Krumningsradius

Den krumningsradius for en linje, generelt bemærket ρ (græsk bogstav rho) indikerer niveauet af krumningen: jo højere krumningsradius, jo tættere er her at en lige linje, og vice versa. Matematisk er krumningsradius den absolutte værdi af cirkelradien, der tangerer kurven på det ønskede punkt, en cirkel, der "følger denne kurve bedst muligt" der. Denne cirkel kaldes den osculerende cirkel ved kurven på dette punkt. Krumningsradien er også den inverse af krumningen γ: ρ = 1 / γ.

Krumningsradius for en plan bue

Overvej et plan forsynet med et ortonormalt koordinatsystem og en bue i dette plan.

Hvis buen er defineret af en parametrisk ligning ( x ( t ), y ( t )), er krumningsradius:

{\ displaystyle \ rho (t) = {\ frac {(x ^ {\ prime 2} + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {x'y '' - y'x ''} } \ quad {\ text {with}} \ quad x '= {\ frac {dx} {dt}}, \ quad x' '= {\ frac {d ^ {2} x} {dt ^ {2}} }, \ quad y '= {\ frac {dy} {dt}} \ quad {\ mbox {et}} \ quad y' '= {\ frac {d ^ {2} y} {dt ^ {2}} }}

især i polære koordinater , , med to gange differentiabel, $x (t) = r (t) \ cos (t)$ $y (t) = r (t) \ sin (t)$ $r (t)$

\ rho (t) = {\ frac {(r '^ {2} (t) + r ^ {2} (t)) ^ {{3/2}}} {2r' ^ {2} (t) + r ^ {2} (t) -r (t) r '' (t)}}

når nævneren ikke er nul.

Hvis buen er defineret af en kartesisk ligning y = ƒ ( x ), så er radius:

{\ displaystyle \ rho (x) = \ left | {\ frac {(1 + y ^ {\ prime 2}) ^ {3/2}} {y ''}} \ right |}

Når afledningen er lille ( y ' << 1), det vil sige når tangenten er tæt på vandret, tager vi ofte tilnærmelsen (1 + y' 2 ) donc 1 og derfor

ρ ( x ) ≈ 1 / y '' .

Ansøgninger

I geometrisk optik gør krumningsradius det muligt at skelne mellem forskellige typer optiske linser . Faktisk består en linse af en ind- og udgangsflade, som kan være buet eller flad. Således klassificeres linserne takket være symmetriegenskaberne mellem de to flader og i henhold til værdien af deres krumningsradius.
En jernbanes krumningsradius er ofte begrænset af et minimum for at give tog tilladelse til at bruge den, da de ikke kan dreje for brutalt med risiko for at spore ud (båret af deres inerti).).

Se også

Referencer

(i) Mr. Bourne, " 8. Radius of Curvature " på http://www.intmath.com (adgang til 4. juni 2017 )