Central symmetri

I geometri er en central symmetri en transformation af et affinalt rum .

Det realiseres fra et fast punkt bemærket Ω kaldet centrum for symmetri . Det omdanner ethvert punkt M til et billedpunkt M ', således at punktet Ω er midtpunktet for segmentet [MM'].

Med hensyn til vektorer oversættes dette til:

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ Omega M '}} = - {\ overrightarrow {\ Omega M}}.}

Som enhver symmetri er det en involution , det vil sige, at vi finder udgangspunktet eller figuren, hvis vi anvender den to gange. Især er det en sammenhæng .

I det euklidiske plan er de centrale symmetrier rotationer af en halv omgang.

Egenskaber ved central symmetri

Depot ejendom

Central symmetri er en affin applikation ; det holder:

justeringerne (den symmetriske af tre justerede punkter er justeret),
den parallelitet (symmetrisk to lige parallelle er parallelle).

Det forvandler endda enhver lige linje til en lige linje, der er parallel med den, da den er en homotety (i forholdet -1).

Når affinrummet har en euklidisk struktur er endda affin isometri (en bevægelse, hvis rumets dimension er par og en forskydning, der forhindrer, hvis det er ulige); det holder:

de afstande ,
de geometriske vinkler (symmetrisk for en vinkel er en måling af den samme vinkel) og endda, i planet, de orienterede vinkler ,
de perimetre (symmetrien af en figur er en figur med samme omkreds),
de områder (den symmetriske af en figur er en figur af det samme område).

Eksempler

Med hensyn til et punkt Ω,

den symmetriske af Ω er Ω;
det symmetriske i et segment er et segment;
symmetrisk en bue af kurven er en bue af den samme længde ;
den symmetriske af en linje d er en linje parallel med d ;
symmetrisk en cirkel center O er kredsen af samme radius og centrum af den symmetriske O .

Komplekser og central symmetri

I det euklidiske plan er symmetrien for centrum Ω rotation af centrum Ω og vinkel $π$ .

I det komplekse plan , lad ω være affiksen af Ω og z affiktionen af M

Anbringelsen z ' af M' er

{\ displaystyle \, z '= {\ rm {e}} ^ {{\ rm {i}} \ pi} (z- \ omega) + \ omega = -z + 2 \ omega.}

Konstruktion af et punkts symmetri ved central symmetri

Lineal og kompas

Placer punktet Ω og punktet M adskilt fra Ω.
Træk linjen (Ω M ).
Trace cirklen centrum og radius Ω Ω M .
De to skæringspunkter mellem cirklen og linjen er punktet M på den ene side og punktet M ' symmetrisk for M med hensyn til Ω på den anden.

Kun med kompasset

Placer punktet Ω og punktet M adskilt fra Ω.
Trace cirklen centrum og radius Ω Ω M .
Tegn cirklen med centrum M og radius 2 × Ω Μ .
Pointen skæringspunktet mellem to cirkler er det punkt M ' symmetrisk til M .

Relaterede artikler