Gauss-Codazzi ligninger
I riemannsk geometri , de Gauss-Codazzi-Mainardi ligninger er fundamentale ligninger inden for rammerne af teorien om hypersurfaces nedsænket i et euklidisk rum , og mere generelt submanifolds af en Riemannske manifold . Der er også anvendelser i tilfælde af overflader nedsænket i en pseudo-Riemannian manifold .
I klassisk overflade geometri, Gauss-Codazzi-Mainardi ligningerne består af et par ligninger. Den første ligning, undertiden kaldet den Gaussiske ligning, relaterer overfladens indre krumning (eller Gaussisk krumning ) til derivaterne af det Gaussiske kort via den anden grundlæggende form . Denne ligning er selve grundlaget for Gauss's teorema egregium . Den anden ligning, undertiden kaldet Codazzi-Mainardi-ligningen , er en strukturel tilstand på de andre derivater af Gauss-kortet. Denne ligning involverer overfladens ydre krumning (eller gennemsnits krumning ). Disse ligninger viser, at komponenterne i den anden grundlæggende form og dens derivater helt klassificerer overfladen op til en euklidisk transformation , hvilket svarer til en af teorerne i Pierre-Ossian Bonnet .
Formel erklæring
Lad i: M ⊂ P være en n -dimensionel undervariant nedsænket i en Riemannisk manifold P med dimension n + p . Der eksisterer en naturlig inddragelse af tangentbunten af M i den af P , og kokernel er det normale bundt af M :
0→TxM→TxP|M→Tx⊥M→0.{\ displaystyle 0 \ rightarrow T_ {x} M \ rightarrow T_ {x} P | _ {M} \ rightarrow T_ {x} ^ {\ perp} M \ rightarrow 0.}Metricen giver følgende nøjagtige effekt :
TP|M=TM⊕T⊥M.{\ displaystyle TP | _ {M} = TM \ oplus T ^ {\ perp} M.}Efter denne sekvens nedbrydes Levi-Civita-forbindelsen ∇ ′ af P til en tangential komponent og en normal komponent. For hvert X ∈ T M og vektorfelt Y på M ,
∇x′Y=⊤(∇x′Y)+⊥(∇x′Y).{\ displaystyle \ nabla '_ {X} Y = \ top (\ nabla' _ {X} Y) + \ bot (\ nabla '_ {X} Y).}Er
∇xY=⊤(∇x′Y),a(x,Y)=⊥(∇x′Y).{\ displaystyle \ nabla _ {X} Y = \ top (\ nabla '_ {X} Y), \ quad \ alpha (X, Y) = \ bot (\ nabla' _ {X} Y).}Gauss formel sikrer derefter at ∇ X er Levi-Civita tilslutning for M , og α er en symmetrisk vektor differential formular med værdier i den normale bundt.
En øjeblikkelig følge er Gauss-ligningen. For X , Y , Z , W ∈ T M ,
⟨R′(x,Y)Z,W⟩=⟨R(x,Y)Z,W⟩+⟨a(x,Z),a(Y,W)⟩-⟨a(Y,Z),a(x,W)⟩{\ displaystyle \ langle R '(X, Y) Z, W \ rangle = \ langle R (X, Y) Z, W \ rangle + \ langle \ alpha (X, Z), \ alpha (Y, W) \ rangle - \ langle \ alpha (Y, Z), \ alpha (X, W) \ rangle}hvor R er krumningen tensor P og R er M .
Den Weingarten ligning er en analog af Gauss formel for en forbindelse i den normale bundt. Lad X ∈ T M og ξ være et felt med normale vektorer. Vi nedbryder derefter det covariante derivat af ξ på X i normale og tangentielle komponenter:
∇xξ=⊤(∇xξ)+⊥(∇xξ)=-PÅξ(x)+Dx(ξ).{\ displaystyle \ nabla _ {X} \ xi = \ top (\ nabla _ {X} \ xi) + \ bot (\ nabla _ {X} \ xi) = - A _ {\ xi} (X) + D_ {X} (\ xi).}Så
-
Weingarten ligninger :⟨PÅξx,Y⟩=⟨a(x,Y),ξ⟩{\ displaystyle \ langle A _ {\ xi} X, Y \ rangle = \ langle \ alpha (X, Y), \ xi \ rangle}
-
D X er en metrisk forbindelse (en) i det normale bundt.
Der er derfor et par forbindelser: ∇ defineret på tangentbunten af M ; og D , indstillet til den normale bundt af M . Disse to kombineres for at give en forbindelse på en hvilken som helst tensor produkt af T M og T ⊥ M . Især definerer de fuldt ud det covariante derivat af α:
(∇~xa)(Y,Z)=Dx(a(Y,Z))-a(∇xY,Z)-a(Y,∇xZ).{\ displaystyle ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) = D_ {X} \ left (\ alpha (Y, Z) \ right) - \ alpha (\ nabla _ { X} Y, Z) - \ alpha (Y, \ nabla _ {X} Z).}Den Codazzi-Mainardi ligning giver
⊥(R′(x,Y)Z)=(∇~xa)(Y,Z)-(∇~Ya)(x,Z).{\ displaystyle \ bot \ left (R '(X, Y) Z \ right) = ({\ tilde {\ nabla}} _ {X} \ alpha) (Y, Z) - ({\ tilde {\ nabla} } _ {Y} \ alpha) (X, Z).}
Erklæring om klassiske ligninger
I klassisk differentiel geometri udtrykkes Codazzi-Mainardi-ligningerne generelt med den anden grundlæggende form:
ev-fu=eΓ121+f(Γ122-Γ111)-gΓ112{\ displaystyle e_ {v} -f_ {u} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f (\ Gamma _ {12} ^ {2} - \ Gamma _ {11} ^ {1}) - g \ Gamma _ {11} ^ {2}}
fv-gu=eΓ221+f(Γ222-Γ121)-gΓ122{\ displaystyle f_ {v} -g_ {u} = e \ Gamma _ {22} ^ {1} + f (\ Gamma _ {22} ^ {2} - \ Gamma _ {12} ^ {1}) - g \ Gamma _ {12} ^ {2}}
Bevis for klassiske ligninger
De andet derivater af en parametreret overflade (in) kan udtrykkes i basen såvel som Christoffel-symbolerne og den anden grundlæggende form.
(xu,xv,IKKE){\ displaystyle (X_ {u}, X_ {v}, N)}
xuu=Γ111xu+Γ112xv+eIKKE{\ displaystyle X_ {uu} = \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {v} + eN}
xuv=Γ121xu+Γ122xv+fIKKE{\ displaystyle X_ {uv} = \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {v} + fN}
xvv=Γ221xu+Γ222xv+gIKKE{\ displaystyle X_ {vv} = \ Gamma _ {22} ^ {1} X_ {u} + \ Gamma _ {22} ^ {2} X_ {v} + gN}
De Schwarz sætningen hedder, at følgende partielle afledede pendler:
(xuu)v=(xuv)u{\ displaystyle \ left (X_ {uu} \ right) _ {v} = \ left (X_ {uv} \ right) _ {u}}Hvis vi skelner med hensyn til v og med hensyn til u, opnår vi:
xuu{\ displaystyle X_ {uu}}xuv{\ displaystyle X_ {uv}}
(Γ111)vxu+Γ111xuv+(Γ112)vxv+Γ112xvv+evIKKE+eIKKEv=(Γ121)uxu+Γ121xuu+(Γ122)uxv+Γ122xuv+fuIKKE+fIKKEu{\ displaystyle \ left (\ Gamma _ {11} ^ {1} \ right) _ {v} X_ {u} + \ Gamma _ {11} ^ {1} X_ {uv} + \ left (\ Gamma _ { 11} ^ {2} \ højre) _ {v} X_ {v} + \ Gamma _ {11} ^ {2} X_ {vv} + e_ {v} N + eN_ {v} = \ left (\ Gamma _ {12} ^ {1} \ højre) _ {u} X_ {u} + \ Gamma _ {12} ^ {1} X_ {uu} + \ venstre (\ Gamma _ {12} ^ {2} \ højre) _ {u} X_ {v} + \ Gamma _ {12} ^ {2} X_ {uv} + f_ {u} N + fN_ {u}}Hvis vi derefter erstatter de ovennævnte udtryk for de andre derivater og er lig med koefficienterne for N:
fΓ111+gΓ112+ev=eΓ121+fΓ122+fu{\ displaystyle f \ Gamma _ {11} ^ {1} + g \ Gamma _ {11} ^ {2} + e_ {v} = e \ Gamma _ {12} ^ {1} + f \ Gamma _ {12 } ^ {2} + f_ {u}}ved at omarrangere vilkårene finder vi den første Codazzi-Mainardi-ligning.
Noter og referencer
(fr) Denne artikel er helt eller delvist taget fra Wikipedia-artiklen på
engelsk med titlen
" Gauss-Codazzi ligninger " ( se listen over forfattere ) .
-
(La) Carl Friedrich Gauss , " Disquitiones Generales circa Superficies Curvas " , Comm. Soc. Gott. , Vol. 6,1828
-
til ære for Gaspare Mainardi (de) (1856) og Delfino Codazzi (1868-1869), som uafhængigt fandt dette resultat. Jf. (En) Morris Kline (en) , Matematisk tankegang fra gammel til moderne tid: bind 3 , OUP ,1972, 399 s. ( ISBN 978-0-19-506137-6 , læs online ) , s. 885.
-
Ossian Bonnet , " Memoir om teorien om overflader anvendelig til en given overflade ", JEP , vol. 25,1867, s. 31-151
-
Terminologi (in) Michael Spivak , (En omfattende introduktion til) Differential Geometry [ detailudgaver ], flyvning. 3
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">