x)=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} P_ {n} (x) \ højre] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} P_ {n} (x) \ højre] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca5abe3da4707a5253fdff65fa1a417cf778c7b3)
,
i det særlige tilfælde, hvor parameteren n er et heltal . Legendre polynomer er kun defineret for x ∈ [-1; 1] da punkterne x = ± 1 er regelmæssige entalpunkter i denne differentialligning.
Disse ortogonale polynomer har mange anvendelser både i matematik, for eksempel til nedbrydning af en seriefunktion af Legendre-polynomer og i fysik, hvor Legendre-ligningen vises naturligt under opløsningen af Laplace- eller Laplace- ligningerne. Helmholtz i sfæriske koordinater .
En ækvivalent definition, mere abstrakt, men begrebsmæssigt interessant, er at overveje, at Legendre-polynomierne er egenfunktionerne i endomorfismen
defineret af:
R[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}![{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
P∈R[x]↦u(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2 }) {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} x}} \ right]}![{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2 }) {\ frac {\ mathrm {d} P} {\ mathrm {d} x}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0a1c2813b4d20e234e72a401ff1d642e53adcea)
,
for egenværdien .
-ikke(ikke+1), ikke∈IKKE{\ displaystyle -n (n + 1), \ n \ i \ mathbb {N}}![{\ displaystyle -n (n + 1), \ n \ i \ mathbb {N}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/939301173ed77db828ae75fac514bbf1dda5c7c2)
Legendre polynomer udgør det specielle tilfælde af Jacobi polynomer P( α , β )
nfor hvilke parametrene α og β er nul: P n ( x ) = P(0,0)
n( x ) .
Generelle definitioner og egenskaber
Definition som en løsning på Legendres ligning
Vi kalder Legendres ligning ligningen:
ddx[(1-x2)dydx]+a(a+1)y=0{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x}} \ højre] + \ alpha (\ alpha +1) \, y = 0}![{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d } x}} \ højre] + \ alpha (\ alpha +1) \, y = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/affa18291ce79b18c2ee0872005fb160cf41dc6c)
,
med generelt . Det er muligt at søge efter løsninger på denne differentialligning i form af hele serier , for eksempel ved hjælp af Frobenius-metoden . Da differentialligningen indrømmer for regelmæssige entallige punkter (enkle poler) værdierne x = ± 1 , vil denne serie kun konvergere for | x | <1 .
a∈R{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}![{\ displaystyle \ alpha \ in \ mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7988141e89a37e7f4deb883dbd74d9bbd6d11317)
I det særlige tilfælde hvor α = n naturligt heltal er det muligt at opnå opløsninger, der er regelmæssige ved punkterne x = ± 1 , og for hvilke serien stopper ved slutningen af grad n , dvs. opløsninger i form af polynomer.
Følgelig Legendre polynomiet P n (for hver naturligt tal n , og for x ∈ [1; 1] ) er derfor en opløsning af differentialligning:
ddx[(1-x2)dPikke(x)dx]+ikke(ikke+1)Pikke(x)=0,Pikke(1)=1.{\ displaystyle {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P_ {n } (x)} {{\ textrm {d}} x}} \ højre] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0, \ qquad P_ {n} (1) = 1. }![{\ displaystyle {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P_ {n } (x)} {{\ textrm {d}} x}} \ højre] + n (n + 1) \, P_ {n} (x) = 0, \ qquad P_ {n} (1) = 1. }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3aa7cd67b776d5fa007844d91933d67b7756044)
Denne ligning er naturligvis knyttet til Laplace-ligningen Δ f = 0 , skrevet i sfæriske koordinater , som især forekommer i elektrostatik . Når vi leder efter en løsning, der ikke afhænger af azimutvinklen φ i form af et produkt f ( r , θ ) = A ( r ) B ( θ ) af to funktioner af en eneste variabel, bekræftes ligningen af B således opnået har formen:
(1syndθ)ddθ(syndθdBdθ)+ikke(ikke+1)B=0{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta \ , {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} \ theta}} \ højre) + n (n + 1) \, B = 0}![{\ displaystyle \ left ({\ frac {1} {\ sin \ theta}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ theta}} \ left (\ sin \ theta \ , {\ frac {\ mathrm {d} B} {\ mathrm {d} \ theta}} \ højre) + n (n + 1) \, B = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90aa6aff40599b61a4b041ec0c5c1f6458e3b1d6)
,
hvor n ( n + 1) er separationskonstanten. Ændringen af variablen x = cos θ gør det muligt at kontrollere, at B følger Legendres ligning. De eneste fysisk acceptable løsninger, det vil sige som ikke afviger for x → ± 1, er derefter dem, for hvilke n er heltal, derfor Legendre polynomier.
Demonstration
Faktisk i sfæriske koordinater ( r , θ , φ ) er Laplace ligningen skrevet:
1r2∂∂r(r2∂f∂r)+1r2syndθ∂∂θ(syndθ∂f∂θ)+1r2synd2θ∂2f∂φ2=0{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial r }} \ højre) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ delvis f} {\ partial \ theta}} \ højre) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ delvis \ varphi ^ {2}}} = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} {\ frac {\ partial f} {\ partial r }} \ højre) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {\ delvis f} {\ partial \ theta}} \ højre) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ delvis \ varphi ^ {2}}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e37e3b54cb37ae29df278ef7fd3b1c9996f4e46b)
.
I det tilfælde hvor problemet er sådan, at opløsningen ikke afhænger af azimutvinklen φ , og således søger efter en løsning ved fremgangsmåden til adskillelse af variabler, har formen
f ( r , θ ) = A ( r ) B ( θ ) det kommer ved erstatning:
1r2ddr(r2dPÅdr)B(θ)+1r2syndθddθ(syndθdBdθ)PÅ(r)=0{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ venstre (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ højre) B ( \ theta) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {dB} {d \ theta}} \ højre) A (r) = 0}![{\ displaystyle {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ venstre (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ højre) B ( \ theta) + {\ frac {1} {r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac {dB} {d \ theta}} \ højre) A (r) = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fdb0ed78746429d30325dc12a4dda3164dbf55cb)
,
enten ved at dividere medlem efter medlem med produktet A ( r ) B ( θ ) :
1PÅ(r)r2ddr(r2dPÅdr)=-1B(θ)r2syndθddθ(syndθdBdθ){\ displaystyle {\ frac {1} {A (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ højre) = - {\ frac {1} {B (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { dB} {d \ theta}} \ højre)}![{\ displaystyle {\ frac {1} {A (r) r ^ {2}}} {\ frac {d} {dr}} \ left (r ^ {2} {\ frac {dA} {dr}} \ højre) = - {\ frac {1} {B (\ theta) r ^ {2} \ sin \ theta}} {\ frac {d} {d \ theta}} \ left (\ sin \ theta {\ frac { dB} {d \ theta}} \ højre)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2656c80a08b60a99e23fc88d642fd5693fa5a2e0)
.
Da vi skal have lighed mellem hvert af de to medlemmer, afhængigt af to forskellige variabler, for alle de mulige værdier for sidstnævnte, skal hvert af dem være lig med en konstant, kaldet en separationskonstant, som det er muligt at skrive uden tab af generalitet i form α ( α + 1) med α ægte. Ændringen af variablen x = cos θ gør det muligt at sætte ligningen, der er resultatet af det andet medlem, i form af en Legendre ligning. Imidlertid søger vi i fysik løsninger defineret for alle mulige værdier for vinklen θ , det vil sige faktisk regelmæssig i x = ± 1 , derfor med α = n , n heltal er den vinklede del af Laplace-ligningen derfor godt i den viste form.
Definition som egenfunktioner af en endomorfisme
I en mere abstrakt måde, er det muligt at definere Legendre polynomier P n da egenfunktioner for egenværdier - n ( n + 1) , med n heltal, af endomorfien defineres på :
R[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}![\ mathbb {R} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
P∈R[x]↦u(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}![{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ mapsto u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0657561c8c62a632d6a3094a48a6f7f25a07362c)
.
Denne mere abstrakte definition er især interessant for at demonstrere legendariske polynomers ortogonale egenskaber.
Generatorfunktion
Vi kan også definere denne sekvens af polynomer ved hjælp af dens generatorserie :
11-2xz+z2=∑ikke=0∞Pikke(x)zikke{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xz + z ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) \, z ^ {ikke}}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xz + z ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) \, z ^ {ikke}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d9d6f12467cfbf092e6e5bc2503797567c6df99)
.
Dette udtryk forekommer især i fysikken, for eksempel i udviklingen i stor afstand af det elektrostatiske eller tyngdepotentiale (multipolær udvikling).
Hvis vi mener, at z generelt er kompleks, giver beregningen af koefficienterne i Laurent-serien derefter:
Pikke(x)=12πjeg∮(1-2xz+z2)-1/2z-ikke-1dz{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint (1-2xz + z ^ {2}) ^ {- 1/2} \, z ^ {- n-1} \, \ mathrm {d} z}![{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 \ pi i}} \ oint (1-2xz + z ^ {2}) ^ {- 1/2} \, z ^ {- n-1} \, \ mathrm {d} z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c09e02d4b5a48481470b714514e02bf0b3d7e60)
hvor omridset omgiver oprindelsen og tages mod uret.
Det er muligt at definere Legendre-polynomierne ved hjælp af denne generatorfunktion, ligesom ekspansionskoefficienterne.
Andre definitioner
Denne formel giver os hurtigt mulighed for at opnå udtryk for Legendre-ordens polynomium ( n + 1) fra ordrer n og ( n - 1) .
For ethvert heltal n ≥ 1 :
(ikke+1)Pikke+1(x)=(2ikke+1)xPikke(x)-ikkePikke-1(x){\ displaystyle (n + 1) \, P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) \, x \, P_ {n} (x) -n \, P_ {n-1} (x) }![{\ displaystyle (n + 1) \, P_ {n + 1} (x) = (2n + 1) \, x \, P_ {n} (x) -n \, P_ {n-1} (x) }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33582dbfea98a3ac76d3b831c48a90d706976d67)
med P 0 ( x ) = 1 og P 1 ( x ) = x . Det demonstreres let fra generatorfunktionen.
Demonstration
Ved at udlede med hensyn til variablen t definitionen af Legendre polynomer fra generatorfunktionen, kommer den efter omlejring:
x-t1-2xt+t2=(1-2xt+t2)∑ikke=1∞ikkePikke(x)tikke-1.{\ displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = (1-2xt + t ^ {2}) \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1}.}![{\ displaystyle {\ frac {xt} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = (1-2xt + t ^ {2}) \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} nP_ {n} (x) t ^ {n-1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03055e30e218098694bc54b8905e921bdb35d020)
.
Brug igen kommer det
11-2xt+t2=∑ikke=0∞Pikke(x)tikke{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n }}![{\ displaystyle {\ frac {1} {\ sqrt {1-2xt + t ^ {2}}}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16ffd508366bab5b346607fb14a9a37b59fa8033)
∑ikke=0∞xPikke(x)tikke-∑ikke=0∞Pikke(x)tikke+1=∑ikke=0∞(ikke+1)Pikke+1(x)tikke-2∑ikke=0∞(ikke+1)xPikke+1(x)tikke+1+∑ikke=0∞(ikke+1)Pikke+1(x)tikke+2.{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} xP_ {n} (x) t ^ {n} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n + 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n} -2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) xP_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2}.}![{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} xP_ {n} (x) t ^ {n} - \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} P_ {n} (x) t ^ {n + 1} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n} -2 \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) xP_ {n + 1} (x) t ^ {n + 1} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (n + 1) P_ {n + 1} (x) t ^ {n + 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/343c3266281d74840627d88371f44895e8c6def2)
Ved derefter at identificere termernes koefficienter med samme styrke som t , kommer det derefter:
- for n = 0 , enten ved at tage til normalisering tilstand , er det P 1 ( x ) = x ;xP0(x)=P1(x){\ displaystyle xP_ {0} (x) = P_ {1} (x)}
P0(x)=1,∀x∈[-1,1]{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1, \ forall x \ i [-1,1]}![{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1, \ forall x \ i [-1,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b458a2552021b365e91738f96a88f59e31e7a433)
- for n = 1 , enten med den samme betingelse for standardisering som ovenfor ;3xP1(x)-P0(x)=2P2(x){\ displaystyle 3xP_ {1} (x) -P_ {0} (x) = 2P_ {2} (x)}
P2(x)=3x2-12{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}![{\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {3x ^ {2} -1} {2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ec2c3c7fa91b8ea3240ef0d9ba6350cebc60097)
- generelt for n ≥ 1 , hvilket giver den forrige gentagelsesformel.(2ikke+1)xPikke(x)=(ikke+1)Pikke+1(x)+ikkePikke-1(x){\ displaystyle (2n + 1) xP_ {n} (x) = (n + 1) P_ {n + 1} (x) + nP_ {n-1} (x)}
![{\ displaystyle (2n + 1) xP_ {n} (x) = (n + 1) P_ {n + 1} (x) + nP_ {n-1} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba854df4eb148d41fd1dcb1f2477ec7660c68d39)
Ved som normalisering betingelse P 0 ( x ) = 1 , polynomiet P n ( x ) kan udtrykkes ved anvendelse Rodrigues' formel:
Pikke(x)=(12ikkeikke!)dikkedxikke[(x2-1)ikke]{\ displaystyle P_ {n} (x) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}}!! venstre [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ højre]}![{\ displaystyle P_ {n} (x) = \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n} n!}} \ right) {\ frac {\ mathrm {d} ^ {n}} {\ mathrm {d} x ^ {n}}}!! venstre [(x ^ {2} -1) ^ {n} \ højre]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/faf02f1f4f8dffee7fe975e9d78979a10f4f3404)
.
Definitioner som en sum
Vi definerer dette polynom på to måder som en sum:
Pikke(x)=12ikke∑k=0E(ikke/2)(-1)k(ikkek)(2ikke-2kikke)xikke-2k{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {E (n / 2)} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x ^ {n-2k}}![P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{E (n / 2)}} (- 1) ^ {k} {\ binom {n} {k}} {\ binom {2n-2k} {n}} x ^ {{n-2k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/767a4d6643f6763279da3532bbe15f813f9fd028)
(vi udleder )
P2ikke(0)=122ikke(-1)ikke(2ikkeikke){\ displaystyle P_ {2n} (0) = {\ frac {1} {2 ^ {2n}}} (- 1) ^ {n} {\ binom {2n} {n}} \,}![P _ {{2n}} (0) = {\ frac {1} {2 ^ {{2n}}} (- 1) ^ {n} {\ binom {2n} {n}} \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4b56b0cd39fe01a05873222ac5b16f3ef6e345)
Pikke(x)=12ikke∑k=0ikke(ikkek)2(x-1)ikke-k(x+1)k{\ displaystyle P_ {n} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {k = 0} ^ {n} {\ binom {n} {k}} ^ {2 } (x-1) ^ {nk} (x + 1) ^ {k}}![P _ {{n}} (x) = {\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ sum _ {{k = 0}} ^ {{n}} {\ binom {n} {k} } ^ {2} (x-1) ^ {{nk}} (x + 1) ^ {{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/661f3c013276ed31ba8a672c98e7e2b7ba19e7e3)
hvor vi brugte:
(ikkek)=ikke!(ikke-k)!k!{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}![{\ displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ frac {n!} {(nk)! k!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c5fdcec93e52c27b55b3e4de0c9728aca7d12be)
Nogle polynomer
De første elleve polynomer er:
- P0(x)=1{\ displaystyle P_ {0} (x) = 1 \,}
![P _ {{0}} (x) = 1 \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ae79f3c1f989d47802dddcb9a7d78846631e81a)
- P1(x)=x{\ displaystyle P_ {1} (x) = x \,}
![P _ {{1}} (x) = x \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d62f681eb0aa3c05ca4fce7f2090daf24fa3c83)
- P2(x)=12(3x2-1){\ displaystyle P_ {2} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {2} -1) \,}
![P _ {{2}} (x) = {\ frac {1} {2}} (3x ^ {{2}} - 1) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd61a626cdc0109a620597879343f3c897bd1c31)
- P3(x)=12(5x3-3x){\ displaystyle P_ {3} (x) = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {3} -3x) \,}
![P _ {{3}} (x) = {\ frac {1} {2}} (5x ^ {{3}} - 3x) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6757deb8578e3ba54fbc19eb23a8071d15374c2)
- P4(x)=18(35x4-30x2+3){\ displaystyle P_ {4} (x) = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {4} -30x ^ {2} +3) \,}
![P _ {{4}} (x) = {\ frac {1} {8}} (35x ^ {{4}} - 30x ^ {{2}} + 3) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f98adb9a2aa75e3eb4bfc773dece38b8da2c1318)
- P5(x)=18(63x5-70x3+15x){\ displaystyle P_ {5} (x) = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {5} -70x ^ {3} + 15x) \,}
![P _ {{5}} (x) = {\ frac {1} {8}} (63x ^ {{5}} - 70x ^ {{3}} + 15x) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/891ddaf68730a95c6599a70033d1ca42a937c01a)
- P6(x)=116(231x6-315x4+105x2-5){\ displaystyle P_ {6} (x) = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {6} -315x ^ {4} + 105x ^ {2} -5) \,}
![P _ {{6}} (x) = {\ frac {1} {16}} (231x ^ {{6}} - 315x ^ {{4}} + 105x ^ {{2}} - 5) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cd50af1d7333ab96cefa422e8148725afa82e00)
- P7(x)=116(429x7-693x5+315x3-35x){\ displaystyle P_ {7} (x) = {\ frac {1} {16}} (429x ^ {7} -693x ^ {5} + 315x ^ {3} -35x) \,}
![P _ {{7}} (x) = {\ frac {1} {16}} (429x ^ {{7}} - 693x ^ {{5}} + 315x ^ {{3}} - 35x) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17f8043a5ae596ad4c0ff1c09507325de5ad0d4)
- P8(x)=1128(6435x8-12012x6+6930x4-1260x2+35){\ displaystyle P_ {8} (x) = {\ frac {1} {128}} (6435x ^ {8} -12012x ^ {6} + 6930x ^ {4} -1260x ^ {2} +35) \, }
![P _ {{8}} (x) = {\ frac {1} {128}} (6435x ^ {{8}} - 12012x ^ {{6}} + 6930x ^ {{4}} - 1260x ^ {{ 2}} + 35) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6dac5dd66773b13f97111671d487beba8276fdec)
- P9(x)=1128(12155x9-25740x7+18018x5-4620x3+315x){\ displaystyle P_ {9} (x) = {\ frac {1} {128}} (12155x ^ {9} -25740x ^ {7} + 18018x ^ {5} -4620x ^ {3} + 315x) \, }
![P _ {{9}} (x) = {\ frac {1} {128}} (12155x ^ {{9}} - 25740x ^ {{7}} + 18018x ^ {{5}} - 4620x ^ {{ 3}} + 315x) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64c789af3c6ecb8c1ab3cbb13f19313bb7787042)
- P10(x)=1256(46189x10-109395x8+90090x6-30030x4+3465x2-63){\ displaystyle P_ {10} (x) = {\ frac {1} {256}} (46189x ^ {10} -109395x ^ {8} + 90090x ^ {6} -30030x ^ {4} + 3465x ^ {2 } -63) \,}
![P _ {{10}} (x) = {\ frac {1} {256}} (46189x ^ {{10}} - 109395x ^ {{8}} + 90090x ^ {{6}} - 30030x ^ {{ 4}} + 3465x ^ {{2}} - 63) \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43db79226e1b67519ed838e8583cc98160dc7e47)
Ejendomme
Grad
Polynomiet P n er af graden n .
Baseret
Familien er en familie af trinvise polynomer, det er et grundlag for vektorrummet .
(Pikke)ikke≤IKKE{\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ leq N}}
RIKKE[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {N} [X]}![\ mathbb {R} _ {N} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e671da2e38182d71ac2abdce9ffa3a17fcbdcb)
Paritet
Legendre polynomer følger pariteten af n . Vi kan udtrykke denne egenskab ved at:
Pikke(-x)=(-1)ikkePikke(x).{\ displaystyle P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x). \,}![P_ {n} (- x) = (- 1) ^ {n} P_ {n} (x). \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401b34278d2647061039638abf554d2857a23c0b)
(især og ).
Pikke(-1)=(-1)ikke{\ displaystyle P_ {n} (- 1) = (- 1) ^ {n}}
P2ikke+1(0)=0{\ displaystyle P_ {2n + 1} (0) = 0}![P _ {{2n + 1}} (0) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64ecf31879375574d99f34db8cb5fca68644d25a)
Orthogonality
En vigtig egenskab ved Legendre polynomer er deres ortogonalitet . Det er muligt at vise, for alle m , n heltal, at:
∫-11Pm(x)Pikke(x)dx=22ikke+1δmikke{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {2 \ over {2n + 1}} \ delta _ {mn}}![{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, dx = {2 \ over {2n + 1}} \ delta _ {mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d4e70468d5e50af5a09a376464191ca7f1a2a98)
Det er muligt at fortolke denne relation ved at introducere prikproduktet af to funktioner, defineret ud fra integralen af produktet af de to funktioner over et afgrænset interval:
⟨f,g⟩=∫påbf(x)g(x)W(x) dx{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}![{\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) W (x) ~ \ mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d0339bc5f8ef551d161cdfd35ba63273a46dd7f)
,
hvor W ( x ) kaldes "vægtfunktion", [ a , b ] er intervallet for ortogonalitet af de to funktioner, som kan være uendelig underlagt konvergens af integralet.
I tilfælde af Legendre-polynomer er ortogonalitetsintervallet [-1, 1], og vægtfunktionen er simpelthen den konstante funktion af værdi 1, det er derfor muligt at skrive: disse polynomer er ortogonale i forhold til det skalære produkt, der er defineret af forhold:
⟨⋅,⋅⟩{\ displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}
R[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} [X]}![\ mathbb {R} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16d740527b0b7f949b4bf9c9ce004134bb490b68)
⟨Pm,Pikke⟩=∫-11Pm(x)Pikke(x)dx=22ikke+1δmikke{\ displaystyle \ langle P_ {m}, P_ {n} \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {2 \ over {2n + 1}} \ delta _ {mn}}![{\ displaystyle \ langle P_ {m}, P_ {n} \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {m} (x) P_ {n} (x) \, \ mathrm {d} x = {2 \ over {2n + 1}} \ delta _ {mn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ba57c8da350004d82b7c1d02763f26141b62fa3)
.
Demonstration
Selve definitionen af P n viser, at det er en egenvektor for egenværdi - n ( n + 1) af endomorfien:
P∈R[x]→u(P)=ddx[(1-x2)dPdx]{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ to u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}![{\ displaystyle P \ in \ mathbb {R} [X] \ to u (P) = {\ frac {\ textrm {d}} {{\ textrm {d}} x}} \ left [(1-x ^ {2}) {\ frac {{\ textrm {d}} P} {{\ textrm {d}} x}} \ right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34c4da60b89b98ef643a623ccd9fa320c54e6ab)
,
Denne endomorfisme er imidlertid symmetrisk for det foregående skalarprodukt, da det ved at udføre to integrationer efter hinanden følgende dele:
∀P,Q∈R[x],⟨u(P),Q⟩=∫-1+1u(P)(x)Q(x)dx=-∫-1+1P′(x)(1-x2)Q′(x)dx=∫-1+1P(x)ddx((1-x2)Q′(x))dx=⟨P,u(Q)⟩{\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {R} [X], \ quad \ langle u (P), Q \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} u (P) (x ) Q (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P '(x) (1-x ^ {2}) Q' (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left ((1-x ^ {2 }) Q '(x) \ højre) \ mathrm {d} x = \ langle P, u (Q) \ rangle}![{\ displaystyle \ forall P, Q \ in \ mathbb {R} [X], \ quad \ langle u (P), Q \ rangle = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} u (P) (x ) Q (x) \, \ mathrm {d} x = - \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P '(x) (1-x ^ {2}) Q' (x) \, \ mathrm {d} x = \ int _ {- 1} ^ {+ 1} P (x) {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} x}} \ left ((1-x ^ {2 }) Q '(x) \ højre) \ mathrm {d} x = \ langle P, u (Q) \ rangle}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8686dde3c4feabb919964554cdb3e82ff742e93f)
.
Da de er egenvektorer forbundet med forskellige egenværdier, er familien af Legendre-polynomer ortogonal.
Desuden, da det er en base af , har vi , det vil sige:
(Pikke)ikke≤IKKE{\ displaystyle (P_ {n}) _ {n \ leq N}}
RIKKE[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {N} [X]}
PIKKE+1∈(RIKKE[x])⊥{\ displaystyle P_ {N + 1} \ in (\ mathbb {R} _ {N} [X]) ^ {\ bot}}![P _ {{N + 1}} \ in (\ mathbb {R} _ {N} [X]) ^ {\ bot}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92bfb0d478274ac0e7750166a4766d52c04881b0)
∀Q∈RIKKE[x],∫-11PIKKE+1(x)Q(x)dx=0{\ displaystyle \ forall Q \ i \ mathbb {R} _ {N} [X], \ int _ {- 1} ^ {1} P_ {N + 1} (x) Q (x) \, \ mathrm { d} x = 0}![\ forall Q \ i \ mathbb {R} _ {N} [X], \ int _ {{- 1}} ^ {{1}} P _ {{N + 1}} (x) Q (x) \ , {\ mathrm {d}} x = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cb02c1ae02c08a16958290c809e6fa8c0453710)
Standard
Normens kvadrat i L 2 ([-1,1]) er
‖Pikke‖2=22ikke+1.{\ displaystyle \ | P_ {n} \ | ^ {2} = {\ frac {2} {2n + 1}}.}![\ | P_ {n} \ | ^ {2} = {\ frac {2} {2n + 1}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6fb48fd61080d509b9ea5c1705df95fc2f6b925)
Faktisk for alle n > 1 kan vi etablere forholdet
Pikke+1′-Pikke-1′=(2ikke+1)Pikke,{\ displaystyle P '_ {n + 1} -P' _ {n-1} = (2n + 1) P_ {n}, \,}![P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} = (2n + 1) P_ {n}, \,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb1bf89fbf1e49d57e0f7259efac0b5d5712125e)
hvorfra vi udleder (ved at bruge det til alle k er P k - 1 ' af graden k - 2 < k er derfor vinkelret på P k og ved at udføre en integration af dele ):
⟨Pikke,(2ikke+1)Pikke⟩=⟨Pikke,Pikke+1′-Pikke-1′⟩=⟨Pikke,Pikke+1′⟩=[PikkePikke+1]-1 1-⟨Pikke′,Pikke+1⟩=[PikkePikke+1]-1 1.{\ displaystyle \ langle P_ {n}, (2n + 1) P_ {n} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {n + 1} -P' _ {n-1} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {n + 1} \ rangle = [P_ {n} P_ {n + 1}] _ {- 1} ^ {\ 1} - \ langle P' _ {n}, P_ {n + 1} \ rangle = [P_ {n} P_ {n + 1}] _ {- 1} ^ {\ 1}.}![\ langle P_ {n}, (2n + 1) P_ {n} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} - P' _ {{n-1}} \ rangle = \ langle P_ {n}, P '_ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} - \ langle P '_ {n}, P _ {{n + 1}} \ rangle = [P_ {n} P _ {{n + 1}}] _ {{- 1}} ^ {{\ 1}} .](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48f9c48905b12b951a301d8d18dec73d56da81a7)
Da P n P n + 1 er ulige og for alle k , P k (1) = 1 , ender vi således med (2 n + 1) || P n || 2 = 2 .
Additionssætning
Hvis 0 ≤ ψ 1 <π , 0 ≤ ψ 2 <π , ψ 1 + ψ 1 <π og ϕ nogen reel, så
Pk(cosψ1cosψ2+syndψ1syndψ2cosϕ)=Pk(cosψ1)Pk(cosψ2)+2∑m=1∞(-1)mPk-m(cosψ1)Pkm(cosψ2)cosmϕ,{\ displaystyle P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {m = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {- m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi,}![P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi,](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ed0a2a50dcd7fbc5c8c0d22815311490cbd65c5)
hvilket svarer til
Pk(cosψ1cosψ2+syndψ1syndψ2cosϕ)=Pk(cosψ1)Pk(cosψ2)+2∑m=1∞Γ(k-m+1)Γ(k+m+1)Pkm(cosψ1)Pkm(cosψ2)cosmϕ.{\ displaystyle P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {m = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (k -m + 1)} {\ Gamma (k + m + 1)}} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi.}![P_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {{m = 1}} ^ {\ infty} {\ frac {\ Gamma (k- m + 1)} {\ Gamma (k + m + 1)}} P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {1}) P_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ { 2}) \ cos m \ phi.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1eee868a23c9df1ac5f81a656de2003a6c229aff)
Vi har også
Qk(cosψ1cosψ2+syndψ1syndψ2cosϕ)=Pk(cosψ1)Qk(cosψ2)+2∑m=1∞(-1)mPk-m(cosψ1)Qkm(cosψ2)cosmϕ{\ displaystyle Q_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k } (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {m = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {- m} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi}![Q_ {k} (\ cos \ psi _ {1} \ cos \ psi _ {2} + \ sin \ psi _ {1} \ sin \ psi _ {2} \ cos \ phi) = P_ {k} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} (\ cos \ psi _ {2}) + 2 \ sum \ grænser _ {{m = 1}} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} P_ {k} ^ {{- m}} (\ cos \ psi _ {1}) Q_ {k} ^ {m} (\ cos \ psi _ {2}) \ cos m \ phi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a10e6ba143cf8299fd43e5d72a7008b6acf5dd)
under antagelse om, at 0 ≤ ψ 1 < ψ 2 .
Seriel nedbrydning af Legendre polynomer
Enhver funktion f , holomorf i en ellipse med foci -1 og +1, kan skrives i form af en serie, der konvergerer ensartet på enhver kompakt inde i ellipsen:
f(z)=∑ikke=0∞λikkePikke(z){\ displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda _ {n} P_ {n} (z)}
med ∀ikke∈IKKE,λikke∈VS.{\ displaystyle \ forall n \ i \ mathbb {N}, \ lambda _ {n} \ in \ mathbb {C}.}
Vi betegner kvotienten af polynomiet P n af dens normen.
Pikke~{\ displaystyle {\ tilde {P_ {n}}}}![{\ tilde {P_ {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd88eefecec247b4cb366c5fd33d8071a820de8f)
Lad f være et kontinuerligt kort på [–1; 1] . For alle naturlige tal udgør vi
vs.ikke(f)=∫-11f(x)P~ikke(x)dx,{\ displaystyle c_ {n} (f) = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) {\ tilde {P}} _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x,}![{\ displaystyle c_ {n} (f) = \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) {\ tilde {P}} _ {n} (x) \, \ mathrm {d} x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96681a9170f1a2db63a0c6fd4a9b78cda1521b85)
Derefter har sekvensen ( c n ( f )) en summerbar firkant og gør det muligt at afklare den ortogonale projektion af f på :
Rikke[x]{\ displaystyle \ mathbb {R} _ {n} [X]}![\ mathbb {R} _ {n} [X]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/570d4af05bb369990e7496c0436c0a3e410ed931)
Sikkef=∑k=0ikkevs.k(f)P~k.{\ displaystyle S_ {n} f = \ sum _ {k = 0} ^ {n} c_ {k} (f) {\ tilde {P}} _ {k}.}![S_ {n} f = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} c_ {k} (f) {\ tilde P} _ {k}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d803f28fe614af67045b4cc1102938b80950cf69)
Vi har også:
-
∀x∈[-1,1],Sikkef(x)=∫-11Kikke(x,y)f(y)dy{\ displaystyle \ forall x \ i [-1,1], \; S_ {n} f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) f ( y) \, \ mathrm {d} y}
, med kernen Kikke(x,y)=ikke+12P~ikke+1(x)P~ikke(y)-P~ikke+1(y)P~ikke(x)x-y;{\ displaystyle K_ {n} (x, \; y) = {\ frac {n + 1} {2}} {\ frac {{{\ tilde {P}} _ {n + 1} (x) {\ tilde {P}} _ {n} (y) - {\ tilde {P}} _ {n + 1} (y) {\ tilde {P}} _ {n} (x)} {xy}};}
- Sikkef(x)-f(x)=∫-11Kikke(x,y)(f(y)-f(x))dy.{\ displaystyle S_ {n} f (x) -f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) (f (y) -f (x)) \, \ mathrm {d} y.}
![{\ displaystyle S_ {n} f (x) -f (x) = \ int _ {- 1} ^ {1} K_ {n} (x, \; y) (f (y) -f (x)) \, \ mathrm {d} y.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72f9c2804c617e302b186909bc5e153b46c9ea31)
Antag yderligere, at f er en Lipschitzian-funktion . Vi har derefter den ekstra ejendom:
∀x∈]-1,1[,limikke→∞Sikkef(x)=f(x).{\ displaystyle \ forall x \ in] -1,1 [, \; \ lim _ {n \ to \ infty} S_ {n} f (x) = f (x).}![\ forall x \ in] -1,1 [, \; \ lim _ {{n \ to \ infty}} S_ {n} f (x) = f (x).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ef292cd2635e951c28491fa873750b4862f4a5b)
med andre ord ligestilling
f=∑ikke=0∞vs.ikke(f)P~ikke{\ displaystyle f = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} c_ {n} (f) {\ tilde {P}} _ {n}}
er sandt ikke kun i betydningen L 2 men i betydningen simpel konvergens på ] –1; 1 [ .
Digital integration af en funktion
For numerisk at beregne integrationen af en funktion over intervallet [-1; 1] , en af de mest populære metoder er Gauss-Legendre kvadraturmetoden baseret på egenskaberne af Legendre polynomer. Det tager form:
∫-11f(x)dx≈∑jeg=1ikkewjegf(xjeg){\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) \, \ mathrm {d} x \ approx \ sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} f (x_ {i} )}![\ int _ {{- 1}} ^ {1} f (x) \, {\ mathrm {d}} x \ approx \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} w_ {i} f (x_ {jeg})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/398f644daffe832afda764bf22edbf342e0831d0)
med:
-
(xjeg)jeg≤ikke{\ displaystyle (x_ {i}) _ {i \ leq n}}
sættet af nuller af Legendre polynomiet P n
-
(wjeg)jeg≤ikke{\ displaystyle (w_ {i}) _ {i \ leq n}}
de respektive vægte: wjeg=-2(ikke+1)Pikke′(xjeg)Pikke+1(xjeg){\ displaystyle w_ {i} = {\ frac {-2} {(n + 1) P '_ {n} (x_ {i}) P_ {n + 1} (x_ {i})}}}
Især er n- ordens formel nøjagtig for enhver polynomfunktion af grad 2 n - 1 .
Fysik applikationer
Legendre polynomier, ligesom dem fra Hermite eller Laguerre , vises i forskellige grene af fysik eller numerisk beregning, fordi de tillader beregning af bestemte integraler uden at det er nødvendigt at evaluere dem analytisk, forudsat at man ved en passende ændring af variablen placerer en sig selv i integrationsintervallet [−1, 1].
Legendre polynomer gør det muligt at udvikle funktionerne af typen i serie (denne formel kan udledes direkte fra den genererende funktion):
1|r→-r→′|=1r2+r′2-2rr′cosγ=∑ℓ=0∞r′ℓrℓ+1Pℓ(cosγ), med r>r′{\ displaystyle {\ frac {1} {\ left | \ mathbf {\ vec {r}} - \ mathbf {\ vec {r}} ^ {\ prime} \ right |}} = {\ frac {1} { \ sqrt {r ^ {2} + r ^ {\ prime 2} -2rr '\ cos \ gamma}}} = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} {\ frac {r ^ {\ prime \ ell}} {r ^ {\ ell +1}}} P _ {\ ell} (\ cos \ gamma), {\ tekst {med}} r> r '}![{\ frac {1} {\ left | {\ mathbf {{\ vec {r}}}} - {\ mathbf {{\ vec {r}}}} ^ {\ prime} \ right |}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {r ^ {2} + r ^ {{\ prime 2}} - 2rr '\ cos \ gamma}}}} = \ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {{ \ infty}} {\ frac {r ^ {{\ prime \ ell}}} {r ^ {{\ ell +1}}}} P _ {{\ ell}} (\ cos \ gamma), {\ text {med}} r> r '](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/712ed33836e93aa378eeeca3fb2097eb9991a125)
hvor r og r ' er normer vektorerne og henholdsvis og er vinklen mellem dem. En sådan udvikling anvendes for eksempel til undersøgelse af den elektriske dipol eller mere generelt i ekspressionen af det elektriske eller tyngdefelt i en stor afstand fra en kontinuerlig fordeling af ladning eller masse (multipolær udvikling).
r→{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}}}
r→′{\ displaystyle \ mathbf {\ vec {r}} ^ {\ prime}}
γ{\ displaystyle \ gamma}![\ gamma](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a223c880b0ce3da8f64ee33c4f0010beee400b1a)
Legendre polynomier vises også i opløsningen af Laplace-ligningen for det elektriske potentiale V i et område, der er tomt for ladninger, i sfæriske koordinater , i tilfælde af et problem, der udviser aksial symmetri ( V er så uafhængig af ϕ ), fortsætter ved metoden til adskillelse af variabler. Løsningen af Laplace's ligning sættes derefter i form:
∇2V(r→)=0{\ displaystyle \ nabla ^ {2} V (\ mathbf {\ vec {r}}) = 0}
Φ(r,θ)=∑ℓ=0∞[PÅℓrℓ+Bℓr-(ℓ+1)]Pℓ(cosθ).{\ displaystyle \ Phi (r, \ theta) = \ sum _ {\ ell = 0} ^ {\ infty} \ left [A _ {\ ell} r ^ {\ ell} + B _ {\ ell} r ^ {- (\ ell +1)} \ højre] P _ {\ ell} (\ cos \ theta).}![\ Phi (r, \ theta) = \ sum _ {{\ ell = 0}} ^ {{\ infty}} \ left [A _ {\ ell} r ^ {\ ell} + B _ {\ ell} r ^ {{- (\ ell +1)}} \ højre] P _ {\ ell} (\ cos \ theta).](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4139ff9f97346ce5b7ffc3b6b2cbefe070298f3)
Noter og referencer
-
Ved at udvikle differentialligningen sætter vi den faktisk i form , med og . Derfor er det indlysende, at punkterne x = 1 og x = -1 faktisk udgør poler af orden en af f ( x ) og g ( x ) .y″-f(x)y′+g(x)y=0{\ displaystyle y '' - f (x) \, y '+ g (x) \, y = 0}
f(x)=2x1-x2{\ displaystyle f (x) = {\ frac {2x} {1-x ^ {2}}}}
g(x)=ikke(ikke+1)1-x2{\ displaystyle g (x) = {\ frac {n (n + 1)} {1-x ^ {2}}}}
-
Murray R. Spiegel (en) , Fourier-analyse og anvendelse til begrænsning af værdiproblemer: 205 løste øvelser , Schaum-serien ,1987, 200 s. ( ISBN 978-2-7042-1019-0 ) , kap. 7 (“Funktionerne i Legendre og deres applikationer”), s. 138-142.
-
Det mere generelle tilfælde, hvor vi ved adskillelse af variabler søger løsningerne på den vinklede del af Laplace-ligningen, afhængigt af både θ og ϕ, giver mulighed for at introducere de tilknyttede Legendre-polynomer , tæt knyttet til sfæriske harmoniske .
-
En tabel for de første fem formler findes i (en) Eric W. Weisstein , " Legendre-Gauss kvadratur " , på MathWorld
Se også
Relaterede artikler
Bibliografi
-
(i) IS Gradshteyn og IM Ryzhik, Tabel over integraler, Serie, og produkter (de) , Alan Jeffrey og Daniel Zwillinger (red.), Academic Press , 7 th ed. 2007 ( ISBN 978-0-08047111-2 ) [ læse online ] og errata
- Georgette Nockere, digitale borde Legendre polynomier , ARB , 8 th udg., 1949
-
Joseph Kampé de Fériet , Funktioner i matematisk fysik , CNRS , 1957
-
Emne for CAPES 1989
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">