Suite og række funktioner

I analyse er en sekvens eller en række funktioner en sekvens eller en serie, hvis udtryk er funktioner, der alle er defineret på et sæt X og med reelle eller komplekse værdier eller mere generelt vektorværdier .

Konvergenstilstande

Enkel konvergens
Ensartet konvergens
Absolut konvergens
Normal konvergens
Konvergens næsten overalt (over et målt rum)
Konvergens i mål (af) (på et målt rum)
Konvergens i rummet $L p$ (på en præcis rum)
Konvergens af tilfældige variabler (i lov, sandsynligvis næsten sikker, i gennemsnit ...)

Den ensartede grænse for en sekvens af kontinuerlige funktioner er kontinuerlig.
Baire's enkle grænsesætning : for en sekvens af kontinuerlige funktioner af en reel variabel, der blot konvergerer på et interval I, er sæt af kontinuitetspunkter for dens grænse tæt.
Egoroffs sætning : Hvis et sekvens af funktioner konvergerer næsten overalt på et sandsynlighedsrum, så konvergerer det ensartet uden for en målbar del af mål så lille som ønsket. En af dens anvendelser er Lusins sætning : enhver Borelian-funktion af en reel variabel er kontinuerlig uden for et målbart sæt mål så lille som ønsket. Disse resultater kan ses som en analog af Baires enkle grænsesætning i måle-teorien .

Den monotone konvergens sætning og den dominerede konvergens sætning gør det muligt at gå til grænsen i integraler. Konvergensen næsten overalt af de funktioner, der skal integreres, er ikke nok; en yderligere betingelse er nødvendig (stigende rækkefølge eller betingelse for dominans).
De teoremer Dini sikre, under yderligere forudsætninger, er nogle simpelthen konvergerende sekvenser ligeligt konvergent.