Algebraisk topologi

Den algebraiske topologi , tidligere kaldet kombinatorisk topologi, er den gren af matematik, der anvender algebraens værktøjer i studiet af topologiske rum . Snarere søger den at forbinde så naturligt den invariante algebraiske til strukturer topologisk associeret. Naturlighed betyder, at disse invarianter verificerer egenskaber ved funkionalitet i betydningen af kategoriteori .

Algebraiske invarianter

Den grundlæggende idé er at være i stand til at forbinde algebraiske objekter ( antal , gruppe , vektorrum osv.) Med ethvert topologisk rum , så to homomorfe rum er forbundet med to isomorfe strukturer og mere generelt end med et kontinuerligt kort mellem to rum er forbundet med en morfisme mellem to algebraiske strukturer. Sådanne genstande kaldes algebraiske invarianter. Ved hjælp af terminologien for kategoriteori er målet at studere funktorer fra kategorien topologiske rum på en algebraisk kategori, såsom kategorier af grupper, algebraer, groupoider osv. Topologiresultater gennemgår derefter en mere overkommelig demonstration af algebraiske egenskaber.

Nogle bemærkelsesværdige invarianter inkluderer:

Den fundamentale gruppe af et topologisk rum X ved et punkt x : sættet af homotopiklasser af sløjfer af X med base x , hvor loven om intern sammensætning er sammenkædning af sløjfer;
De øvre homotopigrupper i et topologisk rum X ved et punkt x ;
De homologigrupper eller cohomology grupper af en topologisk rum X ;
De karakteristiske klasser af et ægte, komplekst, euklidisk eller hermitisk vektorbundt.

Den faste punkt sætning Brouwer : enhver applikation fortsætter en lukket kugle af i sig selv indrømmer et fast punkt . $\ mathbb {R} ^ {n}$
Den hårede kugesætning : ethvert kontinuerligt felt af vektorer, der tangerer en kugle med en jævn dimension, annulleres mindst et punkt; derfor kan en tokamak ikke have en sfærisk geometri.
Den borsuk-ulams sætning : for enhver sammenhængende kort af kuglen S n i eksisterer der et par antipodiske punkter som tager den samme værdi af dette kort. For eksempel er der til enhver tid to diametralt modsatte punkter på jordens overflade med den samme temperatur og det samme tryk. $\ mathbb {R} ^ {n}$

Bemærkelsesværdige algebraiske topologer

Bibliografi

(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra den engelske Wikipedia- artikel med titlen " Algebraisk topologi " ( se listen over forfattere ) .

N. Bourbaki, algebraisk topologi, kapitel 1 til 4 . Springer, 2016.
Daniel Tanré, Yves Félix, algebraisk topologi , Dunod, 2010
Claude Morlet, “Algebraic topology”, Mathematics Dictionary - fundamenter, sandsynligheder, applikationer , Encyclopædia Universalis og Albin Michel, Paris 1998.
Jean-Claude Pont, LA TOPOLOGIE ALGEBRIQUE des origins à Poincaré , PUF, Paris, 1974.
L .S. Pontryagin , Foundations of Combinatorial Topology , Graylock Press, Rochester, NY, 1952; første russiske udgave i 1947.
André Weil , Antal løsninger af ligninger i endelige felter , Bull. Bitter. Matematik. Soc. , Bind 55, nummer 5 (1949), 497-508.

Noter og referencer

“Algebra overtager således kombinatorisk topologi. Dette forklarer, hvorfor udtrykket kombinatorisk topologi blev erstattet omkring 1940 med navnet algebraisk topologi, bedre egnet til metoderne i denne videnskab. », Jean-Claude Pont, s.2; se også titlen og indholdsfortegnelsen i bogen af Lev Pontriaguine og til sidst skriver André Weil i sin artikel, der er citeret i bibliografien (s. 506): ”Så finder man ud af, at Poincaré-polynomet (i betydningen af kombinatorisk topologi ) af sorten ... "

Relateret artikel

CW-kompleks