Lokalt integrerbar funktion

I matematik , specifikt integrationsteori Lebesgue , siges en funktion til værdier kompleks, der er indstillet til en åben $Ω$ på $ℝ n$ , lokalt integrerbar, hvis dens begrænsning til al kompakt af $Ω$ er integrerbar med Lebesgue-målingen $λ n$ . Den vektorrum af disse funktioner betegnes $ℒ 1 loc (Ω)$ og dens kvotienten af underrum af nul funktioner næsten overalt er betegnet $L 1 loc (Ω)$ .

Ækvivalente definitioner

For enhver funktion $f : Ω \to ℂ$ er følgende egenskaber ækvivalente:

$f$ er lokalt integrerbar (i ovenstående betydning);
$f$ er Lebesgue - målbar og for enhver kompakt $K$ på $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty \,;}$
for enhver testfunktion $φ$ på $Ω$ (dvs. enhver funktion C ∞ med en kompakt understøtning af $Ω$ i ℂ), er $f Leb$ Lebesgue-integrerbar;
$f$ er Lebesgue-målelig og for enhver testfunktion $φ$ på $Ω$ , ${\ displaystyle \ int _ {\ Omega} | f \ varphi | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n} <+ \ infty.}$

Enhver integrerbar funktion er lokalt integrerbar.
Mere generelt $L 1 loc$ (Ω) indeholder $L p (Ω)$ for alle $p \in [1, + \infty]$ .
Enhver lokalt afgrænset målbar funktion (især enhver kontinuerlig funktion ) er lokalt integrerbar.
Funktionen $f$ defineret (næsten overalt) ved $f ( x ) = 1 / x$ - som derfor hører til $L 1 loc$ (ℝ *) - hører ikke til $L 1 loc$ (ℝ).

$L 1 loc (Ω)$ er et Fréchet-rum på grund af dets lokalt konvekse rumstruktur forbundet med familien, indekseret af kompakterne $K$ af $Ω$ , af semi-normer $║ ║ K$ defineret af:

{\ displaystyle \ | f \ | _ {K} = \ int _ {K} | f | ~ {\ rm {d}} \ lambda _ {n}.}