I lineær algebra angiver den ufuldstændige basis sætning , at i et vektorrum E ,
Især hævder denne sætning, at hvert vektorrum E indrømmer et grundlag. Faktisk familie vakuum er gratis og kan afsluttes i en grundlæggende E . Dette eksistensresultat sammen med sætningen, ifølge hvilken alle baserne i E har den samme kardinalitet , fører til definitionen af dimensionen af et vektorrum .
En mere generel sætning af sætningen er som følger:
Ufuldstændig basis sætning. Lad E være et vektorrum, G en genererende del af E og L en fri del. Da findes F ⊂ G \ L som L ∪ F er en grundlæggende E .
Teoremet om ufuldstændigt grundlag eller endog kun eksistensen af et grundlag for ethvert vektorrum svarer til det valgte aksiom . For endeligt genererede rum er der imidlertid bevis for eksistensen af et grundlag, der ikke kræver dette aksiom.
Beviset for den ufuldstændige basis sætning i det tilfælde, hvor G er endelig, er afhængig af følgende algoritme :
Sløjfen ender i et endeligt antal trin (da vi tilføjer til hvert trin et element af G forskelligt fra de foregående, og G er færdig). L er da en generator del, så et basisk E .
Generelt skyldes det første bevis matematikeren Georg Hamel . Et almindeligt bevis bruger Zorns lemma .
Ethvert vektorunderrum F i et vektorrum E har et yderligere underrum i E : vi betragter en base B af F, der er afsluttet med en base B ' af E : det rum, der genereres af vektorerne af B' , der ikke er i B, er en yderligere F .
Denne sætning, der gælder for ethvert vektorrum, generaliserer ikke til noget modul på en ring . For eksempel er ℤ-modulet ℤ / 2ℤ ikke frit , dvs. har ikke en base. Det afgørende punkt i ovenstående bevis (både i det endelige tilfælde og i det generelle tilfælde) er, at i et vektorrum over et kommutativt felt (men ikke i et modul over enhver ring , selv så simpelt som ℤ / 2ℤ), når vi tilføj til en gratis familie en ny vektor, som den ikke genererer, så er den nye familie stadig fri.