Konvergensradius

Denne artikel er et udkast til analyse .

Du kan dele din viden ved at forbedre den ( hvordan? ) I henhold til anbefalingerne fra de tilsvarende projekter .

Den Konvergensradius af et helt tal serie er det positive reelle tal eller + ∞ lig med den øvre grænse af sættet af moduli af komplekse tal , hvor serien konvergerer (i klassisk forstand af enkle konvergens ):

R=sup{|z|:z∈VS,∑påikkezikke blot konvergerer }∈[0,+∞]=R+¯.{\ displaystyle R = \ sup \ left \ {| z |: z \ i \ mathbb {C}, \ sum a_ {n} z ^ {n} {\ text {konvergerer}} \ højre \} \ i \ , [0, + \ infty] = {\ overline {\ mathbb {R} ^ {+}}}.}

Ejendomme

Hvis R er radius af konvergens af en magt series og derefter rækken absolut konvergent på åben plade D (0, R ) fra centrum 0 og radius R . Denne disk kaldes konvergensdisken . Denne absolutte konvergens skaber det, der undertiden kaldes ubetinget konvergens  : værdien af ​​summen på ethvert punkt på denne disk afhænger ikke af rækkefølgen af ​​termerne. For eksempel har vi:

• ∑ikke=0∞påikkezikke=∑ikke=0∞på2ikkez2ikke+∑ikke=0∞på2ikke+1z2ikke+1{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n} z ^ {2n} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {2n + 1} z ^ {2n + 1}} ;
• ∑ikke=0∞∑k=0∞påikkebkzikke+k=(∑ikke=0∞påikkezikke)(∑k=0∞bkzk)  ∀|z|<min(R1,R2){\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} b_ {k} z ^ {n + k}} = \ left ( \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n} \ højre) \ left (\ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} b_ {k} z ^ {k} \ right) \ \ \ forall | z | <\ min (R_ {1}, R_ {2})}, hvor og er konvergensradierne for de to hele serier (se Cauchy-produkt ).R1{\ displaystyle R_ {1}}R2{\ displaystyle R_ {2}}

Hvis hele serien har en konvergensradius R , så: ∑ikke=0∞påikkezikke{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {a_ {n} z ^ {n}}}

• konvergensen er endda normal (derfor ensartet ) på enhver kompakt inkluderet i D (0, R )  ;
• for ethvert komplekst z sådan, at | z | > R , serien adskiller sig groft  ;
• for ethvert komplekst z sådan, at | z | = R , serien kan enten afvige eller konvergere;
• omvendt af radius R er givet af Cauchy-Hadamard sætning  : hvor lim sup betegner den øvre grænse  ;1R=lim supikke→∞|påikke|ikke≤lim supikke→∞|påikke+1påikke|{\ displaystyle {\ frac {1} {R}} = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}} \ leq \ limsup _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right |}
• hvis R er ikke nul, så summen f af hele serien er en holomorf funktion på D (0, R ) , hvor vi har f(k)(z)=∑ikke=k∞ikke!(ikke-k)!påikkezikke-k{\ displaystyle f ^ {(k)} (z) = \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} {\ frac {n!} {(nk)!}} a_ {n} z ^ {nk} } ;
• hvis radius R er uendelig, kaldes hele serien en hel funktion .

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">