Kerala skole

Den Kerala Skole er en skole for matematik og astronomi grundlagt af Madhava af Sangamagrama i provinsen Kerala i Indien, og som har blandt andre medlemmer Parameshvara (da) og Nilakantha Somayaji . Det blomstrede mellem XIV th og XVI th århundrede, slutter med arbejdet i Melpathur Narayana Bhattathiri . Skolens matematiske opdagelser forventer af to århundreder nogle af resultaterne af Newton og Leibniz's uendelige calculus (men ikke deres teknikker), for eksempel at opnå heltalserieudvikling af trigonometriske funktioner, men der er intet bevis for, at disse fund spredes uden for Kerala.

Kerala skole

Der har været uafbrudt stor videnskabelig aktivitet i Kerala-regionen siden Aryabhata 's dage , men det får særlig betydning med ankomsten af Madhava fra Sangamagrama og etableringen af hans "skole" - et system til transmission af viden. Viden om kandidatstuderende inde i illams (in) . Denne skole var blandt andre medlemmer Parameshvara, Nilakantha Somayaji, Jyeṣṭhadeva (i) , Achyuta Pisharati (i) , Achyuta Panikkar (i) og Narayana Melpathur Bhattathiri. Det blomstrede mellem XIV th og XVI th århundrede, dens sidste originale bidrag, der gøres af det arbejde, Narayana Bhattathiri (1559-1632). I et forsøg på at løse astronomiske problemer udviklede Kerala-skolen nye matematiske begreber; deres vigtigste resultater - den serielle udvikling af trigonometriske funktioner - blev beskrevet i sanskritvers i en bog af Nilakantha kaldet Tantrasangraha og i en kommentar til denne bog, Tantrasangraha-vakhya , af ukendt forfatter. Disse sætninger blev anført uden bevis; seriejusteringer for sinus- , cosinus- og bue-tangentfunktionerne blev givet et århundrede senere i Yuktibhasa (c.1500-c.1610), skrevet i Malayalam af Jyesthadeva, såvel som i en kommentar til Tantrasangraha .

Disse værker, afsluttet to århundreder før opdagelsen af den uendelige beregning i Europa, indeholder de første kendte eksempler på hele serier (bortset fra geometriske serier ). Imidlertid udviklede skolen ikke en systematisk teori om afledning eller integration , og der er intet bevis for, at deres resultater spredte sig uden for Kerala.

Bidrag

Serieudvidelser og uendelig minimal beregning

Bidraget fra Kerala-skolen inkluderer den geometriske serie:

{\ displaystyle {\ frac {1} {1-x}} = 1 + x + x ^ {2} + x ^ {3} + \ dots}

(til ). Denne formel var dog allerede med i den persiske matematiker Alhazen ( Latiniseret form af Ibn al-Haytham) (965-1039).

| x | <1

Kerala-skolen brugte en "intuitiv" form for gentagelsesræsonnement . Dette tillod dem at opnå bevis (mere eller mindre streng) for, at:

1 ^ {p} + 2 ^ {p} + \ cdots + n ^ {p} \ approx {\ frac {n ^ {{p + 1}}} {p + 1}}

for n stort (men dette resultat var også kendt af Alhazen).

Med udgangspunkt i geometriske ideer fik de heltalsserieudvidelserne af $sin x$ , $cos x$ og $arctan x$ . Den Tantrasangraha-vakhya giver disse serier i versificeret form; oversat til matematisk notation bliver de:

{\ displaystyle r \ arctan {\ frac {y} {x}} = {\ frac {1} {1}} \ cdot {\ frac {ry} {x}} - {\ frac {1} {3}} \ cdot {\ frac {ry ^ {3}} {x ^ {3}}} + {\ frac {1} {5}} \ cdot {\ frac {ry ^ {5}} {x ^ {5}} } - \ cdots}

, hvor ;

{\ displaystyle y / x \ leq 1}

{\ displaystyle r \ sin {\ frac {x} {r}} = xx \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} + x \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} +2) r ^ {2}}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(4 ^ {2} +4) r ^ {2}}} - \ cdots}

;

{\ displaystyle r \ left (1- \ cos {\ frac {x} {r}} \ right) = r \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} - r \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {(2 ^ {2} -2) r ^ {2}}} \ cdot {\ frac {x ^ {2}} {( 4 ^ {2} -4) r ^ {2}}} + \ cdots}

; for

r = 1

finder vi den sædvanlige serie, for eksempel:

\ sin x = x - {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} - {\ frac {x ^ {7}} {7 !}} + \ cdots

\ cos x = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} - {\ frac {x ^ {6}} {6 !}} + \ cdots

(men Kerala-skolen bruger ikke faktorfunktionen ).

Deres demonstration af disse resultater indebærer rettelse af en cirkelbue (beregning af dens længde); de opdagede ikke metoderne i Leibniz og Newton ( differentiel og integreret beregning ) ved hjælp af arealberegninger. Den serielle udvikling af dem førte til formlen for (senere kendt som Gregory- Leibniz- formlen ): $\ arctan x$ $\ pi$

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ prikker}

Deres rationelle tilnærmelser til de "fejl", der blev foretaget ved afkortning af serien, er særligt bemærkelsesværdige. Fejlen (for ulige n og i = 1, 2, 3) for den foregående serie er således givet af: $f_ {i} (n + 1)$

{\ displaystyle {\ frac {\ pi} {4}} \ ca. 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots (-1) ^ {(n -1) / 2} {\ frac {1} {n}} + (- 1) ^ {(n + 1) / 2} f_ {i} (n + 1)}

hvor hver er mere præcis end den sidste.

{\ displaystyle f_ {1} (n) = {\ frac {1} {2n}}, \ f_ {2} (n) = {\ frac {n / 2} {n ^ {2} +1}}, \ f_ {3} (n) = {\ frac {(n / 2) ^ {2} +1} {(n ^ {2} +5) n / 2}}}

f_ {i}

Ved at manipulere seriens termer ved hjælp af den enkle elementnedbrydning af opnåede de følgende serier og konvergerede meget hurtigere: ${\ displaystyle {\ frac {1} {n ^ {3} -n}}}$

{\ displaystyle {\ frac {\ pi -3} {4}} = {\ frac {1} {3 ^ {3} -3}} - {\ frac {1} {5 ^ {3} -5}} + {\ frac {1} {7 ^ {3} -7}} - \ cdots = {\ frac {1} {2.3.4}} - {\ frac {1} {4.5.6}} + {\ frac {1} {6.7.8}} + \ cdots}

hvad tillod dem at opnå en tilnærmelse , korrekt til nær; de brugte en intuitiv forestilling om grænse for at retfærdiggøre disse resultater. ${\ displaystyle \ pi \ simeq {\ frac {104348} {33215}} \ simeq 3 {,} 141592653}$ $10 ^ {- 9}$

Matematikerne fra Kerala-skolen opdagede en form for afledning for visse trigonometriske funktioner: de etablerede følgende tilnærmelser (i moderne notationer), forvirrende for små buer længden af buen og værdien af sinus: ${\ displaystyle \ sin (\ theta + \ mathrm {d} \ theta) - \ sin (\ theta - \ mathrm {d} \ theta) = 2 \ mathrm {d} \ theta \ cos (\ theta) \ qquad \ cos (\ theta + \ mathrm {d} \ theta) - \ cos (\ theta - \ mathrm {d} \ theta) = - 2 \ mathrm {d} \ theta \ sin (\ theta)}$ Imidlertid definerede de ikke begrebet funktion eller afledt generelt, men brugte udstrakt brug af disse lineære tilnærmelser og var i stand til at beregne den lineære tilnærmelse af et kvotient, der involverer sådanne funktioner. Vi finder endda i Nilakantha en affin tilnærmelse af buefunktionen.

Aritmetik, algebra og geometri

Etableringen af den serielle udvikling af sinus, cosinus og arctan betragtes af mange historikere som det mest originale bidrag fra Kerala-skolen ， men disse matematikere producerede også mange andre værker. De er ansvarlige for kommentarer til værkerne fra Aryabhata , Bhāskara I og Bhāskara II med originale bidrag til beviserne. Så Nilakantha Somayaji bruger en genial anvendelse af volumenet af et fast stof til at demonstrere formlerne for summen af firkanter og summen af terninger af naturlige heltal i sin kommentar til Āryabhaṭīya .

Mange resultater eller algebraiske teknikker præsenteres med geometriske beviser. Ved XVI th århundrede Citrabhanu (i) løser (ved algebraiske og geometriske metoder) 21 typer af systemer af to ligninger med to ubekendte, svarende til alle mulige par af ligninger af en af de 7 følgende:

{\ displaystyle x + y = a, xy = b, xy = c, x ^ {2} + y ^ {2} = d, x ^ {2} -y ^ {2} = e, x ^ {3} + y ^ {3} = f, x ^ {3} -y ^ {3} = g}

I geometri er formlen for Brahmagupta , der giver området til en skrivbar firkant i henhold til dens sider eller dens diagonaler, taget op og udviklet af Kerala-skolen. Formlen, der giver cirkelradius, der er afgrænset til en skrivbar firkant - undertiden tilskrevet i Vesten til Simon L'Huilier - præsenteres af matematikeren Paramesvara (ca. 1370-1460).

Astronomi

Fra XV th århundrede , astronomerne i Kerala skole er opmærksomme på behovet for at revidere den konstante bevægelse af planeterne ved yderligere bemærkninger. De sætter spørgsmålstegn ved gyldigheden af modeller for planets bevægelse og arbejder på forudsigelser af formørkelser.

Madhava udvikler en procedure til at bestemme den sande længde af månen hvert 36. minut.

Nilakantha fremsætter ideen om, at planeterne ikke har deres eget lys, men er oplyst af solen. Det forbedrer ligningen af midten af de indre planeter. Han præsenterer en planetarisk model, hvor de fem planeter, Merkur, Venus, Mars, Jupiter og Saturn, drejer sig om Solen, som igen drejer sig om Jorden.

Acyuta Pisarati (en) udvikler teknikken til "reduktion til ekliptikken" - en korrektion af planetenes bevægelse beregnet til at tage højde for det faktum, at deres bane afviger lidt fra ekliptikens plan - på samme tid som Tycho Brahe .

Eftertiden for Kerala-skolen

Arbejdet med Kerala-skolen blev beskrevet for første gang i Vesten af CM Whish (i) i 1834, skønt et tidligere arbejde, Kala Sankalita J. Warren (udgivet i 1825) kort nævner opdagelsesserien uendelig af Kerala-astronomer. Ifølge Whish havde Keralas matematikere "etableret grundlaget for et komplet system af fluxions " og deres værker blev fyldt med "fluxionale former og serier, der ikke blev fundet andre steder uden for Vesten" ; dette var en misforståelse, der ofte blev taget op af matematikhistorikere, Whish ikke havde haft adgang til Madhavas metoder og ikke havde været i stand til at forestille sig, at han opnåede disse resultater uden at kende analyseværktøjerne.

Imidlertid blev observationer af Whish næsten fuldstændig ignoreret i over et århundrede, indtil skolens fund i Kerala studeres igen af CT Rajagopal (in) og kolleger fra 1950. Ceux-Ci offentliggjorde to artikler, der kommenterede demonstrationer af Yuktibhasa vedrørende den serielle udvikling af arctan, en anden artikel, der kommenterer demonstrationer af Yuktibhasa , og to studier af sanskritvers fra Tantrasangraha-vakhya, der giver den trigonometriske serie af synd, cos og arctan, der tidligere er nævnt, ledsagede deres oversættelse til engelsk og en kommentar.

I 1979 foreslog AK Bag, at viden om disse resultater kunne have nået Europa med handelsruter til Kerala, transmitteret af købmænd eller jesuitiske missionærer . Da Kerala på dette tidspunkt er i kontinuerlige forbindelser med Kina, Arabien og Europa, er muligheden for en sådan transmission blevet analyseret af nogle videnskabshistorikere, men der er ingen direkte beviser. David Bressoud går endda så langt som at sige, at der ikke er "noget bevis for, at dette arbejde på serien var kendt uden for Indien eller endda uden for Kerala, før det nittende århundrede" .

De arabiske matematikere og indianere havde opdaget før XVII th århundrede de resultater, vi nu betragter som en del af calculus. I modsætning til Newton og Leibniz kunne de imidlertid ikke "kombinere forskellige ideer for at frembringe de to samlende temaer for afledning og integration, for at opdage forbindelsen mellem dem og gøre dem til et kraftfuldt værktøj. Som vi kender i dag" . Newtons og Leibnizs intellektuelle veje er veldokumenterede (såvel som deres umiddelbare forgængere, såsom Fermat og Roberval ), og der er intet, der tyder på, at deres arbejde var inspireret af Kerala-skolen. Spørgsmålet om overførsel af denne skoles arbejde (især i samlingerne af spanske og maghrebiske manuskripter ) er fortsat genstand for aktiv forskning, hvoraf nogle udføres på CNRS i Paris.

Noter og referencer

(da) / (it) Denne artikel er helt eller delvist taget fra artiklerne med titlen " Kerala school of astronomy and mathematics " på engelsk ( se forfatterlisten ) og på italiensk " Scuola del Kerala " ( se listen over forfattere ) .

Sriram 2008 , s. 1160.
Plofker 2007 , s. 481.
Roy 1990 .
Stillwell 2010 , s. 184.
Bressoud 2002 , s. 12: "Der er ingen tegn på, at indianerne arbejde på serien var kendt uden for Indien, eller endda ud af Kerala, før XIX th århundrede. Gold og Pingree hævder, at da disse serier blev genopdaget i Europa, blev de næsten glemt i Indien. Udviklingen af sinus, cosinus og buetangens var blevet overført gennem flere generationer af disciple; men dette var kun sterile observationer, som ingen så nogen praktisk anvendelse på. "
Plofker 2001 , s. 293: "I diskussioner om indisk matematik er det ikke ualmindeligt at komme på tværs af udsagn som 'Begrebet differentiering blev forstået siden Manjula's tid (i det tiende århundrede)' ( Joseph 1991 , s. 300) eller det" Madhava kan betragtes som grundlæggeren af matematisk analyse "( Joseph 1991 , s. 293), eller at Bhaskara II kan beskrives som" forløberen for Newton og Leibniz i opdagelsen af principperne for calculusdifferentiale "( Bag 1979 , s. . 294) osv. De lighedspunkter, især mellem den begyndende calculus i Europa og arbejde Kerala skole for hele serien selv foreslået overførsel af matematiske ideer mellem Malabar kysten i XV th århundrede og den skolastiske latinske verden (f.eks Bag 1979 ) ... Det skal dog huskes, at det at insistere på lighederne mellem sanskrit (eller malayalam) og latinsk matematik risikerer at reducere vores forståelse af førstnævnte. At tale om "opdagelsen af principperne for differentialregning" tilslører noget det faktum, at indiske teknikker til at udtrykke variationer af sinus som en funktion af cosinus eller omvendt, som i de eksempler, vi har set, er begrænset til denne specifikke trigonometriske kontekst. "Princippet" om afledning blev ikke generaliseret til vilkårlige funktioner. "
Pingree 1992 , s. 562: ”Et eksempel er Mādhavas bevis, omkring 1400 e.Kr., for hele serien af trigonometriske funktioner ved hjælp af geometriske og algebraiske argumenter. Da det første gang blev udstillet på engelsk af Charles Whish i 1830'erne, annoncerede han det som opdagelsen af hinduerne om uendelig minimal calculus. Denne påstand og Mādhavas fund blev ignoreret af vestlige historikere, sandsynligvis først fordi de ikke kunne acceptere, at en hindu kunne have opdaget analysen, og senere fordi ingen mere læste Transaktionerne fra Royal Asiatic Society [...] Vi nu har en anstændig sanskritudgave, og vi forstår den geniale metode, der gjorde det muligt for Mādhava at få serien uden at bruge analyseværktøjerne , men mange historikere undlader ikke at overveje problemet og dets løsning uden for denne ramme og hævder således, at den uendelige beregning hvad Mādhava opdagede. Elegansen og opfindsomheden i Mādhavas matematik er således begravet under den moderne løsning af problemet. "
Katz 1995 , s. 173-174: ”Hvor langt har islamiske og indiske lærde nærmet sig opdagelsen af den uendelige kalkulator? I år 1000 havde arabiske matematikere næsten udviklet en generel formel til integration af polynomer og kunne klart få en til ethvert specifikt polynom, de havde brug for. Men de ser aldrig ud til at have været interesseret i polynomer med større grad end 4, i det mindste i de tekster, der er kommet ned til os. Omkring 1600 kunne indiske matematikere bruge ibn al-Haythams summeringsformel til vilkårlige heltalskræfter ved beregning af heltaludvidelser af funktioner, der var af interesse for dem; omkring samme tid vidste de også, hvordan de skulle udføre disse funktioner. Således var nogle af de grundlæggende ideer til den uendelige beregning kendt i Egypten og Indien mange århundreder før Newton. Det ser imidlertid ikke ud til, at disse matematikere så fordelen ved at forbinde disse forskellige ideer sammen; det ser ud til, at de kun var interesserede i særlige tilfælde, hvor disse ideer blev nødvendige. Det er således ikke nødvendigt at rette påstanden om, at Newton og Leibniz opfandt analysen. Det var bestemt de, der var de første til at kombinere disse forskellige ideer i de to store samlende temaer for differentiering og integration. "
Singh 1936 .
(in) CH Edwards, Jr. , Den historiske udvikling i Calculus , New York, Springer-Verlag ,1979( læs online ) , s. 84.
Bressoud 2002 .
imidlertid Madhava havde opnået en endnu bedre tilnærmelse ved hjælp af den serielle udvidelse af $arctan (1 / \sqrt 3)$ .
Katz 1995 , s. 170.
Sriram 2008 , s. 1163.
Sriram 2008 , s. 1162.
Plofker 2007 , s. 493.
Plofker 2007 , s. 493-198.
(i) Roy Wagner, " Citrabhānu s enogtyve algebraiske problemer i malayalam og sanskrit " , Historia Mathematica , Vol. 42, nr . 3,august 2015, s. 263-279 ( læses online , adgang 1 st januar 2020 )
(i) George Gherverghese, "Geometri i Indien" , i Helaine Selin, Encyclopaedia of History of Science, Technology, and Medicine i ikke-vestlige kulturer = , Springer Verlag,2008, s. 1011-1014, s. 1013.
Faktisk demonstrerer Simon Antoine Jean L'Huilier det i sin De relatione mutua capacitatis et terminorum figurarum, geometricè considerata seu de maximis et minimis, pars prior elementaris , s. 21
(in) Radha Charan Gupta , " Paramesvaras regel for cirkradius af en cyklisk firkant " , Historia Mathematica , bind. 4, n o 1,Februar 1977, s. 67-74 ( læses online , adgang 1 st januar 2020 )
Sriram 2008 , s. 1161.
(i) K. Ramasubramanian, MD og MS Sriram Srinivas, " Ændring af den tidligere indiske planetariske teori af Kerala astronomer (c. 1500 e.Kr.) og den implicitte heliocentriske billede af planeternes bevægelse " , Current Science , Vol. 66, nr . 10,1994, s. 784-790 ( læs online , hørt 30. maj 2019 ), Resumé
Pouvreau-Séjourné 2003 , s. 40.
(in) K. Ramasubramanian, MD og MS Sriram Srinivas, " Modification of The Earlier Indian planetary theory by the Kerala astronomers (c. 1500 AD) and the implied heliocentric picture of planetary motion " , Current Science (in) , bind. 66, nr . 10,1994, s. 784-790 ( læs online ).
(i) Charles Whish, " On the Hindú Squaring of the Circle, and the Infinite Series of the proportion of the Circumference to the Diameter EXHIBITED in the oven sastra, the Tantra Sangraham, Yucti Bhasha, Carana Padhati, and Sadratnamála " , Transaktioner af Royal Asiatic Society i Storbritannien og Irland , vol. 3, n o 3,1834, s. 509-523 ( DOI 10.1017 / S0950473700001221 ).
(i) C. Rajagopal og MS Rangachari , " et overset kapitel af hinduistiske Mathematics " , Scripta Mathematica , vol. 15,1949, s. 201-209.
(in) C. Rajagopal og MS Rangachari , " On the Hindu proof of Gregory's series " , Scripta Mathematica , vol. 17,1951, s. 65-74.
(in) C. Rajagopal og A. Venkataraman , " The sinus and cosinus power series in Hindu matematik " , Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal (Science) , bind. 15,1949, s. 1-13.
(in) C. Rajagopal og MS Rangachari , " er en uudnyttet kilde til middelalderlig keralesisk matematik " , Arch. Hist. Præcis Sci. , Vol. 18,1977, s. 89-102.
(in) C. Rajagopal og MS Rangachari , " We Medieval Kerala Mathematics " , Arch. Hist. Præcis Sci. , Vol. 35,1986, s. 91-99.
(i) AK Taske, Matematik i oldtid og middelalder Indien , Varanasi / Delhi Chaukhambha Orientalia,1979, s. 285.
Raju 2001 .
(in) DF Almeida , JK John og A. Zadorozhnyy , " Keralesisk matematik: dens mulige transmission til Europa og de deraf følgende uddannelsesmæssige implikationer " , Journal of Natural Geometry , Vol. 20,2001, s. 77-104.
(i) D. Guld og D. Pingree , " en hidtil ukendt sanskrit arbejde concernant Madhava s afledning af potensrækken for sinus og cosinus " , Historia Scientiarum (i) , bd. 42,1991, s. 49-65.
Katz 1995 .

Omtalte værker

(da) David Bressoud , „ Var der opfundet beregning i Indien? " , The College Mathematics Journal (in) , bind. 33, nr . 1,2002, s. 2-13 ( JSTOR 1558972 ).
(en) GG Joseph , Peacock's Crest: The Non-European Roots of Mathematics , Princeton, NJ, Princeton University Press ,2011, 3 e ed. ( 1 st ed. 1991), 561 s. ( ISBN 978-0-691-13526-7 , læs online ) , kap. 10.
(en) Victor J. Katz , " Ideas of Calculus in Islam and India " , Mathematics Magazine , bind. 68, nr . 3,1995, s. 163-174 ( læs online ).
(en) David Pingree , " Hellenophilia versus the History of Science " , Isis , bind. 83, nr . 4,1992, s. 554-563 ( DOI 10.1086 / 356288 , JSTOR 234257 )
(da) Kim Plofker , " " Fejlen "i den indiske" Taylor Series Approximation "to the Sine " , Historia Mathematica , bind. 28, nr . 4,2001, s. 283-295 ( DOI 10.1006 / hmat.2001.2331 ).
(en) CK Raju (en) , " Computere, matematikuddannelse og den alternative epistemologi af calculus i Yuktibhâsâ " , Filosofi øst og vest (en) , bind. 51, nr . 3,2001, s. 325-362 ( læs online )
(en) Ranjan Roy (en) , " Opdagelse af serieformlen til $π$ af Leibniz, Gregory og Nilakantha " , Mathematics Magazine , bind. 63, nr . 5,1990, s. 291-306 ( JSTOR 2690896 ).
(en) AN Singh , " Om brugen af serier i hinduistisk matematik " , Osiris , bind. 1,1936, s. 606-628 ( DOI 10.1086 / 368443 , JSTOR 301627 ).
(en) John Stillwell , Matematik og dens historie , Springer,2010, 3 e ed. , 662 s. ( ISBN 978-1-4419-6052-8 , læs online ).
(en) Kim Plofker , "Matematik i Indien" , i Victor J. Katz , The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, ann Islam: A Sourcebook , Princeton University Press,2007( ISBN 978 0 691 11485 9 ) , s. 385-512
(en) MS Sriram, "Kerala School of Astronomy and Mathematics" , i Helaine Selin , Encyclopædia of the History of Science, Technology and Medicine in Non-Western Cultures , Springer Verlag,2008, s. 1160-1164
David Pouvreau-Séjourné, Trigonometri og " serieudvikling " i middelalderens Indien , Gruppe for matematikhistorie ved IREM i Toulouse,2003( læs online ).

Se også

Relaterede artikler

Bibliografi

(en) RC Gupta , " Anden række af interpolering af indisk matematik " , J. fra Hist. af Sc. , bind. 4,1969, s. 92-94.
(en) Takao Hayashi , "Indian Mathematics" , i Ivor Grattan-Guinness , Companion Encyclopedia of the Mathematical Sciences History and Philosophy , vol. 1, Baltimore, MD, Johns Hopkins University Press,2003( ISBN 0-8018-7396-7 ) , s. 118-130.
(da) S. Parameswaran , “ Whish's showroom revisited ” , Math. Gas. (in) , vol. 76, nr . 3,1992, s. 28-36
(en) Kim Plofker , “ Et eksempel på den sekante metode til iterativ tilnærmelse i en sanskrittekst fra det 15. århundrede ” , Historia Mathematica , bind. 23, n o 3,1996, s. 246-256 ( DOI 10.1006 / hmat.1996.0026 )
(en) Kim Plofker , " Indias matematik" , i Victor J. Katz, The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook , Princeton, NJ, Princeton University Press,2007, 685 s. ( ISBN 0-691-11485-4 ) , s. 385-514
(en) KV Sarma (en) og S. Hariharan, “ Yuktibhasa of Jyesthadeva: a book of rationales in Indian matematik og astronomi - en analytisk vurdering ” , indiske J. Hist. Sci. , Vol. 26, nr . 21991, s. 185-207
(it) Pietro Tacchi Venturi , ”Brev fra Matteo Ricci til Petri Maffei fra1 st december 1581 », I Matteo Ricci SI, Brevet Dalla Cina 1580–1610 , bind. 2, Macerata, 1613.

eksterne links

(en) DP Agrawal (en) , " Kerala-skolen, europæisk matematik og navigation " , på infinityfoundation.com ,2001
(da) John J. O'Connor og Edmund F. Robertson , "En oversigt over indisk matematik" , i MacTutor History of Mathematics-arkivet , University of St. Andrews ( læs online ), 2002
(en) " Indian Mathematics: Redressing the balance " , på MacTutor History of Mathematics Archive, University of St. Andrews ,2002
(en) " Keralese matematik " , på MacTutor matematikhistorie arkiv, University of St. Andrews ,2002
(en) " Mulig transmission af keralesisk matematik til Europa " , på MacTutor History of Mathematics-arkivet, University of St. Andrews ,2002
(da) " Hverken Newton eller Leibnitz - Forhistorien for kalkulation og himmelsk mekanik i middelalderens Kerala " , på canisius.edu ,2005
(da) " Indianere forud for Newtons 'opdagelse' med 250 år " , på phys.org ,2007