Begrænset variation funktion

I analyse siges det, at en funktion har begrænset variation, når den opfylder en vis betingelse for regelmæssighed. Denne betingelse blev introduceret i 1881 af matematikeren Camille Jordan for at udvide Dirichlets sætning om konvergensen af ​​Fourier-serien .

Definition

Lad f være en funktion defineret på et totalt ordnet sæt T og med værdier i et metrisk rum ( E , d ).

For enhver underopdeling σ = ( x 0 , x 1 ,…, x n ) af ethvert interval af T definerer vi V ( f , σ) ved:

V(f,σ)=∑jeg=1ikked(f(xjeg-1),f(xjeg)).{\ displaystyle V (f, \ sigma) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} d (f (x_ {i-1}), f (x_ {i})).}

Vi kalder total variation af f på T værdien V T ( f ) ∈ ℝ defineret af:

VT(f)=supσV(f,σ).{\ displaystyle V_ {T} (f) = \ sup _ {\ sigma} V (f, \ sigma).}

Vi siger, at f har en afgrænset variation, hvis denne øvre grænse V T ( f ) er endelig, med andre ord hvis "buen" (ikke nødvendigvis kontinuerlig) defineret af f kan rettes i Jordanens forstand .

Interessen for konceptet

De funktioner monotont udgør en vigtig klasse af funktioner i analysen. Imidlertid har den ulempen, at den ikke er uforanderlig for grundlæggende algebraiske operationer: for eksempel er summen af ​​to monotone funktioner ikke nødvendigvis monotone. Da enhver funktion med afgrænsede variationer er summen af ​​to monotone funktioner og omvendt , kan funktionerne med afgrænsede variationer ses som en generalisering af de monotone funktioner, men med den fordel, at sæt af funktioner med afgrænsede variationer leveres med tilføjelsen eller med multiplikationen danner en ring  : summen og produktet af to funktioner med afgrænsede variationer er med afgrænsede variationer.

Ejendomme

• Den samlede variation (endelig eller uendelig) af en kontinuerlig funktion f over et reelt segment [ a , b ] er ikke kun den øvre grænse for V ( f , σ), når σ krydser underopdelingen af ​​[ a , b ], men også deres grænse, når trinnet i underinddelingen σ har en tendens til 0. Vi udleder, at for en kontinuerlig funktion med afgrænset variation f er kortet t ↦ V [ a , t ] ( f ) kontinuerligt.
• Hvis φ er en bijektion vokser en anden ordnet sæt S til T , den samlede variation af f ∘φ om S er lig med den af f på T .
• For vektor normeret rum E , de bundne variation funktioner danner et underrum af rummet funktioner T i E .
• Enhver absolut kontinuerlig funktion F (især enhver Lipschitz-funktion ) har begrænset variation. Med andre ord: hvis f er integrerbar i betydningen Lebesgue i et interval I så, for et fast i I , funktionen x↦F(x)=∫påxf(t) dt{\ displaystyle x \ mapsto F (x) = \ int _ {a} ^ {x} f (t) ~ \ mathrm {d} t} er begrænset variation. Ja,Vpåx(F)≤∫påx|f(t)|dt≤∫jeg|f(t)| dt.{\ displaystyle V_ {a} ^ {x} (F) \ leq \ int _ {a} ^ {x} \ vert f (t) \ vert dt \ leq \ int _ {I} \ vert f (t) \ grøn ~ \ mathrm {d} t.}
• Enhver funktion med begrænset variation er indstillet (dvs. ensartet grænse for en række trappefunktioner ).
• Funktionerne med afgrænset variation af et reelt segment i ℝ er nøjagtigt forskellene på to stigende funktioner (sådan en nedbrydning f = g - h er langt fra at være unik; hvis f er kontinuerlig, kan g og h vælges kontinuerligt: ​​ved eksempel h ( t ) = V [ a , t ] ( f ) og g = f + h ). Vi udleder, at dis- kontinuiteterne er uvæsentlige og danner et sæt til det mest tællbare, og at disse funktioner kan afledes næsten overalt (i den betydning, Lebesgue-foranstaltningen har ) fra lokalt integrerbare derivater .
• Der er afledte funktioner med uendelig total variation, såsom funktionen f defineret på [-1, 1] ved f ( x ) = x 2 cos 2 (π / x 2 ), hvis x ≠ 0 og f (0) = 0 .

Generalisering til multivariate funktioner

En definition udvidet til funktioner med flere variabler kan udføres ved variationen af ​​Vitali. Foreslået af Vitali blev det overtaget af Lebesgue og Fréchet.

Lad f være en funktion defineret på en blok . Vi bemærker: [på1,b1]×⋯×[påikke,bikke]⊆Rikke{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Δhk(f,x)=f(x1,x2,⋯,xk+hk,⋯,xikke)-f(x1,x2,⋯,xk,⋯,xikke){\ displaystyle \ Delta _ {h_ {k}} (f, x) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k} + h_ {k}, \ cdots, x_ {n} ) -f (x_ {1}, x_ {2}, \ cdots, x_ {k}, \ cdots, x_ {n})}

derefter rekursivt,

Δh1,h2,⋯,hk(f,x)=Δhk(Δh1,h2,⋯,hk-1,x).{\ displaystyle \ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k}} (f, x) = \ Delta _ {h_ {k}} (\ Delta _ {h_ {1}, h_ {2}, \ cdots, h_ {k-1}}, x).}

Vi giver os selv sekvenser af punkter i hver retning , og vi forbinderπk{\ displaystyle \ pi _ {k}}påk=tk1<tk2<⋯<tkIKKEk+1=bk{\ displaystyle a_ {k} = t_ {k} ^ {1} <t_ {k} ^ {2} <\ cdots <t_ {k} ^ {N_ {k} +1} = b_ {k}}hkjeg=tkjeg+1-tkjeg.{\ displaystyle h_ {k} ^ {i} = t_ {k} ^ {i + 1} -t_ {k} ^ {i}.}

Den variation i Vitali følelse af f er givet ved:

Vikke(f)=sup(π1,...πikke)∑k=1ikke∑jegk=1IKKEk|Δh1jeg1,h2jeg2,⋯,hkjegk(f,(x1jeg1,x2jeg2,⋯,xkjegk))|{\ displaystyle V ^ {n} (f) = \ sup _ {(\ pi _ {1}, ... \ pi _ {n})} \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ sum _ {i_ {k} = 1} ^ {N_ {k}} \ left | \ Delta _ {h_ {1} ^ {i_ {1}}, h_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, h_ {k} ^ {i_ {k}}} \ venstre (f, (x_ {1} ^ {i_ {1}}, x_ {2} ^ {i_ {2}}, \ cdots, x_ {k} ^ { i_ {k}}) \ right) \ right |}

Denne definition af variation kan udvides gennem definitionen af ​​Hardy-Krause variation:

Den Hardy-Krause variation af f er givet ved:

V(f)=∑Vikke(f){\ displaystyle V (f) = \ sum V ^ {n} (f)}

hvor summen er lavet på alle ansigter af alle underintervaller af dimensionens blok mindre end eller lig med n .[på1,b1]×⋯×[påikke,bikke]⊆Rikke{\ displaystyle [a_ {1}, b_ {1}] \ times \ cdots \ times [a_ {n}, b_ {n}] \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}

Noter og referencer

Bemærkninger

1. Modeksempel  : Funktionerne f  : x ↦ -x og g  : x ↦ x 3 er begge monotone, men f + g er ikke.

Referencer

1. Godfrey Harold Hardy ( oversat  fra engelsk af Alexandre Moreau), "Camille Jordan" , i matematik og matematikere , Nitens,2018( 1 st  ed. 1922) ( ISBN  9782901122005 ).
2. Gustave Choquet , Analysekursus, bind II: Topologi , s. 99-106.
3. Xavier Gourdon, Maths in mind: Analysis , Paris, Ellipses,2008, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1994), 432  s. ( ISBN  978-2-7298-3759-4 ) , kap.  2 ("Funktioner af en reel variabel").
4. (i) J. Yeh , Reel Analyse: Theory of Mål og Integration , World Scientific,2006, 2 nd  ed. , 738  s. ( ISBN  978-981-256-653-9 , læs online ) , s.  265 : "  Jordens nedbrydning af funktioner i afgrænset variation  "
5. (it) G. Vitali , "  Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali  " , Atti Accad. Sci. Torino , vol.  43,1908, s.  229-246
6. (De) H. Hahn , Theorie der reellen Funktionen. Erster Band. ,1921

Eksternt link

(en) "Funktion af afgrænset variation" , i Michiel Hazewinkel , Encyclopædia of Mathematics , Springer ,2002( ISBN  978-1556080104 , læs online )

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">